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数学建模案例停车场的优化设计
事例16停车场的优化设计
跟着城市车辆的增添,停车位的需求量也愈来愈大,停车困难已渐渐成为市
民们头疼的问题。
要解决停车难问题,除了尽可能的增添停车场之外,对停车场进行优化设计也能在必定程度上缓解这一供需矛盾。
停车场的优化设计就是在停车场大小确立的状况下,对停车地区进行优化设计,以便容纳更多的车辆。
本文的目的就是希望剖析一下这一状况,找出缓解停车困难的有效方法。
假定某公共场所邻近有一块空地,假如不考虑建设地下或多层构造,我们该
怎样有效的设计停车地点呢一般来说,想尽可能的把车塞进停车场,最好的方法就是以垂直停靠的方式将车一辆挤一辆地排成行,可是这样停放的结果就是车辆不可以自由进出,只有后进入的车辆所有先出去了,先进入的车才能够走开停车场,明显不切合实质的需求。
因此,为了使汽车能够自由地进出停车场,一定建立必定数目拥有足够宽度的通道,并且每个通道都应当有足够大的“转弯半径”,而通道越宽越多,就会使得容纳的车辆数越少。
因此我们的问题就是要确立在知足车辆能够自由进出的实质需求下,怎样进行停车地点和车行通道的设计,才能够停放更多的车辆,进而做到既方便停车又能获取最大的经济效益。
我们先来看看生活中非货运车辆大小的种类。
依据实质检查和经验数据,这
类车辆一般可分为小轿车,中型客车和大型客车三类。
此中小轿车约占九成,大型客车约占一成,而中型客车一般不多于1%。
依据这样的状况,我们能够免除对中型客车的车位设计,即使有中型客车停车的需要,能够使用大型车的车位,这也切合现实生活中绝大部分停车场的车位设计状况。
我们设小轿车所占的比率
为0.9,大型客车所占的比率为10.1,自然现实中也有许多全为小轿车设计的停车场,比如小区的地下车库。
再来看看车位的大小。
依据实质的检查,城市内比较一般的小轿车长度一般
不超出4.7米,宽度一般不超出1.7米,而一般大型客车长度不超出12米,宽
度不超出2.2米。
此外,经实质观察可知,停车场中标记线的宽度大概为0.1
米,因此我们能够假定停车场中停放轿车需要的车位长CL5米,宽CW2.5米,
这此中包含了
客车需要长BL
0.1米的标记线宽度和起码0.3米的汽车间的横向间距。
设停放大
12.5米,宽BW3米,此中包含0.1米的标记线宽度和必需的汽
车之间的横向间距。
考虑到汽车从通车道驶入车位一般得转弯,因此车辆的最小转弯半径也是停
车场设计所要考虑的重要参数。
所谓最小转弯半径,就是汽车转弯时转向中心到
汽车外侧转向车轮轨迹间的最小距离。
依据实质检查,可设小轿车的最小转弯半
径为C15.5米,与此同时,汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的
最小距离为C2C11.73.8米,如图1所示。
C1
C2
图1
关于大客车,我们设其最小转弯半径为B110米,与此同时,大型车转弯时转向
中心到内侧转向车轮轨迹间的最小距离为B2B12.27.8米。
本文的目的就是议论应当整体设计车位的排布。
关于给定的停车场,我们的
目标就是尽可能多地增添车位数,或许说,使每辆车占有的停车场面积尽可能小。
一仅有一种车型的局部车位地点
大型客车和小轿车在停车时占地面积相差很大,一般都是分区停靠的。
此刻,
让我们先来看看只限于停放小轿车的简单状况,并且先不考虑停车场的实质大
小,不过来研究一下应当怎样给出局部设计,才能使每辆车占有的停车场所面积
最小。
关于每一个车位,为了便于该车位上的小轿车自由进出,一定有一条边是靠
通道的,设该矩形停车位的长边与通道的夹角为(0),此中即是车
22
辆垂直从通道驶入车位,0就是车辆从通道平行驶入车位,即平常所说的平
行停车。
为了留出通道空间和减少停车面积,明显,我们能够假定该通道中的所
有车位都保持着和该车位相同的角度平行摆列,如图2所示。
θ
西东
图2
上图中,小轿车是自东向西行驶顺时针转弯角度驶入车位的。
我们来详细
研究一下小轿车驶入车位的状况,见图3,此中C1为最小转弯半径,R为通道的
最小宽度。
我们假定小轿车的最外端在半径为C1的圆周上行驶,且此时轿车的
最内端在半径为C2的圆周上随之挪动,而后以角度进入停车位,因此通道的最
小宽度RC1C2cos。
在保证车辆能够自由进出的前提下,本着要求通道宽度尽量小的原则,我们
来看一下一排车位之间的各个数据,见图4。
Rθ
C1
C2
图3
CW
L
θCL
R
L0W
图4
每辆车均以角度停放,用W表示小轿车停车位宽度,L表示小轿车停车位长度(这里L的最上方并无取到最上端是考虑到车身之外的小三角形地区能够
留给对面停车位使用),Lo表示停车位尾端的距离,易见他们分别是停车角的
函数,且有
W
CW
sin
L
CLsin
1CWcos
2
L0
(CL
1CWcot)cos
2
L1
1CWcos
2
此刻依据图4所示,计算一下每辆车占有的停车场面积S.考虑最正确摆列的极限状况,假定该排车位是无穷长的,能够忽视该排车位两头停车位浪费掉的
1
面积L0?
L,因为它们被均匀到每个车位上去的公摊面积很小,能够不计。
从
车辆所占的停车位来看,它占有的面积为W?
L,此外,它所占的通道的面积为
W?
R。
考虑到通道对面(也就是图4的下部)也能够有近似的一排车位能够相
互借用此通道,因此能够对占用的通道面积减半,于是我们获取:
S
WL
1WRCWCL
CW2cos
C1CW
CWC2cos
(1)
2
2sin
2sin
2sin
我们的目标就是求出S的最小值。
将C15.5米,C23.8米,CL5米,CW2.5米代人
(1)式,可得
S
12.5
6.875
1.625cos,S
1.6256.875cos,
sin
sin
sin2
因此当cos
1.625
13
,即
76.33时,S
达到最小,且minS19.18
6.875
55
平方米。
需要说明的是,当
0时车位与车道平行,此时每辆车都得采纳平行停车的
方式进入车位,这是现实生活中马路边的停车位常有的状况,在一般的停车场中几乎极少看到。
平行停车对驾驶员的技术要求较高,因此我们不考虑这样的状况。
事实上,即使要计算在这类状况下每单位车辆所占有的停车场面积S也不困难,只可是关于平行停车,所要求的每个车位的长和宽不该再是上边所说的CL和
CW
,特别是停车位的长度
CL将变得更长(不然,停靠的车辆将没法进出)
,其
所要求的行车道的最小宽度也得足够大,以便能让停车车辆经过,车位图形需按
小轿车路线从头绘制,读者能够自行计算并获取这些数据,计算结果表示,平行
停车是每辆车所占的均匀面积明显地大于平方米。
上述对车位的局部剖析表示,当停车位与通道夹角76.33时,能够使每单
位车辆占有停车场的面积达到最小。
二仅有一种车型的全局车位摆列
上边的局部剖析告诉我们,假如保持一排车位方向一致,且与单向通道的夹
角为76.33,可使单位车辆占有的面积最小,此时宽度为R的单向通道分别
供应给其两边的停车位使用。
在通道两边都各安排一排小轿车车位时,考虑到路
线的单行性质,通道两边的停车位角度应当相对,如图5所示。
图5
对每一排停车位,其一边为通道,另一边则能够是另一排停车位或许是停车场的
边沿。
因此停车排数PC最多只好是通道数PI的两倍,即:
P2P
(2)
CI
另一方面,假如依据一排停车位,一条通道,一排停车位这样三排一组的形
式加以组合,挨次摆列,的确也能够达到PC2PI。
即
(2)式中的等号是能够成
立的。
此时,车位数能够达到停车位地点的最大值,摆列状况相同能够见图5.
图5显示,在每排车位数相当大或许说,在不考虑整个停车场四角浪费的那
些面积时,我们能够使每单位车辆占用的停车场面积最小,并且关于小轿车来说,
此最小值在车位角度76.33时达到。
我们再来计算一下停靠车辆均为大型客车时的最正确角度,将模型
(1)改正
为:
S
BWBL
BW2cos
B1BW
BWB2cos
2sin
2sin
(3)
2sin
并且将相应数据代人(3)获取:
S
37.5
15
7.2cos,S
7.215cos
sin
sin
sin2
取使S
0,即cos
7.2
0.48,求适当
61.31,此时每单位大型客车
15
占有的停车场面积最小,每辆车占有的面积为
S
50.66(平方米)。
综上所述,关于只有一种车型的足够大的停车场,依据现有的车辆尺寸大小
计算,我们将采纳图5的摆列方式设计停车位。
关于小轿车,设计车位角度为
76.33,单位车辆占有的停车场面积为平方米。
关于大型客车,设计的车位角度
为61.31,单位车辆占有的停车场面积为平方米。
三两种车型的停车场设计的理想状况
关于两种车型,即小轿车和大型客车同时存在的状况,假如关于足够大的停
车场所,我们能够依据:
(1)9:
1的比率要求,计算出所需的小轿车车位排
数和大型客车车位排数,以及每排的停车数目。
依据第二部分的议论,我们能够
按一排停车位,一行通车道,一排停车位这样三排为一组的方式组合出停车场的
构造,设小轿车有Cg组,大型客车有Bg组,每组的一排长度为
G米。
依据第一部分,关于小轿车的停车地点宽度
W
CW
2.5
2.573
BW
sinsin76.33
(米),而关于大型客车,其停车地点的宽度W
3
3.420(米)。
sin
sin61.31
因此,关于小轿车,每一组能够停放的车辆数目为
2?
G,该停车场中总合能够
2.537
2?
Cg?
G
辆小轿车,而关于大型客车,相同能够得总车位数为
2gBggG
停放
。
根
2.537
3.420
据
2?
Cg?
G2?
Bg?
G
Cg:
Bg
6.77:
1。
:
9:
1的比率要求,我们能够获取
2.537
3.420
综上所述,关于足够大的停车场所,我们能够用一排停车位,一条通车道,
一排停车位为一组的形式来平行设计车位,大概构造可拜见图5.至于小轿车组
和大型客车组的比率,能够依据近似于:
1的形式,比如,取近似值7:
1,13:
2,20:
3,27:
4,34:
5等比率建筑。
四详细停车场车位设计
上边我们议论的都是理想状况,现实中好多停车场的占地面积其实不必定很
大,并且从图5的设计安排来看,理想状况下的每一组车位都一定为车辆能够自
由进出而设置一个进口和一个出口,这样的设计既不经济也不安全。
特别是关于
某些收费的停车场或许要要点考虑安全设备的停车场,将不得不在众多的进出口
设置收费点或关卡而增添成本,这明显不是最好的安排,那么关于一个详细形状
和面积给定的停车场,我们将依据前面理想状况的议论做出改良,以获取更合理的设计规划。
图6为某公共场所附设的停车场,它是一个长90米,宽45米的矩形地区,该矩形地区的四个角落有照明灯设置,其占有矩形角上的形状为边长2.5米正方形,见图6的星号地区。
地区南边,西边,北边是围墙,东边是马路,这是能够作为停车场进出口的独一的一条边。
依据对当地实质状况的检查,该停车场位设计应试虑5至6个大型客车车位,其他都作为小轿车车位设计。
此刻我们就依据上述要求来对这块停车场进行车位的详细安排。
北
45
Ⅳ
90
图6
90米的停车场长边能够看作足够长的边来对待,我们将90米为一排来设计
小轿车的车位,即每排车位与矩形的长边平行。
在理想状况下,依据第一部分议论可知,最正确设计下的车位长度为:
LCLsin
1CW
2
cos
5sin76.33
5.154(米)
停车场通道宽度为:
RC1
C2cos
5.53.8cos76.33
4.602(米),
因此,理想状况下的一组(即两排车位中间加一条行通车道)的宽度约为:
2LR14.91(米)
于是,45米宽能够考虑布置三组这样的车位,如图6的Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ。
在小轿车的整体布局确立下来后,我们再来详细确立大型客车的车位。
考虑到大型车的转弯半径比较大,借用特意为小轿车车位设计的通道是必定不可以的。
相对来说,大型客车停车位只占总停车位的很小一部分,在设计停车场的地点市,为了节俭面积以增添车位数,应当将所有大客车地点放在一块,相同以矩形并排
的形式搁置。
大客车在停车场中的停放方式也能够采纳直角停放的停车方式,并
依据其特别的地点设置特别宽度的通道。
此外考虑到其进出上的困难状况,一般
可布置在停车场的出口部分,比如,将其安排在东边靠马路处(注:
东边临街,
没有围墙),且垂直东边的马路横向占用小轿车的车位设置6个大型客车车位,
大客车可直接由马路开进停车位,见图6的右侧6个横向车位。
剩下的事情就是得解决进出口问题了,因为只好在东边设置进出口,并且Ⅰ,
Ⅱ,Ⅲ三组地区为互相能借助对方地区的车位摆列地点设置,通道形式方向应当
间隔,即Ⅰ向东,Ⅱ向西,Ⅲ向东,或许Ⅰ向西,Ⅱ向东,Ⅲ向西。
为此,一定
在停车场的最西边设置南北走向的一排通道,以便让Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ区车位的车辆都能够换向进出,详细能够参照图6的设置。
最后,考虑到既然在最西边已经设置了南北走向的一排通道,我们能够在该
通道的西边设置一排车位,此时该车位设计的车辆进出能够占用南北通道,因此
这排车位的设计是最合理的,如图6中的地区Ⅳ.
依据如上的剖析,我们对该停车场的车位大概设计成图6.东边的中部为入
口,北部和南部为出口,这样,即使在车辆许多的时候不至于难以驶出,通道方向也如图6所示。
大型客车的车位已经确立为6个,小轿车车位的个数我们将依据Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的车位角度进行变化。
因为东西走向的通道和南北走向通道已经是垂直拐弯,因此毫无疑问,地区
Ⅳ的车位将垂直摆列,去掉两边照明灯设置后西边宽度为40米,正好能够设置16个车位(2.5米宽和5米长),垂直于西边。
我们能够计算出西边通道的宽度
为RC1C2cos5.5(米)。
考虑到对称性质,我们设横向的6排的小轿车位
2
个数分别是X1,X2,X2,X2,X2,X1个,并成立以下的小轿车车位个数模
型:
maxX2X14X216
3BW
2L
5
X1W
L0
2.5
90
55.5X2W
2L0
BL90
st..6L
3R
CWcos
45
(4)
Xi
0,i
且为整数
1,2
0
2
将公式W
CW
,L
CLsin
1
CW
cos
,L0
(CL
1
CWcot)cos
,
sin
2
2
RC1C2cos
和数据CL
5,CW
2.5,C1
5.5,C2
3.8,BL
12.5,BW
3分
别代人(4)式,化简后可得:
maxX
2X1
4X2
16
18
20sin
5cos
X1
33sin
2sin
cos
0.5cos2
X2
26.8sin
4sincoscos2
st..
300sin
14cos
285
(5)
Xi
0,i
1,2
且为整数
0
2
关于模型(5),如直接利用计算机编程求解会碰到一些麻烦,先是波及的
变化,而后又波及X1和X2。
为此,我们先用微积分知识来议论一下。
关于第一个限制条件1820sin5cos,设f120sin5cos,易求
得
f1
20cos
5sin
当tan
1时,函数有独一的驻点,因此
f1
在0,
内的最大值为
4
4
maxf1
0,f1
1
f1
18
arctan
4
4
于是,
的取值范围应限制在区间
内,简单发现当
时,
4
2
4
2
20sin5cos
,33sin
2sin
cos0.5cos2
26.8sin4sincoscos2,300sin14cos
都为严格单一递加函数,这是求上边模型解的要点所在。
只需求出
1820sin5cos和300sin14cos285
的解集的交集,而后选用该交集中最大的即可,记此最大的为0,取
X1
33sin0
2sin0cos0
0.5cos2
0
31
和X2
26.8sin
04sin0cos
0cos2
0
23
模型的解就获取了(式中...表示取整运算)。
利用数值计算或许计算机编程容易求出
1820sin
5cos的解集为
46.788
90,300sin
14cos
285的解集为45
74.288,于是
454.788
74.288,取
74.288
X1
33sin
0
2sin
0cos00.5cos2
0
31
X2
26.8sin
04sin0cos0
cos2
0
23
因此最后获取小轿车车位数目应当为170个,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ地区的停车位方向角可
取74左右。
五结束语
停车场的优化设计其实是一个比较复杂的非线性整数规划问题。
我们从最理想的状况出发,成立了一个一般停车场大概能够参照的布局和模型,而后又给出了一个详细的事例剖析来加以说明。
现实生活中,关于给定范围的停车场设计,能够依据特定的需要,联合理想状况下的基本布局,并加以调整,进行局部改正而得出较好的设计方案。
参照文件:
[1]何文章,宋作忠,数学建模与实验[M].哈尔滨工程大学第一版社,2002
[2]周明,孙树栋,遗传算法原理及应用[M]。
北京:
国防工业第一版社,1999
[3]WilliamsHP.ModelBuildinginMathematicalWiley&Sons,1978
[4]宋作忠,何文章,鉴于遗传算法的交易中心停车场优化设计[J].数学的实践与认识,2004,1
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