均值不等式 含答案文档格式.docx
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D.有最大值-1,无最小值
【答案】 D
【解析】 ∵x≤-2,∴f(x)=x++3
=-+3≤-2+3
=-1,当且仅当-x=-,即x=-2时,取等号,
∴f(x)有最大值-1,无最小值.
3.已知两个正实数x,y满足x+y=4,则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围是____________.
【答案】
【解析】 +==++≥+2=.
4.求函数y=(x>
-1)的最小值.
【分析】 对于本题中的函数,可把x+1看成一个整体,然后将函数用x+1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的形式特点,从而能用均值定理来处理.
【解析】 因为x>
-1,
所以x+1>
0.
所以y==
=(x+1)++5≥2+5=9
当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.
∴当x=1时,函数y=(x>
-1),取得最小值为9.
【规律方法】 形如f(x)=(m≠0,a≠0)或者g(x)=(m≠0,a≠0)的函数,可以把mx+n看成一个整体,设mx+n=t,那么f(x)与g(x)都可以转化为关于t的函数.
课后作业
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设x>
0,则y=3-3x-的最大值是( )
A.3 B.3-3
C.3-2D.-1
【解析】 y=3-3x-=3-(3x+)≤3-2
=3-2.
当且仅当3x=,即x=时取“=”.
2.下列结论正确的是( )
A.当x>
0且x≠1时,lgx+≥2
B.当x>
0时,+≥2
C.当x≥2时,x+的最小值为2
D.当0<
x≤2时,x-无最大值
【答案】 B
【解析】 A中,当x>
0且x≠1时,lgx的正负不确定,∴lgx+≥2或lgx+≤-2;
C中,当x≥2时,(x+)min=;
D中当0<
x≤2时,y=x-在(0,2]上递增,(x-)max=.
3.如果a,b满足0<
a<
b,a+b=1,则,a,2ab,a2+b2中值最大的是( )
A.B.a
C.2abD.a2+b2
【解析】 方法一:
∵0<
b,∴1=a+b>
2a,∴a<
,
又a2+b2≥2ab,
∴最大数一定不是a和2ab,
又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab,
∵1=a+b>
2,∴ab<
∴1-2ab>
1-=,即a2+b2>
.
方法二:
特值检验法:
取a=,b=,则2ab=,a2+b2=,∵>
>
,∴a2+b2最大.
4.已知a>
b>
c>
0,则下列不等式成立的是( )
A.+>
B.+<
C.+≥
D.+≤
【答案】 A
【解析】 ∵a>
0,
∴a-b>
0,b-c>
0,a-c>
∴(a-c)
=[(a-b)+(b-c)]·
=2++
≥2+2=4.
∴+≥>
5.下列函数中,最小值为4的是( )
A.f(x)=x+B.f(x)=2×
C.f(x)=3x+4×
3-xD.f(x)=lgx+logx10
【解析】 A、D选项中,不能保证两数为正,排除;
B选项不能取等号,f(x)=2×
=2×
(+)≥4,要取等号,必须=,即x2+4=1,这是不可能的,排除.故选C.
6.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左、右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量.设物体放在左右托盘称得的重量分别为a,b(a≠b),则物体的实际重量为多少?
实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了?
( )
A.;
大B.;
小
C.;
大D.;
【解析】 设物体真实重量为m,天平左、右两臂长分别为l1,l2,则
ml1=al2①
ml2=bl1②
①×
②得m2l1l2=abl1l2
∴m=
又∵≥且a≠b,∴等号不能取得,故m<
7.已知x>
0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )
A.3B.4
C.D.
【解析】 ∵x+2y+2xy=8,∴y=>
∴-1<
x<
8,
∴x+2y=x+2·
=(x+1)+-2≥2-2=4,当且仅当x+1=时“=”成立,此时x=2,y=1,故选B.
8.在区间[,2]上,函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R)与g(x)=在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在区间[,2]上的最大值是( )
A.B.4
C.8D.
【解析】 ∵g(x)==x++1≥3,当x=1时取等号,即当x=1时取最小值3,∴f(x)的对称轴是x=1,∴b=-2,将(1,3)代入即得c=4,∴f(x)=x2-2x+4,易得在[,2]上的最大值是4.
二、填空题(每小题10分,共20分)
9.比较大小:
________2(填“>
”“<
”“≥”或“≤”).
【答案】 ≥
【解析】 =+≥2.
10.当x>
1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是________.
【答案】 (-∞,3]
【解析】 ∵x>
1,∴x+>
要使x+≥a恒成立,设f(x)=x+(x>
1),则a≤f(x)min对x>
1恒成立.
又f(x)=x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=即x=2时取“=”.
∴a≤3.
三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11.设x,y∈R+,且x+y+xy=2,
(1)求x+y的取值范围;
(2)求xy的取值范围.
【解析】
(1)2=x+y+xy≤x+y+()2,
当且仅当x=y时取“=”.
∴(x+y)2+4(x+y)-8≥0.
∴[(x+y)+2]2≥12.
∵x+y>
0,∴x+y+2≥.
∴x+y≥2-2,当且仅当x=y=-1时取“=”.
故x+y的取值范围是[2-2,+∞).
(2)2=x+y+xy≥2+xy,当且仅当x=y=-1时取“=”.
∴()2+2≤2.∴(+1)2≤3.
又x、y>
0,∴+1>
0.∴+1≤.
∴0<
≤-1.
xy≤4-2,即xy的取值范围是(0,4-2].
12.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,每一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.
(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?
(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?
【解析】
(1)设船捕捞n年后的总盈利y万元.则
y=50n-98-[12×
n+×
4]
=-2n2+40n-98
=-2(n-10)2+102
∴捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.
(2)年平均利润为=-2
≤-2=12
当且仅当n=,即n=7时上式取等号.
所以,捕捞7年后的平均利润最大,最大是12万元.
【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.
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