中考数学专题复习圆.docx
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中考数学专题复习圆
中考数学专题复习------圆
【教学笔记】
一、与圆有关的计算问题(重点)
1、
扇形面积的计算
扇形:
扇形面积公式
:
圆心角
:
扇形对应的圆的半径
:
扇形弧长
:
扇形面积
圆锥侧面展开图:
(1)
=
(2)圆锥的体积:
2、弧长的计算:
弧长公式
;
3、角度的计算
二、圆的基本性质(重点)
1、切线的性质:
圆的切线垂直于经过切点的半径.
2、圆周角定理:
一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半;
推论:
(1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;
(2)相等的圆周角所对的弧也相等。
(3)半圆(直径)所对的圆周角是直角。
(4)90°的圆周角所对的弦是直径。
注意:
在圆中,同一条弦所对的圆周角有无数个。
3、垂径定理定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
(4)在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
三、圆与函数图象的综合
一、
与圆有关的计算问题
【例1】(2016•资阳)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2
,以点B为圆心,BC的长为半径作弧,交AB于点D,若点D为AB的中点,则阴影部分的面积是( )
A.2
﹣
πB.4
﹣
πC.2
﹣
πD.
π
【解答】解:
∵D为AB的中点,∴BC=BD=
AB,∴∠A=30°,∠B=60°.∵AC=2
,
∴BC=AC•tan30°=2
•
=2,∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=
×2
×2﹣
=2
﹣
π.
故选A.
【例2】(2014•资阳)如图,扇形AOB中,半径OA=2,∠AOB=120°,C是
的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是( )
A.
﹣2
B.
﹣2
C.
﹣
D.
﹣
解答:
连接OC,
∵∠AOB=120°,C为弧AB中点,∴∠AOC=∠BOC=60°,∵OA=OC=OB=2,
∴△AOC、△BOC是等边三角形,∴AC=BC=OA=2,
∴△AOC的边AC上的高是
=
,△BOC边BC上的高为
,
∴阴影部分的面积是
﹣
×2×
+
﹣
×2×
=
π﹣2
,故选A.
【例3】(2013•资阳)钟面上的分针的长为1,从9点到9点30分,分针在钟面上扫过的面积是( )
A.
π
B.
π
C.
π
D.
π
解答:
从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°,
则分针在钟面上扫过的面积是:
=
π.故选:
A.
【例4】(2015成都)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为()
A.2,
B.
,
C.
,
D.
,
【课后练习】
1、
(2015南充)如图,PA和PB是⊙O的切线,点A和B的切点,AC是⊙O的直径,已知∠P=40°,则∠ACB的大小是( B )
A.40°B.60°C.70°D.80°
2、(2015达州)如图,直径AB为12的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B′,则图中阴影部分的面积是( B )
A.12πB.24πC.6πD.36π
3、
(2015内江
)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB是直径,∠BCD=1
20°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为( )
A.40°B.35°C.30°D.45°
解析:
连接BD,∵∠DAB=180°-∠C=50°,AB是直径,∴∠ADB=90°,∠ABD=90°-∠DAB=40°,∵PD是切线,∴∠ADP=∠B=40°.故选A.
4、(2015自贡)如图,AB是⊙O
的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=
,则阴影部分的面积为
A.2πB.πC.
D.
解析:
∠BOD=60°
5、(2015凉山州)如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC=40°,则∠A的度数为( )
A.80°B.100°C.110°D.130°
6、(2015凉山州)将圆心角为90°,面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面,则所围成的圆锥的底面半径()
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
7、(2015泸州)如图,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为( )
A.65°B.130°C.50°D.100°
8、(2015眉山)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=450,则∠B的度数为()
A.300B.350C.400D450
9、(2015巴中)如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为( )
A.25°B.50°C.60°D.30°
10、(2015攀枝花)如图,已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E,且AC=2,AE=
,CE=1,则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
11、(2015甘孜州)如图,已知扇形AOB的半径为2,圆心角为90°,连接AB,则图中阴影部分的面积是()
A.π﹣2B.π﹣4C.4π﹣2D.4π﹣4
12、(2015
达州)已知正六边形ABCDEF的边心距为
cm,则正六边形的半径为cm.
13、(2015自贡)如图,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使AC=3BC,CD与⊙O相切于D点.若CD=
,则劣弧AD的长为.
14、(2015遂宁)在半径
为5cm的⊙O中,45°的圆心角所对的弧长为cm.
15、(2015宜宾)如图,AB为⊙O的直径,延长AB至点D,使BD=OB,DC切⊙O于点C,点B是
的中点,弦CF交AB于点E.
若⊙O的半径为2,则CF=.
16、(2015泸州)用一个圆心角为120°,半
径为6的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径是
.
17、(2015眉山)已知⊙O的内接正六边形周长为12cm,则这个圆的半经是_________cm.
18、(2015广安)如图,A.B.C三点在⊙O上,且∠AOB=70°,则∠C=度.
19、24.(2015巴中)圆心角为60°,半径为4cm的扇形的弧长为cm.
20、(2015甘孜州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分半径OA,则∠ABC的大小为度.
二、圆的基本性质
【例1】(2016•资阳)如图,在⊙O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线,切点为D,连结BD.
(1)求证:
∠A=∠BDC;
(2)若CM平分∠ACD,且分别交AD、BD于点M、N,当DM=1时,求MN的长.
【解答】解:
(1)如图,连接OD,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即∠A+∠ABD=90°,
又∵CD与⊙O相切于点D,∴∠CDB+∠ODB=90°,
∵OD=OB,∴∠ABD=∠ODB,∴∠A=∠BDC;
(2)∵CM平分∠ACD,∴∠DCM=∠ACM,
又∵∠A=∠BDC,∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,即∠DMN=∠DNM,∵∠ADB=90°,DM=1,∴DN=DM=1,∴MN=
=
.
【例2】(2015•资阳)如图11,在△ABC中,BC是以AB为直径的⊙O的切线,且⊙O与AC相交于点D,E为BC的中点,连接DE.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)连接AE,若∠C=45°,求sin∠CAE的值.
解答:
解:
(1)连接OD,BD,∴OD=OB∴∠ODB=∠OBD.
∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠CDB=90°.
∵E为BC的中点,∴DE=BE,∴∠EDB=∠EBD,
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD,即∠EDO=∠EBO.
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线,∴AB⊥BC,∴∠EBO=90°,∴∠ODE=90°,
∴DE是⊙O的切线;
(2)作EF⊥CD于F,设EF=x
∵∠C=45°,∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形,∴CF=EF=x,
∴BE=CE=
x,∴AB=BC=2
x,在RT△ABE中,AE=
=
x,
∴sin∠CAE=
=
.
【例3】(2014•资阳)如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD.
(1)求证:
△CDE∽△CAD;
(2)若AB=2,AC=2
,求AE的长.
解答:
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠B+∠BAD=90°,
∵AC为⊙O的切线,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠DAE=90°,∴∠B=∠CAD,
∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,而∠ODB=∠CDE,∴∠B=∠CDE,∴∠CAD=∠CDE,
而∠ECD=∠DCA,∴△CDE∽△CAD;
(2)解:
∵AB=2,∴OA=1,
在Rt△AOC中,AC=2
,∴OC=
=3,∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2,
∵△CDE∽△CAD,∴
=
,即
=
,∴CE=
.
【例4】(2013•资阳)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA的度数.
解答:
(1)如图,过点O作OE⊥AC于E,则AE=
AC=
×2=1,
∵翻折后点D与圆心O重合,∴OE=
r,
在Rt△AOE中,AO2=AE2+OE2,即r2=12+(
r)2,解得r=
;
(2)连接BC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=25°,∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°,
根据翻折的性质,
所对的圆周角等于
所对的圆周角,
∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°.
【课后练习】
1、
(2015达州)如图,AB为半圆O的在直径,AD、BC分别切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,连接OD、OC,下列结论:
①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③
,④OD:
OC=DE:
EC,⑤
,正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
解析:
如图,连接OE,
∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC。
∴CD=DE+EC=AD+BC。
结论②正确。
在Rt△ADO和Rt△EDO中,OD=OD,DA=DE,∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL)
∴∠AOD=∠EOD。
同理Rt△CEO≌Rt△CBO,∴∠EOC=∠BOC。
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,
∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°。
结论⑤正确。
∴∠DOC=∠DEO=90°。
又∠EDO=∠ODC,∴△EDO∽△ODC。
∴
,即OD2=DC•DE。
结论①正确。
而
,结论④错误。
由OD不一定等于OC,结论③错误。
∴正确的选项有①②⑤。
故选A。
2
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