东南大学统计信号处理实验二.doc
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东南大学统计信号处理实验二.doc
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《统计信号处理》实验二
实验目的:
1.掌握参数估计方法;
2.掌握用计算机分析数据的方法。
实验内容:
假设一个运动目标,在外力作用下作一维匀加速运动。
其运动轨迹满足的方程为:
。
其中为目标的加速度,为t=0时目标运动的速度(初速度),为目标在t=0时的初始位置。
对目标位置的观测结果为:
其中为观测到的目标位置,,为白色观测噪声。
假设在t=0,1,2,…,99s时刻分别取得了100个观测结果x(0),x
(1),…,x(99)。
1)分别用最大似然,最小二乘方法,根据观测结果求出,和;
2)用Monte_Carlo法,计算出上面两种方法求出的参数的偏差和方差;
3)利用估计出的参数,得到目标位置的时间参数的估计,并用Monte_Carlo法计算在t=0,1,2,…,99s等各个时间点上对目标位置估计的方差和偏差;
4)将噪声的分布改为在(-1,+1)区间分布,应用上面推导出的最大似然,最小二乘公式对参数进行估计,并计算估计的偏差和方差。
实验要求:
1)设计仿真计算的Matlab程序,给出软件清单;
2)完成实验报告,对实验结果进行描述,并给出实验结果,对实验数据进行分析。
实验结果如下:
最小二乘法:
-----------------------------最大似然估计方法----------------------
实验结果分析:
可以发现对于估测结果a最好,估测结果v次之,估测结果s0最差。
从信号变化的角度,或许可以这样理解:
随着时间变化,信号发生变化。
其中,提供的加速度的信息最多,其次是初始速度,提供的初始位移信息量最少。
最大似然估计和最小二乘法相比之下,最大似然估计结果较好一些,但相差很小,基本符合实际值。
(2)利用Monte_Carlo法,计算出上面两种方法求出的参数的偏差和方差
实验结果如下:
实验结果分析:
实际测得两种估计方法,得到的结果基本上是无偏的。
同等观测条件下,两种方法的性能是一致的。
(3)利用估计出的参数,得到目标位置的时间参数的估计,并用Monte_Carlo法计算在t=0,1,2,…,99s等各个时间点上对目标位置估计的方差和偏差;
实验结果如下:
实验结果分析:
从图中可以看出,两种方法下的估计结果偏差很小,方差也不大,估计的效果很不错。
(4)将噪声的分布改为在(-1,+1)区间分布
w=2*delta*rand(1,100)-delta;
当噪声为均匀分布时,最小二乘公式不需要改变,但是最大似然估计的方法要进行变化:
对于均匀分布的情况,联合密度函数为二值函数,计算最大似然比较困难,近似用正态分布结果进行近似。
实验结果分析:
实际测得,这种情况下,两种估计方法,得到的结果也基本上是无偏的。
同等观测条件下,两种方法的性能趋于一致。
软件清单:
Estimate_show.m
s0=0;
v0=0.1;
a=0.01;
N=100;
%1
figure
(1)
[mlls]=estimation(s0,v0,a,N);
subplot(1,2,1)
bar(mean(ml'));
set(gca,'XTickLabel',{'s0';'v0';'a'});
title({'最大似然估计值'});
subplot(1,2,2)
bar(mean(ls'));
set(gca,'XTickLabel',{'s0';'v0';'a'});
title({'最小二乘法估计值'});
%2
[mllsbias_every_mlbias_every_lsvariance_every_mlvariance_every_ls]=estimation(s0,v0,a,N);
ml=ml';
ls=ls';
bias_ml=sum(ml)./N-[0,0.1,0.01];
variance_ml=var(ml);
bias_ls=sum(ls)./N-[0,0.1,0.01];
variance_ls=var(ls);
figure
(2);
subplot(2,3,1)
bar([bias_ml(1,1)bias_ls(1,1)]);
set(gca,'XTickLabel',{'最大似然';'最小二乘法'});
title({'s0的偏差'});
subplot(2,3,2)
bar([bias_ml(1,2)bias_ls(1,2)]);
set(gca,'XTickLabel',{'最大似然';'最小二乘法'});
title({'v0的偏差'});
subplot(2,3,3)
bar([bias_ml(1,3)bias_ls(1,3)]);
set(gca,'XTickLabel',{'最大似然';'最小二乘法'});
title({'a的偏差'});
subplot(2,3,4)
bar([variance_ml(1,1)variance_ls(1,1)]);
set(gca,'XTickLabel',{'最大似然';'最小二乘法'});
title({'s0的方差'});
subplot(2,3,5)
bar([variance_ml(1,2)variance_ls(1,2)]);
set(gca,'XTickLabel',{'最大似然';'最小二乘法'});
title({'v0的方差'});
subplot(2,3,6)
bar([variance_ml(1,3)variance_ls(1,3)]);
set(gca,'XTickLabel',{'最大似然';'最小二乘法'});
title({'a的方差'});
%3
figure(3)
subplot(2,2,1)
plot(0:
99,bias_every_ml)
title('最大似然各点偏差');
subplot(2,2,2)
plot(0:
99,bias_every_ls)
title('最小二乘法各点偏差');
subplot(2,2,3)
plot(0:
99,variance_every_ml)
title('最大似然各点方差');
subplot(2,2,4)
plot(0:
99,variance_every_ls)
title('最小二乘法各点方差');
estimation.m
function[theta_mltheta_lsbias_every_mlbias_every_lsvariance_every_mlvariance_every_ls]=estimation(s0,v0,a,N)
forj=1:
N
%%%%%%%%%%%%--计算初始化--%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
t=0:
99;
nt=randn(1,100);
st=s0+v0*t+0.5*a*t.^2;
xt=st+nt;
%%%%%%%%%%%%--ML计算--%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%计算ML参数[s0v0a]
t1=sum(t);
t2=t*t';
t3=t.^2*t';
t4=(t.^2)*(t.^2)';
x_t0=sum(xt);
x_t1=sum(xt.*t);
x_t2=sum(xt.*t.^2);
A=[2002*t1t2;
2*t12*t2t3;
t2t30.5*t4;
];
b=([2*x_t02*x_t1x_t2])';
theta_ml(:
j)=(inv(A)*b);
%%%%%%%%%%%%--LS计算--%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
h_s=ones(100,1);
h_v=t';
h_a=(0.5*t.^2)';
H=[h_sh_vh_a];
theta_ls(:
j)=inv(H'*H)*H'*xt';
end
xt_ba_ml=H*theta_ml;
xt_ba_ls=H*theta_ls;
bias_every_ml=((sum(xt_ba_ml'))')/N-st';
bias_every_ls=((sum(xt_ba_ls'))')/N-st';
variance_every_ml=((var(xt_ba_ml'))');
variance_every_ls=((var(xt_ba_ls'))');
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