河南省鹤壁市淇滨高级中学学年高二数学下学期第一次周考试题理文档格式.docx
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)
5.若函数f(x)=x3-f¡
(1)·
x2-x,则f¡
(1)的值为( )
A.0B.2C.1 D.-1
6.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是( )
A.2B.1C.0D.由a确定
7.做直线运动的质点在任意位置处所受的力F(x)=1+ex,则质点沿着与F(x)相同的方向,从点x1=0处运动到点x2=1处,力F(x)所做的功是( )
A.1+eB.eC.D.e-1
8.设函数在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数的图象可能是( )
9.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A.2B.4C.2D.4
10.已知积分(kx+1)dx=k,则实数k=( )
A.2B.-2C.1D.-1
11.已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f
(1)=1,f′(x)>
1,则f(x)>
x的解集是( )
A.(0,1)B.(-1,0)∪(0,1)
C.(1,+¡
)D.(-¡
,-1)∪(1,+¡
12.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为( )
A.B.2C.3D.2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.(x2-2sinx)dx=________.
14.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.
15.函数f(x)=ax3-3x在区间[-1,1]上为单调减函数,则a的取值范围是________.
16.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个相异的公共点,则a的取值范围是__________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设函数f(x)=,求函数f(x)的单调区间.
18.(本小题满分12分)曲线f(x)=x3在点A处的切线的斜率为3,求该曲线在点A处的切线方程.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln(x+1)+x2-ax+1(a>
1).
(1)求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)a>
1时,求函数y=f(x)的单调区间和极值.
20.(本小题满分12分)某个体户计划经销A,B两种商品,据调查统计,当投资额为x(x¡
Ý
0)万元时,在经销A,B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元,其中f(x)=a(x-1)+2,g(x)=6ln(x+b)(a>0,b>0).已知投资额为零时收益为零.
(1)求a,b的值;
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大利润.
21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若当x¡
0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-alnx(a¡
Ê
R).
(1)若f(x)在x=2处取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
数学答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
解析:
函数是关于x的函数,因此sin¦
是一个常数.
答案:
C
【解析】 y¡
=2ax,于是切线斜率k=y¡
|x=1=2a,由题意知2a=2,¡
à
a=1.
【答案】 A
A.(sina)′=cosa(a为常数)
B.(cosx)′=sinx
C.(sinx)′=cosx
D.(x-5)′=-x-6
【解析】 由导数公式知选项A中(sina)′=0;
选项B中(cosx)′=-sinx;
选项D中(x-5)′=-5x-6.
【答案】 C
,2)B.(0,3)
C.(1,4)D.(2,+¡
【解析】 f¡
(x)=(x-2)ex,由f¡
(x)>
0,得x>
2,所以函数f(x)的单调递增区间是(2,+¡
).
【答案】 D
(x)=x2-2f¡
x-1,则f¡
(1)=12-2f¡
1-1,解得f¡
(1)=0.
A.2B.1
C.0D.由a确定
f¡
(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,无极值.故选C.
C
W=F(x)dx=(1+ex)dx=(x+ex)|=(1+e)-1=e.
B
f(x)在(-¡
,0)上为增函数,在(0,+¡
)上变化规律是减¡
ú
增¡
减,因此f¡
(x)的图象在(-¡
,0)上,f′(x)>0,在(0,+¡
)上f¡
(x)的符号变化规律是负¡
正¡
负,故选项A正确.
A
A.2B.4C.2D.4
直线y=4x与曲线y=x3交点坐标为(0,0)和(2,8),依题意得S=(4x-x3)dx==4.
D
A.2B.-2
C.1D.-1
因为(kx+1)dx=k,
所以=k,
所以k+1=k,
所以k=2.
不等式f(x)>
x可化为f(x)-x>
0,
设g(x)=f(x)-x,则g¡
(x)=f¡
(x)-1>
所以函数g(x)在R上单调递增,又g
(1)=f
(1)-1=0,
所以原不等式?
g(x)>
0?
g
(1).
所以x>
1,故选C.
A.B.2
C.3D.2
【解析】 设曲线上的点A(x0,ln(2x0-1))到直线2x-y+3=0的距离最短,
则曲线上过点A的切线与直线2x-y+3=0平行.
因为y¡
=¡
¤
(2x-1)′=,
所以y¡
|==2,解得x0=1.
所以点A的坐标为(1,0).
所以点A到直线2x-y+3=0的距离为d===.
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上)
13.(x2-2sinx)dx=________.
(x2-2sinx)dx==-=18.
18
14.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.
【解析】 设P(x0,y0),¡
ß
y=e-x,¡
y¡
=-e-x,
¡
点P处的切线斜率为k=-e-x0=-2,
-x0=ln2,¡
x0=-ln2,
y0=eln2=2,
点P的坐标为(-ln2,2).
【答案】 (-ln2,2)
15.函数f(x)=ax3-3x在区间[-1,1]上为单调减函数,则a的取值范围是________.
(x)=3ax2-3,
因为f(x)在[-1,1]上为单调减函数,
所以f¡
(x)≤0在[-1,1]上恒成立,
即3ax2-3≤0在[-1,1]上恒成立,
所以a¡
Ü
,因为x¡
[-1,1],所以a¡
1.
(-¡
,1]16.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个相异的公共点,则a的取值范围是__________.
【解析】 令f¡
(x)=3x2-3=0,得x=¡
À
1,
可求得f(x)的极大值为f(-1)=2,
极小值为f
(1)=-2,
如图所示,-2<
a<
2时,恰有三个不同公共点.
【答案】 (-2,2)
三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
解:
(x)=-ex+ex=ex,
由f¡
(x)=0,得x=1.
因为当x<0时,f′(x)<0;
当0<x<1时,f′(x)<0;
当x>1时,f′(x)>0.
所以f(x)的单调递增区间是[1,+¡
),单调递减区间是(-¡
,0),(0,1].
可由导数定义求得f¡
(x)=3x2.
令3x2=3,则x=¡
当x=1时,切点为(1,1),
所以该曲线在(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0;
当x=-1时,切点坐标为(-1,-1),
所以该曲线在(-1,-1)处的切线方程为y+1=3(x+1),即3x-y+2=0.
综上知,曲线f(x)=x3在点A处的切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln(x+1)+x2-ax+1(a>
(2)当a>
(1)f(0)=1,f′(x)=+x-a=,f′(0)=0,所以函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)函数的定义域为(-1,+¡
),
令f¡
(x)=0,即=0.
解得x=0或x=a
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