高考专题复习:三角函数、解三角形.doc
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高考专题复习:三角函数、解三角形.doc
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1高考复习专题:
三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的有关概念
(1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角
(2)从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角(3)若与是终边相同的角,则用表示为2k,kZ.2弧度与角度的互化
(1)1弧度的角:
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
(2)角的弧度数:
如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,那么,角的弧度数的绝对值是|lr.(3)角度与弧度的换算1180rad;1rad180.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l,圆心角大小为(rad),半径为r,则l|r,扇形的面积为S12lr12|r2.3任意角的三角函数
(1)定义:
设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么siny,cosx,tanyx(x0)
(2)几何表示:
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角的正弦线,余弦线和正切线(3)三角函数在各象限内的符号口诀是:
一全正、二正弦、三正切、四余弦例1
(1)写出终边在直线y3x上的角的集合;
(2)若角的终边与67角的终边相同,求在0,2)内终边与3角的终边相同的角;(3)已知角为第三象限角,试确定2的终边所在的象限互动探究:
在本例(3)的条件下,判断2为第几象限角?
例2已知扇形的圆心角是,半径为R,弧长为l.
(1)若60,R10cm,求扇形的弧长l;
(2)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?
互动探究:
在本例
(1)的条件下,求扇形的弧所在的弧形的面积2例3
(1)(2014嘉兴模拟)已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角终边上一点,且sin255,则y_.
(2)(2012山东高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为_(3)(2014金华模拟)已知点P(sincos,2cos)位于第三象限,则角是第_象限角变式训练1点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动23弧长到达Q点,则点Q的坐标为()A.12,32B.32,12C.12,32D.32,122若三角形的两个内角,满足sincos0,则该三角形的形状为_3若角的终边过点P(8m,6sin30),且cos45,则m的值为_第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:
sin2cos21.
(2)商数关系:
tansincos.2三角函数的诱导公式公式一:
sin(2k)sin,cos(2k)cos_,tan(2k)tan,其中kZ.公式二:
sin()sin_,cos()cos_,tan()tan.公式三:
sin()sin_,cos()cos_,tan()tan.公式四:
sin()sin,cos()cos_,tan()tan.公式五:
sin2cos_,cos2sin.公式六:
sin2cos_,cos2sin_.考点一同角三角函数基本关系式的应用例1已知是三角形的内角,且sincos15.
(1)求tan的值;
(2)把1cos2sin2用tan表示出来,并求其值1已知sin3cos3cossin5,则sin2sincos的值是()A.25B25C2D232已知,32,tan2,则cos_.例2
(1)(2014杭州模拟)若cos313,则sin6()A.13B13C.233D233
(2)已知为第三象限角,f()sin2cos32tan()tan()sin(),化简f();若cos3215,求f()的值已知2,cos(7)35,求sin(3)tan72的值例3
(1)(2013广东高考)已知sin5215,那么cos()A25B15C.15D.25
(2)(2014金华模拟)已知sincos2,(0,),则tan()A1B22C.22D1(3)(2014湖州模拟)若tan3,则sin2cos2的值等于()A2B3C4D6(4)(2013重庆高考)4cos50tan40()A.2B.232C.3D221变式训练1在ABC中,3sin2A3sin(A),且cosA3cos(B),则C等于()A.3B.4C.2D.232(2014丽水模拟)已知cos是方程3x2x20的根,且是第三象限角,则sin32cos32tan2()cos2sin2()A.916B916C54D.54第三节三角函数的图像与性质1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质4函数ysinxycosxytanx图象定义域值域最值单调性奇偶性对称中心对称轴周期考点一三角函数的定义域和值域(或最值)例1
(1)求函数ylg(sin2x)9x2的定义域;
(2)求函数ycos2xsinx|x|4的最大值与最小值(2014嘉兴模拟)已知向量acosx,12,b(3sinx,cos2x),xR,设函数f(x)ab.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在0,2上的最大值和最小值例2
(1)(2014新课标全国卷)在函数ycos|2x|,y|cosx|,ycos2x6,ytan2x4中,最小正周期为的所有函数为()ABCD
(2)(2013浙江高考)已知函数f(x)Acos(x)(A0,0,R),则“f(x)是奇函数”是“2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(3)(2012福建高考)函数f(x)sinx4的图象的一条对称轴是()Ax4Bx2Cx4Dx251函数y2sin(3x)|2的一条对称轴为x12,则_.2函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形,则_.例3
(1)(2014北京高考)设函数f(x)Asin(x)(A,是常数,A0,0)若f(x)在区间6,2上具有单调性,且f2f23f6,则f(x)的最小正周期为_
(2)(2014天津高考)已知函数f(x)cosxsinx33cos2x34,xR.求f(x)的最小正周期;求f(x)在闭区间4,4上的最大值和最小值变式训练1若函数f(x)sinx(0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则等于()A3B2C.32D.232求函数ytan32x的单调区间第四节函数yAsin(x)的图像及三角函数模型的简单应用1用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:
x2322x02322yAsin(x)0A0A02函数ysinx的图象变换得到yAsin(x)(A0,0)的图象的步骤法一法二63函数yAsin(x)(A0,0,x0,)的物理意义
(1)振幅为A.
(2)周期T2.(3)频率f1T2.(4)相位是x.(5)初相是.例1已知函数y2sin2x3.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(3)说明y2sin2x3的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到1(2014浙江高考)为了得到函数ysin3xcos3x的图象,可以将函数y2cos3x的图象()A向右平移12个单位B向右平移4个单位C向左平移12个单位D向左平移4个单位2把函数ysin(x)(0,|)的图象向左平移6个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象表示的函数解析式为ysinx,则_,_.例2
(1)(2014杭州模拟)函数f(x)2sin(x)0,22的部分图象如图所示,则,的值分别是()A2,3B2,6C4,6D4,3
(2)已知函数f(x)Atan(x)0,|2,yf(x)的部分图象如图,则f24()A23B.3C.33D231如图是函数yAsin(x)2(A0,0)的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是()7AA3,T43,6BA1,T43,34CA1,T43,34DA1,T43,62函数f(x)Asin(x)(A0,0,|)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为_例3
(1)(2014安徽高考)若将函数f(x)sin2xcos2x的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是()A.8B.4C.38D.34
(2)(2014辽宁高考)将函数y3sin2x3的图象向右平移2个单位长度,所得图象对应的函数()A在区间12,712上单调递减B在区间12,712上单调递增C在区间6,3上单调递减D在区间6,3上单调递增(3)设函数f(x)Asin(x)(其中A0,0,)在x6处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为2,求f(x)的解析式变式训练1已知0,0,直线x4和x54是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴,则()A.4B.3C.2D.342已知函数f(x)Asin(x)A0,0,|2的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x02,2)
(1)求f(x)的解析式及x0的值;
(2)求f(x)的增区间;(3)若x,求f(x)的值域第五节两角和与差的正弦、余弦和正切1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin_cos_cos_sin_,cos()cos_cos_sin_sin_,tan()tantan1tantan.82二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sin_cos_,cos2cos2sin22cos2112sin2,tan22tan1tan2.3有关公式的逆用、变形
(1)tantantan()(1tan_tan_);
(2)cos21cos22,sin21cos22;(3)1sin2(sincos)2,1sin2(sincos)2,sincos2sin4.4辅助角公式asinxbcosxa2b2sin(x),其中sinba2b2,cosaa2b2.考点一三角函数的化简求值例1
(1)4cos50tan40()A.2B.232C.3D221化简:
(1)sin50(13tan10);
(2)2cos4x2cos2x122tan4xsin2x4.例2
(1)(2013浙江高考)已知R,sin2cos102,则tan2()A.43B.34C34D43
(2)(2014衢州模拟)已知函数f(x)2cosx12,xR.求f6的值;若cos35,32,2,求f23.1设为第二象限角,若tan412,则sincos_.2(2014广东高考)已知函数f(x)Asinx3,xR,且f512322.
(1)求A的值;
(2)若f()f()3,0,2,求f6.例3
(1)(2014江西高考)已知函数f(x)(a2cos2x)cos(2x)为奇函数,且f40,其中aR,(0,)求a,的值;若f425,2,求sin3的值9
(2)(2013
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