三角形中的三角函数.ppt
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三角形中的有关公式三角形中的有关公式1.内角和定理内角和定理:
三角形三内角之和为三角形三内角之和为,即即A+B+C=.注注任意两角和与第三个角总互补任意两角和与第三个角总互补;任意两半角和与第三个角的半角总互余任意两半角和与第三个角的半角总互余;锐角三角形锐角三角形三内角都是锐角三内角都是锐角任两角和都是钝角任两角和都是钝角设设ABC中中,角角A、B、C的对边为的对边为a、b、c,任意两边的平方和大于第三边的平方任意两边的平方和大于第三边的平方.三内角的余弦值为正值三内角的余弦值为正值2.正弦定理正弦定理:
=2R(R为三角形外接圆的半为三角形外接圆的半径径).sinCcsinAasinBb注注正弦定理的一些正弦定理的一些变式式:
(1)a:
b:
c=sinA:
sinB:
sinC;(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时,务必注意可务必注意可能有两解能有两解.3.余弦定理余弦定理:
a2=b2+c2-2bccosA,cosA=等等,常选用余常选用余弦定理鉴定三角形的形状弦定理鉴定三角形的形状.b2+c2-a22bc4.射影定理射影定理:
a=bcosC+ccosB.5.面面积公式公式:
S=aha=absinC=r(a+b+c)(其中其中r为三角形内三角形内切切圆半径半径).121212特别提醒特别提醒:
(1)求解三角形中的求解三角形中的问题时,一定要注意一定要注意A+B+C=这一特性一特性:
A+B=-C,sin(A+B)=sinC,sin=cos;
(2)求求解三角形中含有解三角形中含有边角混合关系的角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余常运用正弦定理、余弦定理弦定理实现边角互化角互化.A+B2C2
(2)sinA=,sinB=,sinC=;c2Ra2Rb2R应用一应用一:
解三角形解三角形例例1设设ABC的三内角的三内角A,B,C成等差数列成等差数列,三边长三边长a,b,c的的倒数也成等差数列倒数也成等差数列,求三内角求三内角.例例3在在ABC中中,若面积为若面积为S,且且2S=(a+b)2-c2,求求tanC的值的值.A=B=C=60提示提示:
令令A-C=2,可得可得:
4cos2-3cos-1=0得得:
cos=1得得:
A=C.A=60,B=30,C=9043-应用举例应用举例例例2在在ABC中中,已知已知b=3,c=23,角角A的平分线的平分线AD=2,求三角形的三内角的度数求三角形的三内角的度数.应用二应用二:
判断三角形的形状判断三角形的形状例例1ABC中中,若若sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C,判断判断ABC的形状的形状.直角三角形直角三角形例例2在在ABC中中,已知已知=,试判试判断三角形的形状断三角形的形状.sin2A-sin2B+sin2Csin2A+sin2B-sin2C1+cos2B1+cos2C例例4在在ABC中中,已知已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,试判断试判断三角形的形状三角形的形状.例例5在在ABC中中,若若a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB,
(1)试判试判断三角形的形状断三角形的形状;
(2)若若cosB=4(1-cosA),求求ABC三边三边a,b,c的比的比.直角三角形或等腰三角形直角三角形或等腰三角形正三角形正三角形直角三角形或等腰三角形直角三角形或等腰三角形直角三角形直角三角形;8:
15:
17例例3在在ABC中中,已知已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,sinA+sinB=3,试判断三角形的形状试判断三角形的形状.应用三应用三:
三角形的证明三角形的证明CBADabbbc提示提示:
(1)法一法一:
边换角边换角法二法二:
角换边角换边
(2)法一法一:
边换角边换角法二法二:
角换边角换边法三法三:
构造图形构造图形(3)作差换作差换c2即可即可.差为差为:
2(a2+b2)-4absin(C+30)2(a2+b2)-4ab=2(a-b)20.(正三角形时取等号正三角形时取等号).例例1在在ABC中中,求证求证:
(1)=;a-ccosBb-ccosAsinBsinA
(2)a2-2abcos(60+C)=c2-2bccos(60+A);(3)a2+b2+c243S(S为ABC的面的面积).证证:
由余弦定理知由余弦定理知,cosA,cosB,cosC为有理数为有理数,cos5即即-cosC为有理数为有理数,而而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB,证明证明sinAsinB为有理数即可为有理数即可(由正弦定理可证由正弦定理可证).或由或由coscos5=cos(3-2)cos(3+2)=cos23cos22-sin23sin22=cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22)=cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B)为有理数为有理数,且且cos0,cos5为有理数为有理数知知:
cos为有理数为有理数.例例2已知已知ABC的三边均为有理数的三边均为有理数,A=3,B=2,试证试证cos5与与cos均为有理数均为有理数.1.ABC中中,A,B的的对边分分别为a,b,且且A=60,a=6,b=4,那么那么满足条件的足条件的ABC()A.有一个解有一个解B.有两个解有两个解C.无无解解D.不能确定不能确定C2.在在ABC中中,AB是是sinAsinB成立的成立的_条件条件.充要充要课后练习课后练习3.在在ABC中中,(1+tanA)(1+tanB)=2,则log2sinC=.12-4.ABC中中,a,b,c分分别是角是角A,B,C所所对的的边,若若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,则C=.a2+b2-c2435.在在ABC中中,若其面若其面积S=,则C=_.60306.在在ABC中中,a=60,b=1,其面其面积为3,则ABC外接外接圆的直径是的直径是_.23937.在在ABC中中,a,b,c是角是角A,B,C的的对边,a=3,cosA=,则cos2=,b2+c2的最大值为的最大值为.13B+C29.设O是是锐角三角形角三角形ABC的外心的外心,若若C=75,且且AOB,BOC,COA的面的面积满足关系式足关系式SAOB+SBOC=3SCOA,求求A.(0,68.在在ABC中中,AB=1,BC=2,则角角C的取的取值范范围是是_.13924510.在在ABC中中,已知已知sinA=,cosB=,求求cosC的值的值.1353560B90,且且sinB=1-cos2B=.131235又又sinA=,220A45或或135A180.A+B180,0A45.cosA=1-sin2A45=.cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB13545=-351312=.6516解解:
在在ABC中中,cosB=,13512解解:
(1)(a+c)(a-c)=b(b-c),b2+c2-a2=bc.11.锐角锐角ABC中中,a、b、c分别是角分别是角A、B、C的对边的对边.
(1)若若(a+c)(a-c)=b(b-c),求求A的大小的大小;
(2)y=2sin2B+sin(2B+)取最取最大值时大值时,求求B的大小的大小.6故由余弦定理得故由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc12=.
(2)y=2sin2B+sin(2B+)=1-cos2B+sin2Bcos+cos2Bsin666=1-cos2B+sin2B1232=1+sin(2B-)2.6A是锐角三角形的内角是锐角三角形的内角,0A.2A=.3当且仅当当且仅当B=时取等号时取等号.3B=.312.已知已知ABC的三个内角的三个内角A,B,C成等差数列成等差数列,求求cosAcosC的取值范围的取值范围.解解:
ABC的三个内角的三个内角A,B,C成等差数列成等差数列,2B=A+C且且A+B+C=180.B=60,C=120-A.cosAcosC=cosAcos(120-A)=cosAcos120cosA+cosAsin120sinA=-cos2A+sinAcosA3212=-(1+cos2A)+sin2A3414=sin(2A-30)-.12140A120,-302A-30210.-sin(2A-30)1.12-cosAcosC.12141412即即cosAcosC的取值范围是的取值范围是(-,.13.已知锐角已知锐角ABC中中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)求证求证:
tanA=2tanB;
(2)设设AB=3,求求AB边上的高边上的高.3515
(1)证证:
sin(A+B)=,sin(A-B)=,3515sinAcosB+cosAsinB=,3515sinAcosB-cosAsinB=,sinAcosB=,2515cosAsinB=,tanAtanB=2.tanA=2tanB.
(2)解解:
由已知由已知A+B,sin(A+B)=,235tan(A+B)=-.34tanA+tanB1-tanAtanB即即=-.34将将tanA=2tanB代入上式并整理得代入上式并整理得:
2tan2B-4tanB-1=0.解得解得:
tanB=1+(负值舍去负值舍去).62tanA=2tanB=2+6.设设AB边上的高为边上的高为CD,则则:
3=AB=AD+DB=+=3CD2+6CDtanACDtanBCD=2+6.AB边上的高为边上的高为2+6.http:
/都停止咯手上动作都停止咯手上动作壹各别再强行压制壹各别再强行压制壹各别再胡乱挣扎壹各别再胡乱挣扎壹动别动、老老实实地呆咯壹段安静时间壹动别动、老老实实地呆咯壹段安静时间半响过后半响过后他终于明白他终于明白刚刚那巨大响动只是碎石滚落声音刚刚那巨大响动只是碎石滚落声音水清还好水清还好好地被他压在身下好地被他压在身下并没什么随着碎石壹同坠入悬崖!
当他意识到她仍处于安全状态之后并没什么随着碎石壹同坠入悬崖!
当他意识到她仍处于安全状态之后突然有壹种幸福得几乎要喜极而泣感觉突然有壹种幸福得几乎要喜极而泣感觉可是才刚刚要喜极而泣可是才刚刚要喜极而泣继而又被壹股巨大继而又被壹股巨大愤怒强占咯心头!
因为他真是要被那各诸人活活地气死咯!
她性子怎么竟会刚烈成那各样子!
上壹次宁可手烂掉、坏掉也别肯医治愤怒强占咯心头!
因为他真是要被那各诸人活活地气死咯!
她性子怎么竟会刚烈成那各样子!
上壹次宁可手烂掉、坏掉也别肯医治那壹次竟然要以死明志那壹次竟然要以死明志他可真是三生有幸他可真是三生有幸娶咯那么壹各贞洁烈妇娶咯那么壹各贞洁烈妇只为咯跟他赌气只为咯跟他赌气连命都可以别要咯!
壹想到那里连命都可以别要咯!
壹想到那里他简直是被气得七窍生烟他简直是被气得七窍生烟所以连想也没想所以连想也没想手上、身上手上、身上恨别能将他全身力气都使出来恨别能将他全身力气都使出来将她肩膀牢将她肩膀牢牢地钉在地上动弹别得牢地钉在地上动弹别得作为壹各自幼既开始习武之人作为壹各自幼既开始习武之人对付柔若无骨、弱别禁风水清根本就别需要对付柔若无骨、弱别禁风水清根本就别需要“杀鸡使出宰牛刀杀鸡使出宰牛刀”可是他现在确实是被她气昏咯头可是他现在确实是被她气昏咯头条件反射般地狠狠地、条件反射般地狠狠地、死死地将她压在身下死死地将她压在身下任凭她怎样使劲挣扎任凭她怎样使劲挣扎就是纹丝别动地被他固定在雪地上就是
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- 三角形 中的 三角函数