反比例函数面积问题专题.docx
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反比例函数面积问题专题
.
反比例函数面积问题专题
【围矩形】
1.如图所示,点P是反比例函数
图象上一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,
如果构成的矩形面积是
4,那么反比例函数的解析式是(
)
A.
B.
C.
.D.
2.反比例函数的图象如图所示,则k的值可能是()
A.-1B.C.1D.2
3.如图,A、B是双曲线上的点,分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段.
S1,S2,S3分别表示图中三个矩形的面积,若S3=1,且S1+S2=4,则k值为()
A.1B.2C.3D.4
4.如图,在反比例函数y=(x>0)的图象上,有点P1、P2、P3、P4,
它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,
图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3,则S1+S2+S3=()
A.1B.1.5C.2D.无法确定
5.如图,两个反比例函数y=和y=(其中k1>0>k2)在第一象限内的图象是C1,
第二、四象限内的图象是C2,设点P在C1上,PC⊥x轴于点M,交C2于点C,
PA⊥y轴于点N,交C2于点A,AB∥PC,CB∥AP相交于点B,则四边形ODBE的面积为()
A.|k1﹣k2|B.C.|k1?
k2|D.
.
.
【围三角形】
6.如图,A、C是函数y=的图象上的任意两点,过A作x轴的垂线,垂足为B,
过C作y轴的垂线,垂足为D,记Rt△AOB的面积为S1,Rt△COD的面积为S2,则()
A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.关系不能确定
7.如图,过y轴上任意一点p,作x轴的平行线,与反比例函数的图象交于A点,
若B为x轴上任意一点,连接AB,PB则△APB的面积为()A.1B.2C.3D.4
8.如图,A是反比例函数图象上一点,过点A作AB⊥x轴于点B,点P在y轴上,
△ABP的面积为1,则k的值为()A.1B.2C.-1D.-2
9.反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线
分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为()
A.B.2C.3D.1
10.如图,过x轴正半轴上的任意一点P,作y轴的平行线,
分别与反比例函数y=﹣和y=的图象交于A、B两点.若点C是y轴上任意一点,
连接AC、BC,则△ABC的面积为()A.3B.4C.5D.10
11.双曲线y1=与y2=在第一象限内的图象如图.作一条平行于
x轴的直线交y1,y2于B、A,
连OA,过B作BC∥OA,交x轴于C,若四边形OABC的面积为3,则k=(
)
A.2B.4C.3D.5
12.如图,直线l和双曲线
交于A、B两点,P是线段AB上的点(不与A、B重合),
过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别为
C、D、E,连接OA、OB、0P,设△AOC的面积为S1、
△BOD的面积为S、△POE的面积为S,则(
)
2
3
A.S1<S2<S3B.S1>S2>S3
C.S1=S2>S3
D.S1=S2<S3
13.如图是反比例函数和
在第一象限内的图象,在
上取点M分别作两坐标轴的垂线交
于点A、B,连接OA、OB,则图中阴影部分的面积为
.
.
.
【对称点】
14.如图,直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于A,B两点,BC⊥x轴于C,连接AC交y轴于D,下
列结论:
①A、B关于原点对称;②△ABC的面积为定值;③D是AC的中点;④S△AOD=.
其中正确结论的个数为()个A.1B.2C.3D.4
15.如图,直y=mx与双曲线y=
交于点A,B.过点A作AM⊥x轴,垂足为点M,连接BM.
若S△ABM,则
k
的值是(
)
A.1B.m
﹣
1C.2D.m
=1
16.正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点.AB⊥x轴于B,CD⊥y轴于D,
如图,则四边形ABCD的面积为()
A.1B.C.2D.
17.如图,A,C是函数y=(k≠0)的图象上关于原点对称的任意两点,AB,CD垂直于x轴,
垂足分别为B,D,那么四边形ABCD的面积S是()
A.B.2kC.4kD.k
18.如图,反比例函数y=﹣的图象与直线y=﹣x的交点为A,B,
过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C,则△ABC的面积为()
A.8B.6C.4D.2
.
.
【三角形叠梯形】
19.如图,点A和B是反比例函数y=(x>0)图象上任意两点,过A,B分别作y轴的垂线,
垂足为C和D,连接AB,AO,BO,△ABO的面积为8,则梯形CABD的面积为()
A.6B.7C.8D.10
20.如图,△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y=(x>0)的一个分支上,
点B在x轴上,CD⊥OB于D,若△AOC的面积为3,则k=()A.2B.3C.4D.
21.如图,A、B是双曲线上任意两点,过A、B两点分别作y轴的垂线,垂足分别
为C、D,连接AB,直线OB、OA分别交双曲线于点E、F,设梯形ABCD的面积和△EOF的面积分别
为S1、S2,则S1与S2的大小关系是()A.S1=S2B.S1>S2C.S1<S2D.不能确定
【截矩形】
22.如图,过点P(2,3)分别作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,PC、PD分别交反比例函数y=
(x>0)的图象于点A、B,则四边形BOAP的面积为()A.3B.3.5C.4D.5
23.如图,双曲线y=(k>0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D.
若梯形ODBC的面积为3,则k=
.
24.函数y=和y=
在第一象限内的图象如图,点P是y=的图象上一动点,PC⊥x轴于点C,交y=
的图象于点B.给出如下结论:
①△ODB与△OCA的面积相等;②PA与PB始终相等;
③
四边形PAOB的面积大小不会发生变化;④CA=AP.其中所有正确结论的序号是(
)
A.
①②③
B.
②③④
C.
①③④
D.①②④
25.两个反比例函数
和
(k1>k2>0)在第一象限内的图象如图,P在C1上,作PC、PD垂
直于坐标轴,垂线与C交点为A、B,则下列结论:
2
①
△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积等于k1﹣k2③PA与PB始终相等;
④
当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.其中正确的是(
)
.①②B.
①②④C.
①④
D.
①③④
.
.
【截直角三角形】
26.如图,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,
且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(﹣8,6),则△AOC的面积为()
A.20B.18C.16D.12
27.如图,双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C.
则△AOC的面积为()A.9B.6C.4.5D.3
28.如图,已知矩形ABCO的一边OC在x轴上,一边OA在y轴上,双曲线交OB的中点于D,
交BC边于E,若△OBC的面积等于4,则CE:
BE的值为()
A.1:
2B.1:
3C.1:
4D.无法确定
29.如图,已知梯形ABCO的底边AO在x轴上,BC∥AO,AB⊥AO,
过点C的双曲线交OB于D,且OD:
DB=1:
2,若△OBC的面积等于3,则k的值()
A.2B.C.D.无法确定
30.如图,反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M,
分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为()
A.1B.2C.3D.4
反比例函数
.
.
【围矩形】
1.解:
由题意得:
矩形面积等于|k|,∴|k|=4
又∵反比例函数图象在二、四象限.∴k<0∴k=﹣4∴反比例函数的解析式是y=﹣.故选C.
2.解:
∵反比例函数在第一象限,∴k>0,∵当图象上的点的横坐标为1时,纵坐标小于1,∴k<1,故选B.
3.解:
∵S1+S2=4,∴S1=S2═2,∵S3=1,∴S1+S3=1+2=3,∴k=3故选C.
4.解:
由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为:
(1,2),(2,1),(3,),(4,).
∴由反比例函数的几何意义可知:
S1+S2+S3=2﹣1×==1.5.故选B.
5.解:
∵AB∥PC,CB∥AP,∠APC=90°,∴四边形APCB是矩形.
设P(x,),则A(,),C(x,),
∴S矩形APCB=AP?
PC=(x﹣
)(
﹣
)=
,
∴四边形ODBE的面积=S
﹣S
﹣S
﹣S
矩形AEON
矩形APCB
矩形PNOM
矩形MCDP
=
﹣k1﹣|k2|﹣|k2|=
.故选D.
【围三角形】
6.解:
结合题意可得:
A、C都在双曲线y=上,反比例函数系数
k的几何意义有S1=S2;故选C.
7.解:
依题意得:
△APB的面积S=|k|=
×|4|=2.故选B
8.解:
如图,连OA,∵AB⊥x轴,∴AB∥OP,∴S△OAB=S△PAB=1,∴|k|=2×1=2,∵反比例函数图象过第二象限,∴k=﹣2.故选D.
9.解:
分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,
∵由反比例函数系数k的几何意义可知,S四边形OEAC=6,S△AOE=3,S△BOC=,
∴S△AOB=S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC=6﹣3﹣=.故选A.
.
.
10.解:
设P(a,0),a>0,则A和B的横坐标都为a,
将x=a代入反比例函数y=﹣中得:
y=﹣,故A(a,﹣);
将x=a代入反比例函数y=中得:
y=,故B(a,),
∴AB=AP+BP=+=,则S△ABC=AB?
xP的横坐标=××a=5.故选C
11.解:
由题意得:
S四边形OABC=|k1|﹣|k2|=|6|﹣|k|=3;又由于反比例函数位于第一象限,k>0;k=3.故
选C.
12.解:
结合题意可得:
AB都在双曲线y=上,则有S1=S2;而AB之间,直线在双曲线上方;
故S1=S2<S3故选D.
13.解:
∵在上取点M分别作两坐标轴的垂线交于点A、B,∴S△AOC=×5=2.5,
S△BOD=×5=2.5S矩形MDOC=3∴S阴影=S△AOC+S△BOD﹣S矩形MDOC=5﹣3=2故答案为2.
【对称点】
14.解:
①反比例函数与正比例函数若有交点,一定是两个,且关于原点对称,所以正确;
②根据A、B关于原点对称,S△ABC为即A点横纵坐标的乘积,为定值1,所以正确;
③因为AO=BO,OD∥BC,所以OD为△ABC的中位线,即D是AC中点,所以正确;
④在△ADO中,因为AD和y轴并不垂直,所以面积不等于k的一半,不等于,错误.故选C.
15.解:
由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成,
点A与点B关于原点中心对称,∴点A,B的纵横坐标的绝对值相等,∴△AMO和△BMO的面积相等,且为,
∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为1,又因为点A在第一象限内,所以可知反比例函数的系数k为1.故选A.
16.解:
根据反比例函数的对称性可知:
OB=OD,AB=CD,∴四边形ABCD的面积=S△AOB+S△ODA+S△ODC+S△OBC=1×2=2.故选C.
17.解:
∵A,C是函数y=(k≠0)的图象上关于原点对称的任意两点,∴若假设A点坐标为(x,y),则C点坐标为(﹣x,﹣y).∴BD=2x,AB=CD=y,
∴S
=S△
+S△
=BD?
AB+BD?
CD=2xy=2k.故四边形ABCD的面积S是2k.故选B.
四边形ABCD
ABD
CBD
18.解:
由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称,则
△ABC的面积=2|k|=2×4=8.故选A.
.
.
【三角形叠梯形】
19.解:
过点B向x轴作垂线,垂足是G.由题意得:
矩形BDOG的面积是|k|=3,∴S△ACO=S△BOG=.所
以△AOB的面积=S矩形BDOG+S梯形ABDC﹣S△ACO﹣S△BOG=8,
则梯形CABD的面积=8﹣3+3=8.故选C
20.解:
过点A作AM⊥OB于M,设点A坐标为(x,y),
∵顶点A在双曲线y=(x>0)图象上,∴xy=k,∴S△AMO=OM?
AM=xy=k,
设B的坐标为(a,0),∵中点C在双曲线y=(x>0)图象上,CD⊥OB于D,
∴点C坐标为(
,),∴S△
=OD?
CD=?
?
=k,∴ay=3k,
CDO
∵SAOB
AOM
AMB
(﹣
)
y=
﹣
×﹣
k
,
△=S△
+S△
=k+?
ax
k+ay
xy=k+3kk=
又∵C为AB中点,∴△AOC的面积为
×k=3,∴k=4,故选C.
21.解:
∵直线OB、OA分别交双曲线于点E、F,∴S2=S△AOB,
∵S1=S△AOC+S△AOB﹣S△BOD,而S△AOC=S△BOD=k,∴S1=S△AOB,∴S1=S2.故选A.
【截矩形】
22.解:
∵B、A两点在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴S△DBO=S△AOC=×2=1,
∵P(2,3),∴四边形DPCO的面积为2×3=6,∴四边形BOAP的面积为6﹣1﹣1=4,故选:
C.
23.解:
连接OE,设此反比例函数的解析式为y=(k≠0),C(c,0),则B(c,b),E(c,),
设D(x,y),∵D和E都在反比例函数图象上,∴xy=k,=k,即S△AOD=S△OEC=×c×,∵梯形ODBC的面积为3,∴bc﹣×c×=3,∴bc=3,∴bc=4,∴S△AOD=S△OEC=1,
∵k>0,∴k=1,解得k=2,故答案为:
2.
24.解:
∵A、B是反比函数y=上的点,∴S△OBD=S△OAC=,故①正确;
.
.
当P的横纵坐标相等时PA=PB,故②错误;∵P是y=的图象上一动点,∴S矩形PDOC=4,
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3,故③正确;
连接OP,===4,∴AC=PC,PA=PC,∴=3,
∴AC=AP;故④正确;综上所述,正确的结论有①③④.故选C.
25.解:
①∵A、B两点都在y=上,∴△ODB与△OCA的面积都都等于,故①正确;
②S矩形OCPB﹣S△AOC﹣S△DBO=|k2|﹣2×|k1|÷2=k2﹣k1,故②正确;
③只有当P的横纵坐标相等时,PA=PB,错误;
④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点,正确.故选B.
【截直角三角形】
26.解:
∵点A的坐标为(﹣8,6),O点坐标为(0,0),
∴斜边OA的中点D的坐标为(﹣4,3),
把D(﹣4,3)代入y=得k=﹣4×3=﹣12,∴反比例函数的解析式为y=﹣,
∵AB⊥x轴,∴C点和横坐标为点A相同,都为﹣8,
把x=﹣8代入y=﹣得y=,∴C点坐标为(﹣8,),∴AC=6﹣=,
∴△AOC的面积=AC?
OB=××8=18.故选B.
27.解:
∵OA的中点是D,双曲线y=﹣经过点D,∴k=xy=﹣3,
D点坐标为:
(x,y),则A点坐标为:
(2x,2y),∴△BOC的面积=|k|=3.
又∵△AOB的面积=×2x×2y=12,∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9.
故选:
A.
28.解:
设D点的坐标是(x,y).∵点D是线段OB的中点,∴B点的坐标是(2x,2y);∵△OBC的面积等于4,∴×2x×2y=4,即xy=﹣2,∴k=﹣2;
又∵点E在双曲线上,∴点E的坐标为(2x,);
∴CE:
BE=:
(2y﹣)=:
(2×﹣)=1:
3;故选B.
.
.
29.解:
方法1:
设B点坐标为(a,b),∵OD:
DB=1:
2,∴D点坐标为(a,b),
根据反比例函数的几何意义,∴a?
b=k,∴ab=9k①,
∵BC∥AO,AB⊥AO,C在反比例函数y=的图象上,∴设C点横坐标为m,
则C点坐标为(m,b)将(m,b)代入y=得,m=,BC=a﹣,又因为△OBC的高为AB,所以S△OBC=(a﹣)?
b=3,
所以(a﹣)?
b=3,(a﹣)b=6,ab﹣k=6②,
把①代入②得,9k﹣k=6,解得k=.
方法2:
延长BC交y轴于E,过D作x轴的垂线,垂足为F.由△OAB的面积=△OBE的面积,△ODF的面积=△OCE的面积,
可知,△ODF的面积=梯形DFAB=△BOC的面积=,即k=,k=.故选B.
30.解:
由题意得:
E、M、D位于反比例函数图象上,则
S△OCE=,S△OAD=
,
过点M作MG⊥y轴于点G,作MN⊥x轴于点N,则S□=|k|,
ONMG
又∵M为矩形ABCO对角线的交点,则S矩形ABCO=4S
=4|k|
,
□
ONMG
由于函数图象在第一象限,k>0,则++6=4k,k=2.故选B.
单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。
教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
.
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