完整版高等数学不定积分例题思路和答案超全.docx
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完整版高等数学不定积分例题思路和答案超全
第4章不定积分
内容概要
名称
主要内容
不定
设f(x),x
I,若存在函数F(x),使得对任意xI均有F(x)f(x)
积分
或dF(x)f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。
的概
f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,记为
念
f(x)dxF(x)C
注:
(1)若f(x)连续,则必可积;
(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数,则
F(x)G(x)C。
故不定积分的表达式不唯一。
性
质
d
性质1:
——dx
f(x)dx"*)或~f(x)dxf(x)dx;
不
性质2:
F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C;
定积
性质3:
[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx,,为非零常数。
分
计算
第一换元
设f(u)的原函数为F(u),u(x)可导,则有换元公式:
方法
积分法
(凑微分法)
f((x))(x)dxf((x))d(x)F((x))C
第二类
换元积
设x(t)单调、可导且导数不为零,f[(t)](t)有原函数F(t),
分法
则f(x)dxf((t))(t)dtF(t)CF(1(x))C
分部积分法
u(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)
有理函数积
若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真分式的处理
分
按情况确定。
本章
在下一章定积分中由微积分基本公式可知一求定积分的问题,实质上是求被积函数的原函数问题;
的地
后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积分的求
位与
解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。
从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中
作用
起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程度,几乎完全取决于对这一章掌握的好
坏。
这一点随着学习的深入,同学们会慢慢体会到!
课后习题全解
习题4-1
1.求下列不定积分:
知识点:
直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法
思路分析:
利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分
★⑴
dx
x2.x
思路:
被积函数
由积分表中的公式
(2)可解。
解:
dx
x2-x
5
x2dx
★⑵
1
^=)dx
x
思路:
根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:
(
(x3x2)dx
1
x3dx
1
x2dx
3-1
3x32x2C
4
★(3)(2xx2)dx
思路:
根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,
分别积分。
解:
(2xx2)dx2xdx
x2dx2
In2
1x3C3
★(4).x(x3)dx
思路:
根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,
分别积分。
解:
'x(x3)dx
3
x2dx
1
x2dx
53
22x2C
3x4
2
x
Jx
1
思路:
观察到
3x4
3x21x21
3x2
-后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积
1
分。
解:
42,
3x3x1
2,dx3xdx
.3
—dxxarctanxC
x
★★(6)
dx
思路:
注意到
2
x
1x2
根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
2
5x.
斛:
2dx
1x
dx2dx
1x
arctanxC.
注:
容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分
解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。
/x
★⑺(
2
1+1-
4、4)dx
x
思路:
分项积分。
…/x
斛:
(一
2
——i
3
xx
4、
—)dx
12-x
4
In|x|
x
3x
2
2
4x
3
xdx
-dxx
3x3dx4x4dx
C.
3
★(8)(rv
2
-1"x2)dx
思路:
分项积分。
解:
2、,
)dx
1x2
-dx
1,cc.c
dx3arctanx2arcsinxC.
x2
★★(9)
xxxdx
思路:
?
看到:
x.xx
11
x24
7
x8
直接积分。
解:
■xxxdx
7
x8dx
15
C.
…、1
★★(10)--dx
x(1x)
思路:
裂项分项积分。
解:
1x12(1
x2)
dx
口dxx
dx
1-
一arctanxC.
x
2x
★(11)
e
x
e
(ex1)(ex1)
解:
dx
(ex1)dx
C.
★★(12)3xexdx
思路:
初中数学中有同底数嘉的乘法:
指数不变,底数相乘。
显然
.XX/、x(3e)-
解:
3edx(3e)dxC.
ln(3e)
2
★★(13)cotxdx
思路:
应用三角卜I等式“cotxcsc2x1"。
解:
cot2xdx(csc2x
1)dx
cotxxC
★★(14)
52x
-dx
3x
思路:
被积函数
23x52x
3
-2、x―八
5-),积分没困难。
3
Tx3x
(2
2,5(-))dx2x5
3
C.
ln2ln3
★★(15)cos2-dx
2
思路:
若被积函数为弦函数的偶次方时,
一般地先降嘉,再积分。
52x,
解:
cos-d2
1
★★(16)dx
1cos2x
1sinxC.2
思路:
应用弦函数的升降嘉公式,先升寨再积分。
解:
——1——dx
1cos2x
―「dx
2cosx
se(2xdx1tanx
2
C.
★(17)
cos2x,dx
cosxsinx
2・2
思路:
不难,关键知道cos2xcosxsin
x(cosxsinx)(cosxsinx)'。
解:
★(18)
cos2xdx(cosxsinx)dxcosxsinx
cos2x,
22~2-dx
cosxsinx
sinxcosx
C.
思路:
同上题方法,应用“
cos2xcos2xsin
x”,分项积分。
〃cos2x
解:
——22
cosxsin
-dxx
…22
cosxsinx
…2_
cosxsin
dx
—12—dxsinx
1
2-xcosx
csc2xdx
secxdx
cotx
tanx
C.
★i)后
1x
\1x)dx
思路:
注意到被积函数
1x
\1x
1x
1x
1x
1x2
1x2
2…一r
.,应用公式(5)即可。
1x2
1
x
解:
(
1x
闩dx
==dx
x2
2arcsinx
C.
1
★★(20)
2cosxdx
1cos2x
思路:
注意到被积函数
1cos
cos2x
2
cosx
72
2cosx
12
-sec
2
1…
—,则积分易得。
2
cos2x
1sec2xdx工dx
22
tanx
C.
★2、设xf(x)dx
arccosxC,求f(x)。
知识点:
考查不定积分(原函数)与被积函数的关系
d
思路分析:
直接利用不定积分的性质1:
——[f(x)dx]f(x)即可。
dx
解:
等式两边对x求导数得:
xf(x)
1
f(x)
★3、设f(x)的导函数为sinx,求f(x)的原函数全体。
知识点:
仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。
思路分析:
连续两次求不定积分即可。
解:
由题意可知,f(x)sinxdxcosxCi
所以f(x)的原函数全体为:
(cosxC1)dxsinxC1xC2。
1x
★4、证明函数一e2x,exshx和exchx者B是的原函数
2chx-shx
知识点:
考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:
只需验证即可。
ECe2xHd12x\rdrx,rdrx2x
解:
Qe,而一[(一e)]一[eshx]—[echx]e
chxshxdx2dxdx
2
★5、一曲线通过点(e,3),且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。
知识点:
属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:
求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。
“d.1
解:
设曲线方程为yf(x),由题意可知:
——[f(x)]—,f(x)ln|x|C;dxx
又点(e2,3)在曲线上,适合方程,有3ln(e2)C,C1,
所以曲线的方程为f(x)ln|x|1.
2
★★6、一物体由静止开始运动,经t秒后的速度是3t(m/s),问:
(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2)物体走完360米需要多少时间?
知识点:
属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:
求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。
解:
设物体的位移方程为:
yf(t),
则由速度和位移的关系可得:
d«2
汗⑴]3t
f(t)t3C,
又因为物体是由静止开始运动的,
f(0)0,C0,f(t)t3
3
(1)3秒后物体离开出发点的距离为:
f(3)3327米;
⑵令t3360t耳360秒习题4-2
★1、填空是下列等式成立。
知识点:
练习简单的凑微分。
思路分析:
根据微分运算凑齐系数即可。
112314
解:
(1)dx—d(7x3);
(2)xdx-d(1x2);(3)x3dx—d(3x42);
7212
(4)e2xdx1d(e2x);(5)dx1d(5ln|x|);(6)dx1d(351n|x|);
2x5x5
1-dx1dx1
⑺一dt2d(,t);(8)—^-d(tan2x);(9)1-d(arctan3x).
Ucos22x219x23
2、求下列不定积分。
知识点:
(凑微分)第一换元积分法的练习思路分析:
审题看看是否需要凑微分。
直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形
式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。
此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍!
3t
★
(1)e3tdt
思路:
凑微分。
…3t13t13t
解:
edt-ed(3t)-eC
33
3
★
(2)(35x)dx
思路:
凑微分。
3131.
解:
(35x)dx-(35x)d(35x)—(35x)4C
1,
★(3)dx
32x
思路:
凑微分
1
——d(32x)
2x
1八
-ln|32x|C.
.1.
解:
dx
32x
1.
★(4)dx
353x
思路:
凑微分
1
—(53x)3d(53x)3
-(53xFC.
2
.1.11,,八、
解:
..dx—d(53x)
353x3353x
x
★(5)(sinaxeb)dx
思路:
凑微分
解:
XX
1x、
(sinaxeb)dxsinaxd(ax)bebd(-)ab
1
一cosaxa
x
beb
★★(6)cos.tdt
思路:
如果你能看到d(Jf)
dt,凑出d(JF)易解
r
解:
COs-1dt2cos而(式)2sin4C
10___2
★⑺tanxsecxdx
思路:
凑微分
102101.
解:
tanxsecxdxtanxd(tanx)—tan
11
11
C.
★★(8)
dx
xlnxlnlnx
思路:
连续三次应用公式
⑶凑微分即可。
〃dx
解:
xlnxlnlnx
d(ln|x|)
lnxlnlnx
d(ln|lnx|)
lnlnx
ln|lnlnx|C
★★(9)tan、1x2—xdx—;1x2
是什么,是什么呢?
就是
d1x2!
这有一定难度!
xdx
思路:
本题关键是能够看到।
Jx2
解:
tan。
1x2
xdx
1x2
tan.1x2dJx2
ln|cos.1
x2|C
★★(10)——dx——sinxcosx
思路:
凑微分。
解:
方法一:
倍角公式sin2x2sinxcosx。
dx
2dx
sinxcosxsin2x
csc2xd2xIn|csc2x
cot2x|C
方法二:
将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。
dx
sinxcosx
cosx.
-dxsinxcosx
—se(2xdxtanx
1-
——dtanx
tanx
ln|tanx|C
22
方法二:
三角公式sinxcosx
然后凑微分。
dx
sinxcosx
..22
sinxcosxdx
sinxcosx
sinxdx
cosx
cosx
dxsinx
dcosx
dsinx
cosx
sinx
In|cosx|In|sinx|C
In
|tanx|
★★(11)-e
dx
xe
思路:
凑微分:
dx
xe
exdx
2xe
dex
1e2x
dex
x2
1(e)
dx
解:
-x
ee
exdx
dex
2xe
x、2
1(e)
arctanexC
2、.
★(12)xcos(x)dx
思路:
凑微分。
2.
解:
xcos(x)dx
cosx
1.-sin
2
x2C
xdx
★★(13)
23x2
思路:
由
xdx
dx2
1d(2
3x2)
23x2
223x2
凑微分易解。
解:
xdx
d(23x2)
23x2
6(2
1
3x2)^d(23x2)
2
★★(14)cos(t)sin(
t)dt
思路:
凑微分。
-2.
解:
cos(t)sin(
t)dt
2/
cos(
t)sin(
t)d
t-cos2(
t)dcos(t)
cos3(t)
C.
★★(15)3x4dx
1x
思路:
凑微分。
解:
4x3
1x4
★(16)cosx
思路:
凑微分。
加sinx.
解:
———dx
cosx
9x★★(17)——
2
=dx
20x
dx
—dx4x
—d(1xx
-In|14
x4|C,
1
3-(cosx
cosx
11
o2-
2cosx
C.
思路:
经过两步凑微分即可。
解:
.10
dx
9
x
^20
2x
1
d
10
10x
12
10
1•,x、-
一arcsin(^)C102
★★(18)xxdx
94x2
思路:
分项后分别凑微分即可。
51x,
解:
tdx
94x2
1
94x
2dx
2dx
12x
d——
2x)23
12
d4x
■.94x2
少)2
3
2x
2xd—
3
=d(94x2)4x2
…9)
arcsin()
23
4、*
C.
思路:
裂项分项后分别凑微分即可。
解:
dx
dx
2x21(12x1)(\2x1)
1(_122x1
1
22
(2:
1J川区
1
2、2
1-
-d(行x
2x1
1)212
1-
d(-.2x
2x1
1)
2x1
2,2ln.2x1
C.
★(20)
xdx
(45x)2
思路:
分项后分别凑微分即可。
解:
一(4
xdx
5x)2
1,45x4
5(4
5x)2
dx
1
25
45x
4—(4
1、
才d(45x)
1
25
1
45x
d(45x)
4
25
(45x)
2d(4
5x)
Ln
25
|45x|
2545x
C.
x2dx
★(21)通
(x1)
思路:
分项后分别凑微分即可。
解:
一(x
x2dx
(x11)2dx
1)100
(x
1)100
((x1)2
(x1)100
1)
24
100
(x1)
1、,
100)dx(x1)100
98
(x1)
1
(x1)99
1
/w\100
(x1)
)d(x1)
1111
97(x1)9749(x1)98
11C
99(x1)99
xdx
思路:
裂项分项后分别凑微分即可。
xdx
解:
-8一
x
xdx
(x4
—2
1)2x4
1、,
Edx
(一
x1
一)dx2
x1
[2(x2
———dx(x2)21
1
In|8
1
4
x
2x
-2-x
产2
1d(x2
1)
2
1d(x1)]
2
-arctanx
C.
★(23)cos3xdx
思路:
凑微分。
cosxdx
-F3.
斛:
cosxdx
2
cosxcosxdx
2
cosxdsinx
―・2、■.
(1sinx)dsinx
sinx1sin3xC
3
2
★★(24)cos(t)dt
思路:
降嘉后分项凑微分。
解:
cos2
(t)dt
1cos2(
2
jt
2dt
cos2(t)d2(t)
2t
sin2(t
★★★(25)
sin2xcos3xdx
思路:
积化和差后分项凑微分。
解:
sin2xcos3xdx
1
-(sin5xsinx)dx
—sin5xd5x10
1sinxdx
2
11c
—cos5x-cosxC
10
★★★(26)sin5xsin7xdx
思路:
积化和差后分项凑微分。
1
11八
—sin2x—sin12xC.
24
„.....11
解:
sin5xsin7xdx-(cos2xcos12x)dx-cos2xd2x
3
★★★(27)tanxsecxdx
思路:
凑微分tanxsecxdxdsecx。
3
解:
tanxsecxdx
tan2x
tanxsecxdx
tan2xdsecx
2
(secx1)dsecx
secxdsecx
dsecx
13
-secx
3
secxC
10arccosx
★★(28)dx
1x2
…...1.
思路:
凑微分一,dx
1x2
d(arccosx)。
10arccosx
解:
*dx
.1x2
arccosx
10darccosx
10arccosx
ln10
C.
★★(29)
dx
(arcsinx)2.1
-1.
思路:
凑微分一jdx,1x2
d(arcsinx)。
解:
dx
(arcsinx)2.1x2
darcsinx
(arcsinx)2
arcsinx
arctan、.x,
★★★★(30)dx
x(1x)
arctan、x,思路:
凑微分-f=dx
.x(1x)
2arctan.xd-
1(x)2.
2arctanVxd(arctanTx)。
后力arctanx.
解:
—j=dx
、x(1x)
2arctan,xdx
1(x)2x
2arctan\xd(arctanx)
(arctanx)2
…、lntanx」
★★★★(31)dx
cosxsinx
思路:
被积函数中间变量为tanx,故须在微分中凑出
2
tanx,即被积函数中凑出secx,
lntanxdxcosxsinx
Intanx
2cos
xtanx
lntanx2,lntanx.
dxsecxdxdtanx
tanxtanx
12、
Intanxd(lntanx)d(-(lntanx))
解:
Intanx
cosxsinx
12
-(lntanx)
dx
★★★★(32)11nx(xlnxf
dx
思路:
d(xlnx)(1
-1lnx,
解:
初dx
(xlnx)
dx
★★★★(33)
1ex
解:
方法
lntanx,
——2dx
cosxtanx
lntanx-dtanxtanx
Intanxd(lntanx)
Inx)dx
1-,、
2d(xlnx)(xlnx)
—Cxlnx
x
思路:
将被积函数的分子分母同时除以e,则凑微分易得。
dxex
/xx
1ee
-d(ex)1
-d(e1
1)
ln|ex
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