初等函数的性质研究.docx
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初等函数的性质研究
初等函数的性质研究
摘要:
初等函数是中学数学最重要的概念之一,在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。
因此,无论在数学中,还是中、高考时都是重中之重,占有相当大的比例。
但在平时的中学数学教学中,学生学习函数难也是为广大师生“认可”的学习障碍。
当师生满足于一个一个函数、一条一条性质的学习时,却发现学完了函数还是弄不清楚:
函数究竟是什么?
究其原因,我认为主要是未能对初等函数作系统化的研究整理。
因而,函数在他们的学习中总是零碎的、片面的。
在此,笔者以多年从事中学数学教学的体会,对初等函数的性质及其教学研究讲解整理,以期改善中学函数的教学。
关键词:
初等函数零值点最值奇偶性连续性
在由中华人民共和国教育部制订的《数学课程标准》(实验,人教版)中指出,函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。
可以认为,函数是中学数学教材的主旋律,是初等数学到高等数学的枢纽:
全部高中代数是以函数为主线展开的;平面解析几何全面渗透了函数的思想方法;主体几何的许多内容也可理解为通过空间模型建立的函数关系。
因此,无论在平时的教学中,还是在中、高考时都是重中之重,占有相当大的比例。
例如,在2002年的高考数学试题中,以二次函数为载体的函数大题考查了函数的奇偶性,单调性、最值、分类讨论思想等;以二次函数和三角函数为主,全面考查了函数的性质、类型、图象、数学思想方法以及综合运用。
但在中学数学的课堂教学中,学生学习函数难也是为广大师生“认可”的学习障碍,学完了一个一个的函数、一条一条的性质,却始终弄不清楚:
函数究竟是什么?
笔者通过多年从事中学数学的教学,认为其原因是未能对函数及其性质作系统化的研究、整理,函数的性质总是零散的、感性的,没有得到提升,因而造成运用函数思考问题的意识和解决问题的能力比较差,久而久之,成为学习的障碍。
在此,笔者对初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数筹)的性质进行研究、整理,以期引起师生们的重视、改善初等函数的教学。
一、函数的定义域
函数的定义域是研究函数问题的关键,是函数研究的前提环境,函数的实质决定于定义域和对应法则。
没有函数的定义域,函数研究无从谈起。
如果不加以特别的说明,函数
的定义域指,能使
有意义的实数x的集合。
由函数的解析式求函数定义域的方法依据主要有:
①分式的分母、零指数幂的底数均不能为零;②偶次根式的被开方数不能为负;③对数的底数大于零而不等于1,真数大于零;④三角函数与反三角函数存在;⑤如果
中有以上各部份等,则应为满足各部份的x的集合的交集;⑥对实际问题应结合其实际意义予以考虑。
例1.求函数
的定义域。
解:
由“
”知:
由“
”知:
∴所求定义域为:
由“
”知:
∴
例2.已知函数
的定义域是(
),求a。
解:
显然
a=0时,成立;a≠0时,△=4a(4a-3)
或
则:
a>0a<0
△<0△<0
解得:
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- 初等 函数 性质 研究