中考数学专题复习学生版第二十五讲 与圆有关的计算.docx
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中考数学专题复习学生版第二十五讲与圆有关的计算
第二十五讲与圆有关的计算
【基础知识回顾】
一、正多边形和圆:
1、各边相等,也相等的多边形是正多边形
2、每一个正多边形都有一个外接圆,外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R表示,每边所对的圆心角叫可用用α表示,α=,中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r表示
3、每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的三角形,被它的半径和边心距分成个全等的三角形
【名师提醒:
正多边形的有关计算,一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行,根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算,以正三角形、正方形和正方边形为主】
二、弧长与扇形面积计算:
⊙O的半径为R,弧长为L,圆心角为n0,扇形的面积为S扇,则有如下公式:
L=
S扇==
【名师提醒:
1、以上几个公式都可进行变形,2、原公式中涉及的角都不带单位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积,常用的方法有:
⑴已知规则图形面积的和与差⑵割补法⑶等积变形法⑷平移法⑸旋转法等】
三、圆柱和圆锥:
1、如图:
设圆柱的高为h,底面半径为R
则有:
⑴S圆柱侧=
⑵S圆柱全=
⑶V圆柱=
2、如图:
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则有:
⑴S圆锥侧=、
⑵S圆锥全=
⑶V圆锥=
【名师提醒:
1、圆柱的高有条,圆锥的高有条2、圆锥的高h,母线长l,底高半径R满足关系3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的,扇形的弧长是圆锥的4、圆锥的母线为l,底面半径为R,侧面展开图扇形的圆心角度数为n,若l=2r,则n=l=3r,则n=l=4r则n=】
【典型例题解析】
考点一:
正多边形和圆
例1(2013•绵阳)如图,要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为( )
A.6mmB.12mmC.6
mmD.4
mm
点评:
本题考查了正多边形和圆的知识,构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形,熟练运用锐角三角函数进行求解.
对应训练
1.(2013•天津)正六边形的边心距与边长之比为( )
A.:
3B.:
2C.1:
2D.:
2
考点二:
圆周长与弧长
例2(2013•黄冈)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,边CD在直线l上,将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚,当点A第一次翻滚到点A1位置时,则点A经过的路线长为
6π
.
思路分析:
如图根据旋转的性质知,点A经过的路线长是三段:
①以90°为圆心角,AD长为半径的扇形的弧长;②以90°为圆心角,AB长为半径的扇形的弧长;③90°为圆心角,矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长.
点评:
本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质.根据题意画出点A运动轨迹,是突破解题难点的关键.
对应训练
2.(2013•遵义)如图,将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动(不滑动),点B从开始到结束,所经过路径的长度为( )
A.πcmB.(2+π)cmC.πcmD.3cm
考点三:
扇形面积与阴影部分面积
例3(2013•重庆)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E,则图中阴影部分的面积为10-π
.(结果保留π)
乐山
点评:
本题考查了图形的面积的计算,不规则图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差计算.
对应训练
3.(2013•乐山)如图,小方格都是边长为1的正方形,则以格点为圆心,半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为2π-4
.
考点四:
圆柱、圆锥的侧面展开图
例4(2013•遂宁)用半径为3cm,圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为( )
A.2πcmB.1.5cmC.πcmD.1cm
面展开扇形与底面圆之间的关系,圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
对应训练
4.(2013•攀枝花)一个圆锥的左视图是一个正三角形,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于( )
A.60°B.90°C.120°D.180°
考点五:
圆的综合题
例5(2013•攀枝花)如图,PA为⊙O的切线,A为切点,直线PO交⊙O与点E,F过点A作PO的垂线AB垂足为D,交⊙O与点B,延长BO与⊙O交与点C,连接AC,BF.
(1)求证:
PB与⊙O相切;
(2)试探究线段EF,OD,OP之间的数量关系,并加以证明;
(3)若AC=12,tan∠F=,求cos∠ACB的值.
点评:
此题考查了切线的判定与性质,相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.
对应训练
5.(2013•茂名)如图,在⊙O中,弦AB与弦CD相交于点G,OA⊥CD于点E,过点B的直线与CD的延长线交于点F,AC∥BF.
(1)若∠FGB=∠FBG,求证:
BF是⊙O的切线;
(2)若tan∠F=,CD=a,请用a表示⊙O的半径;
(3)求证:
GF2-GB2=DF•GF.
【聚焦山东中考】
1.(2013•滨州)若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )
A.6,3B.3,3C.6,3D.6,3
2.(2013•东营)如图,正方形ABCD中,分别以B、D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为( )
A.πaB.2πaC.πaD.3a
泰安
3.(2013•泰安)如图,AB,CD是⊙O的两条互相垂直的直径,点O1,O2,O3,O4分别是OA、OB、OC、OD的中点,若⊙O的半径为2,则阴影部分的面积为( )
A.8B.4C.4π+4D.4π-4
4.(2013•济南)如图,扇形AOB的半径为1,∠AOB=90°,以AB为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.π-C.D.+
莱芜
5.(2013•莱芜)将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为( )
A.2B.C.D.
6.(2013•菏泽)在半径为5的圆中,30°的圆心角所对的弧长为(结果保留π).
7.(2013•聊城)已知一个扇形的半径为60cm,圆心角为150°,用它围成一个圆锥的侧面,那么圆锥的底面半径为25
cm.
8.(2013•青岛)如图,AB是⊙O的直径,弦AC=2,∠ABC=30°,则图中阴影部分的面积是.
枣庄
9.(2013•枣庄)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.
(1)求证:
EF是⊙O的切线;
(2)求证:
AC2=AD•AB;
(3)若⊙O的半径为2,∠ACD=30°,求图中阴影部分的面积.
10.(2013•莱芜)如图,⊙O的半径为1,直线CD经过圆心O,交⊙O于C、D两点,直径AB⊥CD,点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点,AM所在的直线交于⊙O于点N,点P是直线CD上另一点,且PM=PN.
(1)当点M在⊙O内部,如图一,试判断PN与⊙O的关系,并写出证明过程;
(2)当点M在⊙O外部,如图二,其它条件不变时,
(1)的结论是否还成立?
请说明理由;
(3)当点M在⊙O外部,如图三,∠AMO=15°,求图中阴影部分的面积.
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2013•淮安)若扇形的半径为6,圆心角为120°,则此扇形的弧长是( )
A.3πB.4πC.5πD.6π
2.(2013•天门)如果一个扇形的弧长是π,半径是6,那么此扇形的圆心角为( )
A.40°B.45°C.60°D.80°
3.(2013•义乌)已知圆锥的底面半径为6cm,高为8cm,则这个圆锥的母线长为( )
A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm
4.(2013•乌鲁木齐)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积是( )
A.πB.2πC.3πD.4π
南通
5.(2013•南通)用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面,要求圆锥的高是4cm,底面周长是6πcm,则扇形的半径为( )
A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm
6.(2013•黄石)已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm,另一条直角边BC=5cm,则以AB为轴旋转一周,所得到的圆锥的表面积是( )
A.90πcm2B.209πcm2C.155πcm2D.65πcm2
7.(2013•舟山)如图,某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头,需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面.为了获得较佳视觉效果,字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°,则“蘑菇罐头”字样的长度为( )
A.cmB.cmC.cmD.7πcm
南宁
8.(2013•南宁)如图,圆锥形的烟囱底面半径为15cm,母线长为20cm,制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是( )
A.150πcm2B.300πcm2C.600πcm2D.150πcm2
9.(2013•台州)如图,已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0,6),BC的中点D在y轴上,且在点A下方,点E是边长为2,中心在原点的正六边形的一个顶点,把这个正六边形绕中心旋转一周,在此过程中DE的最小值为( )
A.3B.4-C.4D.6-2
贵港
10.(2013•贵港)如图,已知圆锥的母线长为6,圆锥的高与母线所夹的角为θ,且sinθ=,则该圆锥的侧面积是( )
A.24πB.24πC.16πD.12π
11.(2013•襄阳)如图,以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点,交直角边AC于点E、B,E是半圆弧的三等分点,弧BE的长为π,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
武汉
12.(2013•武汉)如图,⊙A与⊙B外切于点D,PC,PD,PE分别是圆的切线,C,D,E是切点.若∠CDE=x°,∠ECD=y°,⊙B的半径为R,则的长度是( )
A.B.C.D.
13.(2013•许昌一模)已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆O交BC于D,AC于E,连接AD、BE交于点M,过点D作DF⊥AC于F,DH⊥AB于H,交BE于G,下列结论:
①BD=CD;②DF是⊙O的切线;③∠DAC=∠BDH;④DG=BM.成立的个数( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
茂名•重庆
二、填空题
14.(2013•徐州)已知扇形的圆心角为120°,弧长为10πcm,则扇形的半径为15
cm.
15.(2013•茂名)如图是李大妈跳舞用的扇子,这个扇形AOB的圆心角∠O=120°,半径OA=3,则弧AB的长度为2π
(结果保留π).
16.(2013•重庆)如图,一个圆心角为90°的扇形,半径OA=2,那么图中阴影部分的面积为(结果保留π)π-2
.
17.(2013•孝感)用半径为10cm,圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为8
cm.
18.(2013•宿迁)已知圆锥的底面周长是10π,其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°,则该圆锥的母线长是20
.
19.(2013•玉林)如图,实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长是40π
m.
徐州
20.(2013•徐州)如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20cm2,则正八边形的面积为40
cm2.
21.(2013•南京)△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为9
.
22.(2013•盘锦)如图,张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具,那么这个教具的用纸面积是300π
cm2.(不考虑接缝等因素,计算结果用π表示).
泸州
23.(2013•泸州)如图,从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为m.
24.(2013•内江)如图,正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置,若正六边形的边长为2cm,则正六边形的中心O运动的路程为4π
cm.
凉山州
25.(2013•凉山州)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,两等圆⊙A,⊙B外切,那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为π
.
26.(2013•福州)如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格,正六边形的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为1,△ABC的顶点都在格点上,则△ABC的面积是.
27.(2013•衢州)如图,将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合,重叠部分的量角器弧()对应的圆心角(∠AOB)为120°,OC的长为2cm,则三角板和量角器重叠部分的面积为.
福州
28.(2013•宿迁)如图,AB是半圆O的直径,且AB=8,点C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠,若圆弧BC恰好过圆心O,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)
29.(2013•长春)如图,在平面直角坐标系中,边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合,点A在x轴上,点B在反比例函数位于第一象限的图象上,则k的值为.
宿迁
30.(2013•遵义)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E为BC边上的一点,以A为圆心,AE为半径的圆弧交AB于点D,交AC的延长于点F,若图中两个阴影部分的面积相等,则AF的长为(结果保留根号).
乐亭县
31.(2013•乐亭县一模)如图,已知直线y=x+4与两坐���轴分别交于A、B两点,⊙C的圆心坐标为 (2,O),半径为2,若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值和最大值分别是.
32.(2013•玉林)如图,△ABC是⊙O内接正三角形,将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF,DE分别交AB,AC于点M,N,DF交AC于点Q,则有以下结论:
①∠DQN=30°;②△DNQ≌△ANM;③△DNQ的周长等于AC的长;④NQ=QC.其中正确的结论是①②③
.(把所有正确的结论的序号都填上)
佛山
三、解答题
33.(2013•佛山)如图,圆锥的侧面展开图是一个半圆,求母线AB与高AO的夹角.参考公式:
圆锥的侧面积S=πrl,其中r为底面半径,l为母线长.
34.(2013•梅州)如图,在矩形ABCD中,AB=2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,设DA=2.
(1)求线段EC的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
35.(2013•荆门)如图1,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不与M、C重合),以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线,交AD于点F,切点为E.
(1)求证:
OF∥BE;
(2)设BP=x,AF=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)延长DC、FP交于点G,连接OE并延长交直线DC与H(图2),问是否存在点P,使△EFO∽△EHG(E、F、O与E、H、G为对应点)?
如果存在,试求
(2)中x和y的值;如果不存在,请说明理由.
36.(2013•晋江市)如图,在平面直角坐标系xOy中,一动直线l从y轴出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移,直线l与直线y=x相交于点P,以OP为半径的⊙P与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B.设直线l的运动时间为t秒.
(1)填空:
当t=1时,⊙P的半径为,OA=2
,OB=2
;
(2)若点C是坐标平面内一点,且以点O、P、C、B为顶点的四边形为平行四边形.
①请你直接写出所有符合条件的点C的坐标;(用含t的代数式表示)
②当点C在直线y=x上方时,过A、B、C三点的⊙Q与y轴的另一个交点为点D,连接DC、DA,试判断△DAC的形状,并说明理由.
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