运筹学第1章：线性规划.ppt

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第一章线性规划（LinearProgramming）,第一节线性规划问题及其数学模型,【例1-1】已知某企业生产资料如下表所示，问如何安排生产才能企业使利润最大？

数学模型：

x10,x20,s.t.,一、线性规划问题的提出,设甲产品的生产量为x1,乙产品的生产量为x2，则：

【例1-2】设某种动物每天需要摄入的蛋白质、矿物质、维生素的最低量及A、B、C、D、E五种饲料每公斤营养成分的含量及单位价格如下表所示。

要求既满足该种动物每天营养成分的需要量，又使总的费用最省。

目标函数：

满足约束条件,设为第j种饲料的每天使用量，则：

线性规划问题数学模型的组成要素：

二、线性规划问题数学模型的一般形式,

（1）变量，或称决策变量，它们是问题中所要解决的未知量，表明规划中用数量表示的方案、措施，可由决策者决定和控制；,

（2）目标函数，是决策变量的函数，按问题的目标不同分别在这个函数前加上max或min；,（3）约束条件，由一组含决策变量的等式或不等式组成，表明决策变量取值时所受到的各种资源条件的限制。

假定线性规划问题中含有n个决策变量xj（j1，n），在目标函数中xj的系数为cj（cj通常称为价值系数）；有m种资源的限制，每种资源数量用bi（i=1,.m）表示；用aij表示变量xj取值为1个单位时所消耗或含有的第i种资源的数量，通常称aij为技术系数或消耗系数。

目标函数：

约束条件：

线性规划问题的数学模型的一般形式：

为目标函数；为资源约束；为非负约束。

xj决策变量；,cj价值系数；,aij技术（消耗）系数；,bi资源常量，bi0,线性规划模型的简写形式为：

目标函数：

约束条件：

用向量形式表达时，模型可写为：

式中：

矩阵形式为：

其中：

A为约束方程组（约束条件）的系数矩阵。

三、线性规划问题的标准形式,化一般形式为标准形式的方法：

1、目标函数为求极小值，即为:

因为求Minz，等价于求Max（-z），令z=-z，即化为：

2右端项bi0,只需将等式或不等式两端同乘（-1），则等式右端项必大于零。

3约束条件为不等式：

当约束条件为“”时，需将约束条件左端加松弛变量；,当约束条件为“”时，需将约束条件左端减去剩余变量。

4取值无约束的变量,可令xx-x”，其中x0，x”0,5对x0的情况,令x-x，显然x0,【例1-3】将下述线性规划化为标准形式,解：

上述问题中令：

得到,在第一个约束条件的左端加入一个松弛变量,在第二个约束条件是左端减去一个剩余变量,将第三个约束条件两端同乘“-1”,该问题的标准形式为：

第二节线性规划图解法,一、图解法步骤,【例1-4】用图解法求解下列线性规划问题：

二、图解法举例,图解法的步骤可概括为：

（一）建立平面直角坐标系；

（二）利用约束条件，确定线性规划问题解的可行域；（三）绘制目标函数的等值线和法线；（四）沿法线方向移动目标函数等值线至可行域的边缘，寻求问题最优解。

若该问题存在最优解，则在可行域的边缘得到问题的最优解。

（a）,（b）,（c）,（4,12）,最优解：

x1=4，x2=12,最优目标函数值：

z=1200,三、线性规划问题解的可能结果,

（一）无穷多最优解,

（二）无界解,（三）无解,第三节线性规划问题解的性质,一、线性规划问题的解的概念,基：

若B是矩阵A的mm阶非奇异子矩阵（），则称B是线性规划问题的一个基。

即矩阵B是由m个线性无关的列向量组成，假设B可以表述为：

基向量：

矩阵B中的各个向量，称为基向量。

非基向量：

矩阵A中其余的向量，称为非基向量。

基变量：

与基向量对应的决策变量，称为基变量。

非基变量：

与非基向量对应的决策变量，称为非基变量。

可行解：

满足约束条件（1.1）、（1.2）的解，称为线性规划问题的可行解。

全部可行解的集合称为可行域。

最优解：

使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。

基解：

对于某个特定的基B，非基变量均取0时的解，称为基解。

基可行解：

满足非负条件（1.2）的基解，称为基可行解。

可行基：

与基可行解相对应的基，称为可行基。

二、线性规划的基本定理,定义1.1设K是n维欧氏空间的一个点集，若对于K中的任意两点和，均有，则称K为凸集。

定义1.2设K为凸集，若X不能用K中任意两点和的线性组合表示为，则称X为凸集K的一个顶点（或称为极点）。

定理1.1若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集。

定理1.2线性规划问题的基可行解X对应于可行域R的顶点。

定理1.3若线性规划问题的可行域非空有界，则线性规划问题的最优解一定可以在其可行域的某个顶点上得到。

第四节单纯形法,基本思路:

先找出一个基可行解，判断其是否为最优解，如果为否，则转换到相邻的基可行解，并使目标函数值不断增大，直到找到最优解为止。

一、单纯形法的求解步骤,1.确定初始基可行解,对于标准形的线性规划问题：

约束条件的变量的系数矩阵中总会存在一个单位矩阵：

当约束条件均为号时，加上松弛变量xs1,xs2,xsm的系数矩阵即为单位矩阵。

用非基变量表示基变量可得到：

令所有非基变量等于零，即可找到一个解:

简写为：

（1.5）,2.最优性检验,将（1.5）式代入目标函数：

设：

则：

定理1.5（无穷多最优解）设为对应于基B的一个基可行解，且对于一切有，同时又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题存在无穷多最优解。

定理1.4（最优解）设为对应于基B的一个基可行解，且对于一切有，则为线性规划问题的最优解。

定理1.6（无界解）设为对应于基B的一个基可行解，存在某个非基变量的检验数，且有，则线性规划问题具有无界解。

3.寻找新的基可行解,确定进基变量,对应的变量为进基变量。

确定离基变量,对应的变量为离基变量。

迭代计算,对于列向量，以为主元素，将变为1，其余变为0，即将向量变换为单位向量。

重复2、3直到所有的检验数小于等于0为止，则问题得到最优解。

第1步：

确定初始基可行解，列出初始单纯形表。

为了书写规范和便于计算，对单纯形法的计算设计了一种专门表格，称为单纯形表。

二、单纯形表,第2步：

最优性检验。

如表中所有检验数j0，且基变量中不含有人工变量时，表中的基可行解即为最优解，计算结束。

对基变量中含人工变量时的解的最优性检验将在下一节中讨论。

当表中存在j0又Pj0，则问题为无界解，计算结束；否则转下一步。

第3步：

列出新的单纯形表，寻找新的基可行解。

只要有检验数j0，对应的变量xj就可作为换入基的变量，当有一个以上检验数大于零时，一般从中找出最大一个k。

作为进基变量（也称换入变量）,确定进基变量。

确定离基变量。

根据最小的规则确定：

元素决定了从一个基可行解到相邻基可行解的转移去向，取名主元素。

以ah,m+l，为主元素进行迭代。

迭代计算,第4步：

重复第2，3两步，直到所有的检验数小于等于0时，计算结束。

【例1-5】用单纯形法求解线性规划问题,解：

将上述问题化为标准形式有：

其约束条件系数矩阵为：

列出初始单纯形表为：

36/3,16/1,90,0,70,0,0,0,65,12,1,5,0,0,1,0,0,1/3,2/3,4,0,1/3,1,-1/3,0,0,10,0,-30,0,12,18,13,12,0,1,3,-1,0,5,0,0,-15,5,1,4,1,0,-2,1,0,0,-30,0,-20,0,例：

利用单纯形法求解下列问题,化为标准型,s.t.,s.t.,24/6,5/1,2,0,1,0,0,0,1,4,1,2/3,0,-1/6,1,0,0,1/6,1/3,15,0,5,1,0,0,0,1/3,0,-1/3,0,3,12,3/2,15/2,0,0,1,5/4,-15/2,3/2,0,1,0,-1/4,3/2,7/2,1,0,0,1/4,-1/2,0,0,0,-1/4,-1/2,建立初始单纯形表如下：

第五节单纯形法的其他问题讨论,一、关于标准形为最小化问题,目标函数最小化的标准形式，最优性检验的判别定理：

定理1.7（最优解）设为对应于基B的一个基可行解，且对于一切有则为线性规划问题的最优解。

定理1.8（无穷多最优解）设为对应于基B的一个基可行解，且对于一切有，同时又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题存在无穷多最优解。

定理1.9（无界解）设为对应于基B的一个基可行解，存在某个非基变量的检验数，且有，则线性规划问题具有无界解。

二、人工变量法,【例1-6】用单纯形法求解线性规划问题,解：

将其化成标准形式有,上述标准化模型中，不存在单位矩阵，为构造单位矩阵，则需要通过添加人工变量的方法，人为构造一个单位矩阵，该方法即所谓的人工变量法。

1.大M法,大M法又称惩罚法，其基本思想是：

约束条件加入人工变量后，为使目标函数取值不受影响，给定它们在求最大值（max）的目标函数中的系数为（-M）（称为惩罚因子，M为任意大的正数），以作为对基变量中存在人工变量的惩罚，从而迫使人工变量从基变量中分离出来，否则目标函数将不能实现最大化。

添加人工变量后，例1-6的数学模型形式变为：

列出初始单纯形表如下：

3,8,-6,0,-1,0,1,-1,-3,3,0,0,1,0,-2,-2,1,0,0,0,1,1-2M,5-6M,5M,-M,0,0,0,2,1,3/5,8/3,-6/5,3/5,1,0,-1/5,0,1/5,-1/5,31/5,0,0,3/5,1,-3/5,-7/5,11/5,-2/5,0,1,-2/5,0,2/5,3/5,5,0,0,0,0,-M,1-M,5,3/5,31/3,计算机处理数据时，只能用很大的数代替M,可能造成计算机上的错误，故多采用两阶段法。

2、两阶段法,第一阶段：

添加人工变量，重新构造目标函数,将原问题加入人工变量，构造仅含人工变量的新的目标函数，并要求实现最小化。

新的目标函数形式如下：

求解上述线性规划问题。

若w=0，则原线性规划问题存在基可行解，计算转入第二阶段；若w0，则原线性规划问题无可行解，计算停止。

第二阶段：

对原目标函数求解,在第一阶段的最终单纯形表中，将才cj行的数字换为原目标函数的系数，并且去掉表中含有人工变量的列，继续求解。

将例1-6问题利用两阶段法进行求解。

第一阶段：

添加人工变量，重新构造目标函数。

例1-6用两阶段法求解时，第一阶段的线性规划问题可写为：

将上述数学模型标准化后，用单纯形法求解过程见下表：

3,8,-6,0,-1,0,1,-1,-3,3,0,0,1,0,-2,-2,1,0,0,0,1,-2,-6,5,-1,0,0,0,2,1,3/5,8/3,-6/5,3/5,1,0,-1/5,0,1/5,-1/5,31/5,0,0,3/5,1,-3/5,-7/5,11/5,-2/5,0,1,-2/5,0,2/5,3/5,0,0,0,0,0,-1,-1,5,3/5,可以看出：

W=0，该问题有解；转入第二阶段。

第二阶段：

得最优解。

将第一阶段得到的最终单纯形表的人工变量列去掉，将目标Cj行换为原目标函数的系数，再进行迭代。

31/3,三、单纯形法计算中退化与循环问题,单纯形法计算中按最小比值来确定离基变量时，有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就会出现一个或多个基变量等于零的情形，这就出现了所谓的退化解。

当存在退化解时，就有可能出现迭代计算的循环。

勃兰特规则：

（1）当存在多个且相等时，选取中下标值最小的变量作为进基变量；,

（2）当按规则计算出现两个或两个以上相同的最小比值时，选取下标值最小的变量作为离基变量。

第六节线性规划应用举例,一、混合配料问题,【例1-7】某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、D。

已知产品的规格、产品单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价如表1-10、表1-11所示。

问该厂如何安排生产，利润收入最大？

解：

设Ac表示A产品中C的成分，其数量用x1表示；,AP表示A产品中P的成分，其数量用x2表示；,AH表示A产品中H的成分，其数量用x3表示；,BC表示B产品中C的成分，其数量用x4表示；,BH表示B产品中H的成分，其数量用x6表示；,BP表示B产品中P的成分，其数量用x5表示；,DC表示D产品中D的成分，其数量用x7表示；,DH表示D产品中H的成分，其数量用x9表示.,DP表示D产品中P的成分，其数量用x8表示；,依据题意，得：

依据产品规格要求得：

整理得：

依据原材料每天供应量限制得：

该问题的线性规划数学模型为：

二、生产计划安排问题,【例1-8】某厂生产、三种产品，都分别经A、B两道工序加工。

设A工序可分别在设备A1或A2上完成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成B工序。

已知产品可在A、B任何一种设备上加工；产品可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品只能在A2与B2设备上加工。

加工单位产品所需工序时间及其它各项数据见下表，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。

解：

设产品、的产量分别为x1,x2,x3件。

产品有6种加工方案，分别利用设备（A1,B1）（A1,B2）（A1,B3）（A2，B1）（A2,B2）（A2,B3），各方案加工的产品数量用Xll，x12，x13，x14，x15，x16表示；产品有2种加工方案，即（A1,B1）（A2,B1），加工数量用x21，x22表示；产品只有1种加工方案（A2,B2），加工数量等于x3。

工厂的盈利为产品售价减去相应的原料费和设备加工费。

产品加工量只受设备有效台时的限制。

故可建立如下线性规划模型：

三、生产与存贮问题,解：

设xij为i种产品j月份在正常时间内生产的数量，为第i种产品j月份在加班时间内生产的数量。

该厂盈利总额为生产的5种产品销售价减去成本和库存费用。

问题的限制条件有两项：

一是各个月的正常和加班的允许工时，二是满足交货要求。

本例的线性规划模型可表示为:

【例1-9】某厂签订了5种产品（i1，5）上半年的交货合同。

已知各产品在第j月（j1，6）的合同交货量Dij，该月售价sij、成本价cij及生产1件时所需工时aij。

该厂第j月的正常生产工时为tj，但必要时可加班生产，第j月允许的最多加班工时不超过，并且加班时间内生产出来的产品每件成本增加额外费用元；若生产出来的产品当月不交货，每件库存1个月交存贮费pi元。

试为该厂设计一个保证完成合同交货，又使上半年预期盈利总额为最大的生产计划安排。

解：

设为i种产品j月份在正常时间内生产的数量，为第i种产品j月份在加班时间内生产的数量。

本例的线性规划模型可表示为:

四、人力资源分配问题,【例1-10】某医院护士值班班次及每班所需要的护士人数如下表所示。

若该医院值班护士分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时。

问该医院最少需要多少护士，才能满足工作需要？

解：

设xi表示第i班开始时上班的护士人数。

根据题意，该问题的数学模型为：

五、连续投资问题,【例1-11】某部门在今后五年内考虑给以下项目投资，已知：

项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利115%；项目B，第三年初需要投资，到第五年末收回本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；项目C，第二年初需要投资，到第五年末收回本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%；该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末的资金的本利总额为最大？

解：

设xiA表示第i年年初给项目A的投资额（i=1,2,3,4）；xiB表示第i年年初给项目B的投资额（i=3）；xiC表示第i年年初给项目C的投资额（i=2）；xiD表示第i年年初给项目D的投资额（i=1,2,3,4,5）。

由于项目D每年都可以投资，并且当年末即能收回本息。

所以该部门每年应把资金全部投出去，手中不应当有剩余的呆滞资金。

根据题意有：

项目B、项目C的最大投资限制，即：

目标要求是到第五年末该部门拥有的资金的本利总额最大，目标函数可表述为：

数学模型：

第七节WinQSB软件应用,【例1-12】利用WinQSB软件求解例1-1的线性规划问题。

解：

具体操作过程如下：

启动线性规划与整数线性规划程序。

依次点取：

开始程序WinQSBLinearandIntegerProgramming，系统出现如下图的界面。

建立新的数据文件或打开已有的数据文件。

点击FileNewProblem，系统出现如下图的界面。

输入数据。

选择SpreadsheetMatrixForm（电子表格格式），输入数据，系统出现如下图的输入界面。

问题求解。

点击系统菜单SolveandAnalyze，出现的下拉菜单有三个选项：

SolvetheProblem（求解不显示迭代过程）、SolveandDisplaySteps（求解并显示迭代过程）和GraphicMethod（图解法）。

如选择SolvetheProblem，系统直接给出求解结果，如下图所示。

本章结束！