届山东省寿光市高三上学期期末考试数学文试题.docx
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届山东省寿光市高三上学期期末考试数学文试题
高三文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.下列函数中,图象是轴对称图形且在区间
上单调递减的是()
A.
B.
C.
D.
3.若
,
满足约束条件
,则
的最大值为()
A.
B.
C.
D.
4.若角
终边过点
,则
()
A.
B.
C.
D.
5.已知双曲线
(
,
)的焦点到渐近线的距离为
,且离心率为
,则该双曲线的实轴长为()
A.
B.
C.
D.
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()
A.
B.
C.
D.
7.如图,六边形
是一个正六边形,若在正六边形内任取一点,则恰好取在图中阴影部分的概率是()
A.
B.
C.
D.
8.函数
的图象向右平移
(
)个单位后,得到函数
的图象,若
为偶函数,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
9.如图是2017年第一季度中国某五省GDP情况图,则下列陈述正确的是()
①2017年第一季度GDP总量高于4000亿元的省份共有3个;
②与去年同期相比,2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长;
③去年同期的GDP总量前三位依次是B省、A省、D省;
④2016年同期C省的GDP总量居于第四位.
A.①②B.②③④C.②④D.①③④
10.已知抛物线
与直线
相交于
、
两点,
为坐标原点,设
,
的斜率为
,
,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
11.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:
甲子、乙丑、丙寅…癸酉,甲戌、乙亥、丙子…癸末,甲申、乙酉、丙戌…癸巳,…,共得到
个组成,周而复始,循环记录。
2014年是“干支纪年法”中的甲午年,那么2020年是“干支纪年法”中的()
A.己亥年B.戊戌年C.辛丑年D.庚子年
12.已知函数
,若关于
的方程
的不同实数根的个数为
,则
的所有可能值为
A.3B.1或3C.3或5D.1或3或5
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数
,则
.
14.已知单位向量
,且
,若向量
,则
.
15.已知正四棱柱的底面边长为
,高为
,其所有顶点都在球
的球面上,若该正四棱柱的侧面积为4,则球
的表面积的最小值为.
16.在如图所示的平面四边形
中,
,
,
为等腰直角三角形,且
,则
长的最大值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.若数列
的前
项和
满足:
.
(1)证明:
数列
为等比数列,并求
;
(2)若
,
,求数列
的前
项和
.
18.在
中,
,
,
,
是
中点(如图1).将
沿
折起到图2中
的位置,得到四棱锥
.
(1)将
沿
折起的过程中,
平面
是否成立?
并证明你的结论;
(2)若
,过
的平面交
于点
,且
为
的中点,求三棱锥
的体积.
19.为研究某种图书每册的成本费
(元)与印刷数
(千册)的关系,收集了一些数据并作了初步处理,得到了下面的散点图及一些统计量的值.
表中
,
.
(1)根据散点图判断:
与
哪一个更适宜作为每册成本费
(元)与印刷数
(千册)的回归方程类型?
(只要求给出判断,不必说明理由)
(2)根据
(1)的判断结果及表中数据,建立
关于
的回归方程(回归系数的结果精确到0.01);
(3)若每册书定价为10元,则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78840元?
(假设能够全部售出,结果精确到1)
(附:
对于一组数据
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
)
20.已知椭圆
的左右焦点分别为
,
上的动点
到两焦点的距离之和为4,当点
运动到椭圆
的上顶点时,直线
恰与以原点
为圆心,以椭圆
的离心率为半径的圆相切.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设椭圆
的左右顶点分别为
,若
交直线
于
两点.问以
为直径的圆是否过定点?
若过定点,请求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
21.已知函数
有两个极值点
.
(1)求实数
的取值范围;
(2)设
,若函数
的两个极值点恰为函数
的两个零点,当
时,求
的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(限定
).
(1)写出曲线
的极坐标方程,并求
与
交点的极坐标;
(2)射线
与曲线
与
分别交于点
(
异于原点),求
的取值范围.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数
.
(1)求关于
的不等式
的解集;
(2)记
的最小值为
,证明:
.
高三文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:
BDCAC6-10:
BCACD11、12:
DA
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解:
(1)∵
,
当
时,得
,
当
时,
,
故
,
即
,
∴
,
∴
是以
为首项,2为公比的等比数列,
∴
.
(2)
,
,
∴
∴
∴
.
18.解:
(1)将
沿
折起过程中,
平面
成立,
证明:
∵
是
中点,∴
,
在
中,由余弦定理得,
.
∴
,
∵
,
∴
为等腰直角三角形且
,
∴
,
,
∴
平面
.
(2)因为
,
∴
为等边三角形,
取
中点
,连结
,则
由
(1)知
平面
,
平面
,
∴平面
平面
,
∴
平面
,
∴三棱锥
的高
.
∵
为
中点,∴
,
.
∴
.
19.解:
(1)由散点图判断,
适宜作为每册成本费
与印刷册数
的回归方程.
(2)令
,先建立
关于
的线性回归方程,
由于
,
∴
,
∴
关于
的线性回归方程为
,
从而
关于
的回归方程为
.
(3)假设印刷
千册,依题意:
.
即:
,
∴
∴至少印刷10千册.
20.解:
(1)由椭圆定义可知
,
,
直线
,
故
,
∴
,
故椭圆
的标准方程为:
.
(2)设
,点
,则
,
,
由
,得:
,
直线
方程为:
,令
,则
,故
;
直线
方程为:
,令
,则
,故
;
因为
,故以
为直径的圆与
轴交于两点,设为
,
在以
为直径的圆中应用相交弦定理得:
,
因为
,所以
,
从而以
为直径的圆恒过两个定点
,
.
21.解:
(1)
的定义域为
,
,
令
,即
,要使
在
上有两个极值点,
则方程
有两个不相等正根,
则
解得
,
即
.
(2)
,
由于
为
的两个零点.
即
,
,
两式相减得:
.
∴
,
又
.
∴
.
故
,
设
,∵
为
的两根,
∴
,故
,
∴
,又
,
即
,
解得
或
.
因此
,
此时
,
,
即函数
在
单调递减,
∴当
时,
取得最小值,
∴
.
即所求最小值为
.
22.解:
(1)曲线的
直角坐标方程为
,
把
,
代入,
得
;
联立
,得
①当
时,
,
,得交点为
,
②当
时,
,得
.
当
时,
,
得交点坐标为
,
当
时,
,
得交点坐标为
,
∴
与
的交点坐标为
,
,
.
(2)将
代入
方程中,得
,
代入
方程中,得
,
∴
,
∵
,
∴
∴
的取值范围为
.
23.解:
(1)当
时,
,
由
,得
,
又
,∴
,
∴
;
当
时,
,
由
,得
,
∴
,
当
时,
,
由
,得
,
又
,∴
,
∴
,
∴不等式
的解集为
或
.
(2)
,
∴
,
又
,
∴
,∴
,
∴
,
∴
.
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