导数在函数中的应用.docx
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导数在函数中的应用
教师姓名
杨安荣
学生姓名
填写时间
年级
高二
学科
数学
上课时间
阶段
基础(√)提高()强化()
课时计划
第()次课
共()次课
教学目标
1.利用导数求函数的单调区间
2.利用导数求函数的极值及求函数在闭区间上的最值
重难点
1.利用导数求函数的单调区间
2.利用导数求函数的极值及求函数在闭区间上的最值
课后作业:
教师评语
及建议:
1.3导数在研究函数中的应用
知识点一函数的单调性与导数
在某个区间
内,如果
,那么函数
在这个区间内单调递增;
如果
,那么函数
在这个区间内单调递减.
例1:
判断下列函数的单调性,并求出单调区间.
(1)
;
(2)
;
(3)
;(4)
例2:
已知y=
x3+2x2+a2x+5是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.(-∞,-3]∪[3,+∞)D.(-∞,-4]∪[4,+∞)
例3:
若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是( )
A.
B.
C.
D.
例4:
设函数f(x)=x2-18lnx在区间[m-1,m+1]上单调递减,则实数m的取值范围是( )
A.m≤2B.m≥4C.0<m≤3D.1<m≤2
例5:
三次函数f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则m的取值范围是( )
A.m<0B.m<1C.m≤0D.m≤1
例6:
函数y=x3-ax+4在(1,+∞)上为增函数,则a的取值范围是.
例7:
已知定义在R上的函数f(x)可导且导函数f′(x)<1,又f(3)=4,则满足不等式f(x+1)<x+2的实数x的取值范围是.
例8:
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的区间[-1,2]上是减函数,则b+c的取值范围是.
例9:
函数f(x)=ax2+lnx+1在[e,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是.
例10:
已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0),且g(x)=f(x)-2是奇函数.
(1)求a,c的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
例11:
已知函数f(x)=
ax3+(a−2)x+c的图象如图所示.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若g(x)=
在其定义域内为增函数,求实数k的取值范围.
变式练习:
1.若函数f(x)=−
x2+alnx在区间(1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为( )
A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,1)
2.设f′(x)是函数f(x)的导函数,如果函数y=f′(x)的图象如图所示,那么下列结
论一定正确的是( )
A.当x∈(0,1)时,f(x)>0B.当x∈(0,1)时,f(x)<0
C.函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递减D.函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递增
3.函数f(x)在R上可导,x∈(0,+∞)时f′(x)>0,且函数y=f(x)为偶函数,则不等式f(2x-1)<f(3)的解集为.
4.若函数f(x)=x2+ax在x∈[1,3]是单调递减函数,则实数a的取值范围是.
5.若函数f(x)=λx+cosx是区间
上的减函数,则λ的取值范围为.
6.已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x+1)(a∈R)
(1)若当x∈[1,+∞)时,f'(x)>0恒成立,求a的取值范围;
(2)求函数g(x)=f′(x)−
的单调区间.
7.已知f(x)=kxlnx,g(x)=-x2+ax-(k+1)(k>0).
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:
对一切x∈(0,+∞),都有lnx>
成立.
课后作业:
1.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)≤f(x),对任意的正数a、b,若a<b,则必有( )
A.af(a)≤bf(b)B.af(a)≥bf(b)C.af(b)≤bf(a)D.af(b)≥bf(a)
2.如果函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
(0,+∞)B.[0,+∞)C.
D.
3.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有( )
A.f(x)≥f(a)B.f(x)≤f(a)C.f(x)>f(a)D.f(x)<f(a)
4.设定义在R上的函数f(x)满足以下两个条件:
(1)对∀x∈R,都有f(x)+f(-x)=0成立;
(2)当x<0时,(x2+2x)f'(x)≥0则下列不等关系中正确的是( )
A.f(-1)≤f(0)B.f(-2)≤f(-3)C.f
(2)≥f(0)D.f
(1)≥f
(2)
5.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( )
A.
B.
C.
D.
6.若函数y=lnx-ax的增区间为(0,1),则a的值是.
7.函数f(x)=ln(x+1)-mx在区间(0,1)上恒为增函数,则实数m的取值范围是.
8.已知函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则a的取值范围为.
9.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则实数a的取值范围是.
10.若函数f(x)的导函数为f′(x)=2x-4,则函数f(x-1)的单调递减区间是.
11.已知f(x)=ax3+bx2+cx,若函数在区间(-∞,
),(1,+∞)上是增函数,在区间
[
,1]上是减函数,又f′(0)=-5,求f(x)的解析式.
12.已知函数f(x)=x3+ax2-4(其中a为常数)
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,求a的取值范围.
13.已知函数f(x)=lnx-ax2-bx.
(1)当a=-1时,若函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(2)若f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2)两点,且AB的中点为
C(x0,0),求证:
f′(x0)<0.
知识点二函数的极值与导数
求函数
的极值的方法:
解方程
.当
时:
(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值;
(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
例1:
求下列函数的极值.
(1)
;
(2)
;
(3)
;(4)
.
例2:
若函数f(x)=
在x=1处取得极值,则a等于( )
A.-5B.-2C.1D.3
例3:
函数f(x)=ax3+x+1有极值的一个充分而不必要条件是( )
A.a<0B.a>0C.a<-1D.a<1
例4:
若函数f(x)=x3+3bx-3b在区间(0,1)内存在极小值,则实数b的取值范围为( )
A.-1<b<0B.b>-1C.b<0D.
例5:
函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于.
例6:
函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值又有极小值,则a的范围是.
例7:
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则f
(2)等于.
例8:
已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.
(1)求a;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.
例9:
设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2.
(1)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求a的值;
(2)若函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围
变式练习:
1.已知y=asinx+
sin3x在x=
处有极值,则( )
A.a=-2B.a=2C.
D.a=0
2.函数y=x3-3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为( )
A.0B.1C.2D.4
3.已知函数f(x)=|x|,在x=0处函数极值的情况是( )
A.没有极值B.有极大值C.有极小值D.极值情况不能确定
4.函数y=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,则a=.
5.已知函数f(x)=mx3+nx2(m,n∈R)在x=1处取得极值1,则m-n的值为.
6.已知函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则m=.
7.求函数y=2x2-2x+1的极小值.
8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-
与x=1时都取得极值
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间.
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
9.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.
(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.
课后作业:
1.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于( )
A.2B.3C.4D.5
2.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是( )
A.(0,3)B.(0,
)C.(0,+∞)D.(-∞,3)
3.已知函数f(x)=x2(ax+b)(a,b∈R)在x=2处有极小值,则函数f(x)的单调递减区
间为( )
A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.无法判断
4.设y=f(x)在R上可导,则f′(x0)=0是y=f(x)在x=x0处取得极值的( )条件.
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
5.函数f(x)=3x2+lnx-2x的极值点的个数是( )
A.0B.1C.2D.无数个
6.函数f(x)=
x3+ax+4有极大值又有极小值,则a的取值范围是.
7.若f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则a的取值范围是.
8.设a∈R,若函数y=eax+3x(x>0)存在极值,则a取值范围为.
9.已知函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围是.
10.y=3x-x3的极大值是,极小值是.
11.已知函数f(x)=-x2+ax-lnx(a∈R).
(1)求函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件;
(2)当函数f(x)在[
,2]上单调时,求a的取值范围.
12.已知函数f(x)=
x3−ax2+1(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在(1,f
(1))处的切线与直线x+y+1=0平行,求a的值;
(2)若a>0,函数y=f(x)在区间(a,a2-3)上存在极值,求a的取值范围;
(3)若a>2,求证:
函数y=f(x)在(0,2)上恰有一个零点.
13.已知函数f(x)=
在x=1处取得极值e-1.
(1)求函数f(x)的解析式,并求f(x)的单调区间;
(2)当x>0时,试证:
f(1+x)>f(1-x).
知识点三函数的最大(小)值与导数
求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:
(1)求函数
在
内的极值;
(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
例1:
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值.
(1)
;
(2)
;
(3)
;(4)
.
例2:
函数f(x)=(ex-a)2+(e-x-a)2(0<a<2)的最小值为( )
A.a2-2B.2(a-1)2C.2-a2D.-2(a-1)2
例3:
曲线f(x)=xlnx的最小值为( )
A.
B.eC.-eD.
例4:
设函数f(x)=
,x∈[1,4],则f(x)的最大值为,最小值为.
例5:
已知函数f(x)=lnx−
(m∈R)在区间[1,e]上取得最小值4,则m=.
例6:
函数f(x)=2x−tanx在(0,
)上的最大值为.:
例7:
已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)若f′
(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
例8:
已知函数f(x)=
,x∈(0,2],其中常数a>0.
(1)当a=4时,证明函数f(x)在(0,2]上是减函数;
(2)求函数f(x)的最小值.
变式练习:
1.已知函数f(x)=-x3+3x2+m(x∈[-2,2]),f(x)的最小值为1,则f(x)的最大值为( )
A.5B.22C.21D.2
2.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( )
A.1,-1B.3,-17C.1,-17D.9,-19
3.函数f(x)=sinx+x在[0,2π]上的最大值为( )
A.0B.2C.
D.2π
4.函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上的最小值是.
5.函数f(x)=x-2lnx在(0,2]上的值域为.
6.已知函数f(x)=x3-3x2+2,若x∈[-2,3],则函数的值域为.
7.函数f(x)=(x-2)ex在区间[0,2]上的最大值是,最小值是.
8.已知函数y=x3-x2-x,该函数在区间[0,3]上的最大值是.
9.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).
(1)求导数f′(x).
(2)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.
(3)若f(x)在(-∞,-2)和[2,+∞]上都是递增的,求a的取值范围.
10.已知函数f(x)=(ax-2)ex在x=1处取得极值.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)在[m,m+1]上的最小值;
(3)求证:
对任意x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤e.
课后作业:
1.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( )
A.-2B.0C.2D.4
2.函数f(x)=xsinx+cosx+1(x∈[0,π]的最大值为( )
A.
B.2C.1D.0
3.函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是( )
A.5,-15B.5,-4C.-4,-15D.5,-16
4.f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最大值3,那么在[-2,2]上f(x)的最小值是( )
A.-5B.-11C.-29D.-37
5.函数f(x)=ex-2x在区间[1,e]上的最大值为.
6.设函数f(x)=−
+xln(ex+1)+3的定义域为区间[-a,a],则函数f(x)的最大值与最小值之和为.
7.函数y=x-2sinx在区间[
,
]上的最大值为.
8.已知函数f(x)=x2-2lnx,则f(x)的最小值为.
9.已知函数f(x)=x3-3ax+b(a、b∈R)在x=2处的切线方程为y=9x-14.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)令g(x)=-x2+2x+k,若对任意x1∈[0,2],均存在x2∈[0,2],使得f(x1)<g(x2)
求实数k的取值范围.
10.已知函数f(x)=ax-
-(a+1)lnx(a<1).
(1)讨论f(x)的单调区间;
(2)若0<a<
,试证对区间[1,e]上的任意x1、x2,总有成立|f(x1)-f(x2)|<
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