全国高中数学联赛B卷一试+加试试题及详解.docx
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全国高中数学联赛B卷一试+加试试题及详解
2020全国高中数学联赛B卷一试+加试:
试题及详解
2020年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)
一、填空题:
本大题共8小题,每小题8分,满分64分.
1.若实数x满足log2X=log4(2x)+log8(4%),则-=.
2.在平面直角坐标系xQv中,圆。
经过点(0,0),(2,4),(3,3),则圆。
上的点到原点的距离的最大值为.
3.设集合X={1,2,…,20},4是X的子集,4的元素个数至少是2,且/的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为.
AA
4.在三角形43。
中,3C=4,C4=5,H8=6,WOsm6-+cos6-=.
22
5.设9元集合月={o+Zn|a,。
w{1,2,3}},i是虚数单位.a=仪/2,…,zj是/中所有元素的一个排列,满足㈤引二2佰…4闻,则这样的排列a的个数为.
6.已知一个正三棱柱的各条棱长均为3,则其外接球的体枳为.
7.在凸四边形N8CQ中,BC=2AD.点P是四边形MBCD所在平面上一点,满足方5+2020而+正+2020万=6.设S"分别为四边形/SCO与△2店的面枳,贝.
S
8.己知首项系数为1的五次多项式/(x)满足:
/(%)=8几〃=1,2,…,5,则f(x)的一次项系数为.
二、解答题:
本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.(本题满分16分)在岬射,上为长轴的一个端点,8为短釉的一个端点,为两个焦点.若箫•丽+瓯•瓯=0,求tan/NBATan/ABE的值.--
10.(本题满分20分)设正实数〃,4。
满足/+4/+9°2=46+120-2,求
23
卜+—的最小值.
bc
=1.2,….
11.(本题满分20分)设数列4的通项公式为
证明:
存在无穷多个支整数加,使得〃加1是完全平方数•
2020年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)
参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不得增加其他中间档次.
一、填空题:
本大题共8小题,每小题8分,满分64分.
1.若实数X满足log2X=log,(2x)+logs(4x),则x=
答案:
128.
解:
由条件知
log?
x=log」2+log4x+log84+log8x=+1■十!
log?
”,
223o
解得1咤2工=7,故x=128.
2,在平血直角坐标系xOy中,圆。
经过点(0,0),(2,4),(3,3),则圆。
上的点到原点的距离的最大值为.
答案:
2
解:
记4(2,4),8(3,3),圆。
经过点0,4,乩注意到NO8力=90。
(直线08
故O/为圆。
的直径.从而网Q上的点到原点O
与的斜率分别为1和一1),的距离的最大值为|。
4|=2行.
3.设集合X={1,2,…,20},/是X的子集,4的元素个数至少是2,且/的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合力的个数为.
答案:
190.
解:
每个满足条件的集合/可由其最小元素〃与最大元素力唯一确定,其中a,bjX,a j4 4.在三角形/3。 中,BC=4©=5-4B=6,则sii/J+cos'」^22 43答案: M 解: 由余弦定理得c°s/=FJ=三■=所以 =1——sin2A4 64 5.设9元集合N={a+bi|a,6£{L2,3}},i是虚数单位.a二仁/产/)是.4中所有元素的一个排列,满足区设区区…4阂,则这样的排列a的个数为. 答案: 8. 解: 由于 |1十4<|2十i|=|l十2i|<|2十2i|<|3十i|=|l十3i|v|3十2i|=|2十3i|v|3十利, 故z=l+i,{z2,z3}={2+i,14-2i),z4=2+2i,{z5,z6}={3+i,l+3i}, {京7}={3+2i,2+3i},马=3+3i, 由乘法原理知,满足条件的排列a的个数为23=8. 6.已知一个正三棱柱的各条梭长均为3,则其外接球的体积为. 答案: —— 解: 如图,设面/8C和面44G的中心分别为。 和记线段的中点为产,由对■称性知,? 为正三棱柱外接球的球心,为外接球的半径. 易知QOJ.4O,所以 尸月=J^c/+.°2=Jg『+(G『=李, 故外接球的体枳为方兀(率|二李兀. 7.在凸四边形A5CD中,记=2亚.点尸是四边形N3CD所在平面上一点,满足西+2020即+1+2020方=5.设s.f分别为四边形N8CZ)与AP/B的面积, 解: 不妨假设4D=2,3C=4.记M、MX,Y分别是j8、CDRD、,4C的中点, 则M,X,KN顺次共线并且沏丫=肝=尔=1.由于 PA^PC=2PY9PB+PD=2PX, 故结合条件可知7^+2020/=6.故点P在线段XK上且? X=」-.设彳到2021 2X32021 8.已知首项系数为1的五次多项式/*)满足: /(〃)=8曾,〃=1,24・・,5,则J(x)的一次项系数为. 答案: 282. 解: 令g(x)=/(x)-8*,则g(x)也是一个首项系数为1的五次多项式,且g(〃)=/(")-8〃=0,%=1,2,・・・,5, 故g(x)有5个实数根1,2,…,5,所以g(x)=(x-l)(x-2)…3-5),于是 /*)=(x-l)(x-2>・・(x-5)+8x, 所以/(X)的一次项系数等于℃+卜卜(b! +8=282. 二、解答题: 本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(本题满分16分)在蛆"二*上任轴的一个端点,片为短轴的一个端点,片,入为两个焦点.若斯•丽+瓯•丽=0,求01/45月-1211/486的值.-- 解rh对称性,设椭网「的方程为r+4=l(〃>b>0),力(凡0),8(0,万),(Tb- 月(一c,0),5(c,0),其中c=J02—b2. 吃多件知 斯•薪+瓯•丽=(一。 一。 )(。 一。 )+(一。 2+/)=/+/―202=0. 4分 所以a2+b2-2c2=—a2+3b2=0,故。 =6[),c=yjlb. 8分 记O为坐标原点,则 tan/.ABO=—=,tan=\miZ.OBF.="=5/2. b12b 12分 所以 tanZ.ABFXtan&BF、=tan(Z4BO+Z.OBFy)・tan(N.4BO—NOB") VJ+V273-721 16分 ・一1•j.一■ 1V3-V21+V3V25 a+2〃+3c)之(1+2+3『, 10分 15分 20分 10.(本题满分20分)设正实数出/・满足/+4〃+%,2=4"12-2,求 I? 7 ,十二十三的最小值. abc 解: 由题设条件得 «2+(2Z)-1)2+(3c-2)2=3, 由柯弦不等式得 3Z+(26—l)? +(3c-2)2]“a+26-l+3c-2)2,即(a+28+3c-3)2W9,故 a+2〃+3c46• 又由柯西不等式得(\〔L 所以 12336 abca+2b+3c当a=〃=c=l时等号成立. 193 故上+: +士的最小值是6. abc n.(本题满分20分)设数列勺的通项公式为 证明: 存在无穷多个正整数/〃,使得。 1是完全平方数. 证明: 记名=匕声,%=\^,则/+%=1,4]夕2=-1,于是 ((1-(12,”=12…. 所以%=1,%=1.又注意到%+l=g: (i=L2),有 131V5175--- 十 q: T_q;"+.%”一球 由此易知,数列 4+2=%7+%>〃=12/・・, 为的每一项都是正整数. 由计算易得q;+q;=7»故 。 2”.3。 2”1-1=^7qT"_q? -.卡qTi—q丁't =: 夕产2+斓+2一qmJ”,: —q%2”%;—1 =(端7+4"2+端+/一1 =1产+47"+7-1 =|夕产2+城田+2 TAf"一4”=*,1,15分 所以,对任意正整数〃,的"3。 2一T都是完全平方数.于是对于正奇数〃2, 4%T均为完全平方数・20分 2020年全国高中数学联合竞赛加试(B卷) 一、(本题满分40分)如图,4&CDE是圆。 上顺次的五点,满足45c=8S=C0E,点尸,。 分别在线段4R8E上,且P在线段C。 上.证明: 乙PAQ="EQ.c 二、(本题满分40分)设集合N={L2,…,19}.是否存在集合.4的非空子集sc),满足 (1)SJDS2=0,S[US2=月: (2)*,S2都至少有4个元素; (3)岳的所有元索的和等于S2的所有无索的乘积? 证明你的结论. 三、(本题满分50分)给定整数〃22.设勺4,…,勺,4,J…,4>°,满足 %+%^an=4+4+…+4, 且对任意。 /(I/W〃),均有qq>b.+b..求/+a2HF%的最小值. 四、(本题满分50分)设〃力为不超过12的正整数,满足: 存在常数C,使得/+/,9三c(m0di3)对任意正整数〃成立.求所有满足条件的有序数对(〃向. 2020年全国高中数学联合竞赛加试(B卷) 参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次. 一、(本题满分40分)如图,是圆。 上顺次的五点,满足 ABC=BCD=CDE,点R。 分别在线段,4。 8七上,旦P在线段C0上.证明: (PAQ=LPEQ.c 证明: 记S为力。 与3E的交点,7为。 。 延K线与阿。 的交点. 注意到ABC=BCD=CDE,可设*8,CD所对的圆周角均为。 ,BC、DE所对的圆周角均为力. 于是 ZATQ=3C="+6, 4PTE=4CTE=a+8, Z.PSQ=ABDA+ZDBE=c+/? .20分 由44T0=APSQ得凡4r,0四点共圆,又由APTE=/PSQ得P)S,T,E四点共圆. 所以APAQ=APTS=APEQ.40分 二、(本题满分40分)设集合2={1,2,…,19}.是否存在集合N的非空子集力邑,满足 (1)6'田凡=0,5;116'2=月; (2)&S2都至少有4个元素; (3)5的所有元素的利等于色的所有元素的乘积? 证明你的结论. 解: 答案是肯定的.设$2=1,2,x,y92 贝ij1十2十…十19一1一2一工一j二2车;,所以 2xy+x+y=187,20分 故 (2.v+l)(2^+l)=375=15x25, 所以x=7,y=l2是一组解.30分 故取$=3,4/6,7,&10,11,13,14J5J6J7J8J9£=L2,7,12,则这样的满足条件.40分 注: 直接给出例子并脸证给40分. 三、(本题满分50分)给定整数〃? 2.设%,生,…,%,4,优,…,”>0,涧足 +…+/=々+AH卜4, 且对任意j,./(1W/W〃),均有卬。 24+%.求%+/■1〃的最小值. 解: 记S=a{+qH="+4H卜4. 由条件知 £a《Q£(4+d)=S-l)S.10分 又EE必等=’・: £。 32。 分 于是 S'=|fq|=/;+2£>l-^-+2l£ata}>2nS. 40分 注意S>0,故S22〃. 另一方面,当q=4=2(7=1,2,…,m)时,条件满足,且S=2〃. 综上,s=q十%+…+4的最小值为2〃.50分 四、(本题满分50分)设内〃为不超过12的正整数,满足: 存在常数。 使得/+6"9三C(modl3)对任意正整数〃成立.求所有满足条件的有序数对(。 涉). 解法1: 由条件知,对任意正整数〃,有 4+6"9三+6川2([]3113).① 注意到13为素数,均与13互素,由费马小定理知/2三二三l(modl3).因此在①中取〃=12,化简得1+力三W+l(modl3),故 川三"(god13). 代入①,得。 三/”+犷"三/3+6"(nK)di3),即 (,一/)(1一/)三0(mod13).② 20分 分两种情况讨论. (i)若c? 三](modl3),则一三/堂三*三](modl3),又{1,2,…,12}, 经检验可知。 力€{1,3,9}. 此时此+6叶9三d+6”(modl3).由条件知a+6三自+/_2(mod13),从而只能是。 =力=1. 经检验,当(a»)=(U)时,对任意正整数〃,/+力"9模13余2为常数,满足条件.30分 (ii)若一羊i(modl3),则由②知,对任意正整数〃,有•三力”(modl3). 特别地,(i=b(mod13),故。 =8.所以/三//=/god13),即rt3(f73-l)(673+l)=0(modl3), 故/三一I(modl3).通过检验°三±1,±2,…,±6(modl3),可知a=4,10,12. 经检验,当(a,6)=(4,4),(10,10),(12,12)时,对任意正整数有aH+*=d+。 田=火1+(,)3)三。 god13), 满足条件. 综合⑴、(ii),所求的有序数对(a,b)为(1,1),(4,4),(10,10),(12,12). 50分 解法2: 由条件知,对任意正整数〃,有 (d+》"9)(/.2+夕川)三(a"i+b”"°)2(modl3),10分化简得。 附川+。 "2产9=2^+%/io(modl3),即 @节"9•-6)2三0(modl3). 由于13为素数,&力£{1,2,…,12},故13|(4—与2,进而〃=〃. 20分 因此,当〃变化时,/+b-9=“”(i+/)模13的余数为常数. 当1+/羊0(modl3)时,由上式知,〃”模13的余数为常数,特别地,有a2=iz(niod13),故a=l.30分 当1+/三0(modl3)时,由费马小定理得,产三I(modl3),故 /三。 3.(一/)三一/2=_J(m0C113). 通过检验〃三±1,±2,…,±6(mod13),可知4=4,10,12. 50分 综上,所求的有序数对(。 一为(1,1),(4,4),(10,10),(12,12).
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