(完整)空间解析几何与向量代数习题与答案.doc
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(完整)空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章空间解析几何与向量代数
A
一、
1、平行于向量的单位向量为______________。
2、设已知两点,计算向量的模,方向余弦和方向角.
3、设,求向量在x轴上的投影,及在y轴上的分向量。
二、
1、设,求
(1)(3)a、b的夹角的余弦.
2、知,求与同时垂直的单位向量。
3、设,问满足_________时,。
三、
1、以点(1,3,—2)为球心,且通过坐标原点的球面方程为__________________。
2、方程表示______________曲面。
3、1)将xOy坐标面上的绕x轴旋转一周,生成的曲面方程为__
_____________,曲面名称为___________________。
2)将xOy坐标面上的绕x轴旋转一周,生成的曲面方程
_____________,曲面名称为___________________。
3)将xOy坐标面上的绕x轴及y轴旋转一周,生成的曲面方
程为_____________,曲面名称为_____________________.
4)在平面解析几何中表示____________图形。
在空间解析几何中
表示______________图形。
5)画出下列方程所表示的曲面
(1)
(2)
四、
1、指出方程组在平面解析几何中表示____________图形,在空间解
析几何中表示______________图形.
2、求球面与平面的交线在xOy面上的投影方程.
3、求上半球与圆柱体的公共部分在
xOy面及xOz面上的投影。
五、
1、求过点(3,0,-1)且与平面3x—7y+5z-12=0平行的平面方程.
2、求过点(1,1,-1),且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,—1,0)的平面方程.
3、求平行于xOz面且过点(2,—5,3)的平面方程.
4、求平行于x轴且过两点(4,0,—2)和(5,1,7)的平面方程。
六、
1、求过点(1,2,3)且平行于直线的直线方程。
2、求过点(0,2,4)且与两平面,平行的直线方程.
3、求过点(2,0,-3)且与直线垂直的平面方程.
4、求过点(3,1,-2)且通过直线的平面方程。
5、求直线与平面的夹角。
6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系
1)直线与直线;
2)直线和平面x+y+z=3.
7、求点(3,—1,2)到直线的距离。
B
1、已知(为非零矢量),试证:
。
2、。
3、已知和为两非零向量,问取何值时,向量模最小?
并证明此时.
4、求单位向量,使且轴,其中。
5、求过轴,且与平面的夹角为的平面方程.
6、求过点,,且垂直于的平面.
7、求过直线,且与直线:
平行的平面.
8、求在平面:
上,且与直线垂直相交的直线方程。
9、设质量为的物体从空间点,移动到点,计算重力所做的功(长度单位为).
10、求曲线在坐标面上的投影曲线的方程,并指出原曲线是什么曲线?
11、已知,求的面积
12、.求直线在平面上的投影直线方程.
C
1、设向量有相同起点,且,其中,不全为零,证明:
终点共线.
2、求过点,且与直线:
相交成角的直线方程.
3、过且平行于平面又与直线相交的直线方程。
4、求两直线:
与直线:
的最短距离.
5、柱面的准线是面上的圆周(中心在原点,半径为1),母线平行于向量,求此柱面方程.
6、设向量a,b非零,,求。
7、求直线绕y轴旋转一周所围成曲面方程。
第七章空间解析几何与向量代数
习题答案
A
一、1、
2、=2,,
3、在x轴上的投影为13,在y轴上的分量为7j
二、1、1)
(2),
(3)
2、
即为所求单位向量。
3、
三、1、
2、以(1,-2,—1)为球心,半径为的球面
3、1),旋转抛物面,球面
3)绕x轴:
旋转双叶双曲面
绕y轴:
旋转单叶双曲面
4、抛物线,抛物柱面
5、
四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点;空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。
2、
3、在xoy面的投影为:
在xOz面的投影为:
五、1、2、
3、4、
六、1、2、
3、4、
5、06、1)垂直2)直线在平面上7、
B
1、证明思路:
,
即,又,
同理得
2、思路:
.答案:
3、思路
该式为关于的一个2次方程,求其最小值即可.答案:
4、思路:
取,则。
答案:
5、思路:
平面过轴,不妨设平面方程为,则,又(
不全为)
答案:
所求平面方程为或
6、法一:
,所求平面法向量,且
取
又平面过点,则平面方程为
解法2.在平面上任取一点,则和共面,由三向量共面的充要条件得,整理得所求平面方程
7、思路:
用平面束。
设过直线的平面束方程为
答案:
平面方程为
8、思路:
求交点,过交点且垂直于已知直线的平面为。
答案:
9、思路:
重力的方向可看作与向量方向相反
答案:
10、思路:
先求投影柱面方程,答案:
原曲线在面上的投影曲线方程为
.原曲线是由旋转抛物面被平面所截的抛物线。
11、思路:
,答案:
12、思路:
利用平面束方程。
答案
C
1、证明:
设,,,根据三角形法则。
则,,。
根据条件不全为,不妨设,则
即与共线。
点在一条直线上。
2、解:
在已知直线上任取两点,,则向量
则构造直线束方程:
表示过点且与已知直线共面的所有直线。
根据已知条件:
当与成角时,有,即,
所求直线方程为.
3、解:
设所求直线方程为
所求直线与已知平面平行,则
(1)
又所求直线与已知直线共面,在已知直线上任取一点,则
在平面上.三向量共面,得,
即
(2)
由
(1)
(2),得所求直线方程:
4、解:
已知两直线的方向向量为,故垂直于两方向向量的向量可取为,又点在直线上
过直线且平行于的平面为,即,又点在直线上,该点到平面的距离
为所求两直线间的最短距离.
5、解:
设柱面上任意一点,过作平行于向量的母线且准线相交于
又,即,,,。
又在圆上,
即
6、解:
7、解:
对旋转曲面上任一点P(x,y,z),过P作平面垂直y轴,与y轴的交点为B(0,y,0),与L的交点为Q()。
因为,所以
又因为Q在L上,所以,代入得
。
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