各种等腰三角形难题.docx
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各种等腰三角形难题
各类等腰三角形难题
例1.在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上一点,AD=BC,连接CD.
试求:
∠BDC的度数.
分析:
题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.
解:
作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)连接DE,CE.
∵AE=BA;AD=BC∠;DAE=∠B.
∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE∠;DEA=∠BAC=20°.∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.
∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°.
则:
∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=3°0.
例2.已知,如图:
⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.
点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.试求∠DEB的度数.
本题貌似简单,其实不然.
解:
过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.
∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=4°0;
∵∠BCG=5°0;∠CBD=60°.
∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG又;∠ABE=20°.
故∠BGD=8°0,∠DGF=180°-∠BGD∠-FGE=40°.
即∠DGF=∠DFG,DF=DG又;EG=EF;DE=DE.
∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:
∠DEG∠=DEF=30°.所以,∠DEB=30°.
例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分别为
AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=2°0.试求:
∠DEB的度数.
本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答
解:
在CA上截取CM=CB连,接BM,DM则,∠CMB∠=CBM=5°0.作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.∴∠CMF=∠CFM=8°0,∠GMF=10°0.
∠GFM=∠GFC-∠CFM=4°0;∠FGM∠=A+∠ABG=4°0.即∠GFM∠=FGM;FM=GM又;∠DF=DG,DM=DM.
则⊿DMF≌⊿DMG∠,DMG∠=DMF=5°0.
故∠DMC=13°0=∠EMB;又∠DCM∠=EBM=2°0.
∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/M又B;∠DME∠=BMC=5°0.
∴⊿DME∽⊿CMB∠,DEM∠=CBM=5°0.
又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.
所以,∠DEB=∠DEG∠-BEC=50°-30°=20°.
例4.如图,已知在等边三角形
ABC中,D是AC的中点,
E为BC延长线上
一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。
求证:
M是BE的中点
思路点拨:
欲证M是BE的中点,已知DM⊥BC,所以想到连结BD,证BD=ED。
因为△ABC是等边三角形,∠DBE=∠ABC,而由CE=CD,又可
证∠E=∠ACB,所以∠1=∠E,从而问题得证。
证明:
因为三角形ABC是等边三角形,D是AC的中点所以∠1=∠ABC
又因为CE=CD,所以∠CDE=∠E
所以∠ACB=2∠E
即∠1=∠E
所以BD=BE,又DM⊥BC,垂足为M
所以M是BE的中点(等腰三角形三线合一定理)
例5.如图,在△ABC中,∠BAC=9°0,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D,过C作BD垂线交BD的延长线于E,交BA的延长线于F,求证:
BD=2CE.
思路点拨:
根据已知条件,易证△BFE≌△BCE,所以BF=BC,所以∠F=∠BCE,根据等腰三角形三线合一这一性质,CE=FE,再证明△ABD≌△ACF,证得BD=CF,从而证得BD=2CE.
证明:
∵∠ABC的平分线交AC于D,
∴∠FBE=∠CBE,
又BE=BE,
∵BE⊥CF,
∴∠BEF=∠BEC,
∴△BFE≌△BCE(ASA),
∴CE=EF,
∴CF=2C,E
∵∠BAC=90°,且AB=AC,
∴∠FAC=∠BAC=9°0,∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠FBE=∠CBE=22.5°,
∴∠F=∠ADB=67.5°,
又AB=AC,
∴△ABD≌△ACF(AAS),
∴BD=C,F
∴BD=2C.E
例6.如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,DE过O且平行于BC,已知△ADE的周长为10cm,BC的长为5cm,求△ABC的周长
思路点拨根据题意先证明△BDO和△CEO是等腰三角形,再结合等腰三角形的性质得BD=O,DCE=EO,根据已知△ADE的周长为10cm,再加上BC的长即可得△ABC的周长.
解:
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠DBO∠=OBC,∠ECO∠=OCB,
∵DE∥BC,
∴∠DOB∠=OBC,∠EOC∠=OCB,
∴∠DBO∠=DOB,∠ECO∠=EOC,
∴BD=OD,CE=EO(等角对等边)
∵AD+DE+AE=10,cm
∴AD+BD+CE+EA=10,cm
又BC的长为5cm,所以△ABC的周长是:
AD+BD+CE+EA+BC=10+5=1.5cm
例7.三角形ABC,AB=AC,边BC的中点为D
(1)画图:
作一个等边三角形DEF,使顶点E,F分别在边AB和AC上
(2)你所作的等边三角形DEF的边EF与BC平行吗?
理由是什么?
(3)是否可能作一个等边三角形DEF,使它的边EF与BC不平行?
如有可能,指出角A的度数;如不可能,说出理由
解:
⑴见图
作法:
在三角形ABC内部作∠BDE=∠CDF=60度,角的两边分别交AB、AC于E、F,连接EF
则三角形DEF就是所要求作的等边三角形
⑵平行。
理由:
因为AB=AC
所以∠B=∠C
因为D是BC中点
所以BD=CD
因为∠BDE=∠CDF=60度
所以△BDE≌△CDF(ASA),∠EDF=60度
所以DE=DF
所以三角形DEF是等边三角形
所以∠BDE=∠DEF=60度
所以EF//BC
⑶可能。
∠A=120度
证明要点:
因为EF与BC不平行,
所以AE≠AF,不妨设AE>AF
过F作FG//BC,交AB于G,连接DG
容易证明△BDG≌△CDF
所以DG=DF=DE,∠BGD=∠CFD
由DE=DG得∠DEG=∠DGE
所以∠DEG=∠CFD
所以A、E、D、F四点共圆所以∠A+∠EDF=180度所以∠A=120度
例8.三角形ABC中,AB=AC,D在AC上,E在AB上,连结DE,已知顶角等于20°,∠CBD=6°0,∠ECB=5°0.求∠ADE的度数
解:
以B为圆心,BC为半径画弧,交AC于G,连接DG,则:
BG=BC,∠BGC=∠ACB;已知:
AB=AC,∠A=20°,
则:
∠ABC=∠ACB=80°,
∠BGC=∠ACB=80°,
∠GBC=20°,
∠ABG=60°;
已知:
∠CBD=6°0,
则:
∠ABD=20°,∠DBG=4°0,
∠BDG=∠BGC-∠DBG=40°,BG=DG;
已知:
∠ECB=5°0,
则:
∠BRC=18°0-∠ABC-∠ECB=50°;已知:
圆孤,∠ABG=6°0,
则:
BE=BC=BG=DG,△BGE为正三角形,
EG=BE=BC=BG=DG,∠EGB=60°,
∠DGE=180°-∠BGC-∠EGB=40°;
已知:
EG=DG,
则:
∠GED=∠EDG=(180°-∠DGE)/2=70°,
∠ADE=18°0-∠EDG=11°0。
例9.如图,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。
求证:
M是BE的中点。
分析:
欲证M是BE的中点,已知DM⊥BC,所以想到连结BD,证BD=ED。
因为△ABC是等边三角形,∠DBE=1∠ABC,而由
2
CE=CD,又可证∠E=1∠ACB,所以∠1=∠E,从而问题得证。
2
证明:
因为三角形ABC是等边三角形,D是AC的中点
所以∠1=1∠ABC
2
又因为CE=CD,所以∠CDE=∠E
所以∠ACB=2∠E
即∠1=∠E
所以BD=BE,又DM⊥BC,垂足为M
所以M是BE的中点(等腰三角形三线合一定理)
例10.如图,已知:
ABC中,ABAC,D是BC上一点,且ADDB,DCCA,求BAC的度数。
A
分析:
题中所要求的BAC在ABC中,但仅靠ABAC是无法求出来的。
因此需要考虑ADDB和DCCA在题目中的作用。
此时图形中三个等腰三角形,构成了内外角的关系。
因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。
解:
因为ABAC,所以BC
因为ADDB,所以BDABC;
因为CACD,所以CADCDA(等边对等角)而ADCBDAB
所以ADC2B,DAC2B
所以BAC3B
又因为BCBAC180
即BC3B180所以B36
即求得BAC108
说明1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。
把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。
本条性质在解题中发挥着重要的作用,这一点在后边的解题中将进一步体现。
2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。
3.此题是利用方程思想解几何计算题,而边证边算又是解决这类
题目的常用方法。
例11.已知:
如图,
ABC中,ABAC,CDAB于D。
求证:
BAC2DCB。
分析:
欲证角之间的倍半关系,结合题意,观察图形,BAC是等腰三角形的顶角,于是想到构造它的一半,再证与DCB的关系
证明:
过点A作AEBC于E,ABAC
所以121BAC(等腰三角形的三线合一性质)
2
因为1B90
又CDAB,所以CDB90
所以3B90(直角三角形两锐角互余)所以13(同角的余角相等)
即BAC2DCB
说明:
1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角的倍半关系。
因此添加底边的高是一条常用的辅助线;
2.对线段之间的倍半关系,常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法,对角间的倍半关系也同理,或构造“半”,或构造“倍”。
因此,本题还可以有其它的证法,如构造出DCB的等
角等。
例12.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE
⊥AB,DF⊥AC,E、F分别是垂足。
求证:
AE=AF
A
C
证明:
因为ABAC,所以BC
又因为DEAB,DFAC
所以BEDCFD90
又D是BC的中点,所以DBDC
所以DEBCFD(AAS)
所以BECF,所以AEAF说明:
证法二:
连结AD,通过AEDAFD证明即可
例13.如图,ABC中,ABAC,A100,BD平分ABC。
求证:
ADBDBC。
分析一:
从要证明的结论出发,在BC上截取BFBD,只需证明CFAD,考虑到12,想到在BC上截取BEBA,连结DE,易得,则有ADFD,只需证明DECF,这就要从条件出发,通过角
度计算可以得出CFDFDE
证明一:
在BC上截取BEBA,BFBD,连结DE、DF在ABD和EBD中,BABE,12,BDBD
ABDEBD(SAS)
ADDE,BEDA100DEF80
又ABAC,A100
1
ABCC(180100)40
1
124020
2
而BDBF
11
BFDBDF(1802)(18020)80
DEFDFE80DEDF
DFE80,C40
FDCDFEC804040
FDCCDFFCADDEDFFC
BCBFFCBDAD
即ADBDBC
例题14:
如图,可以考虑延长BD到E,使DE=AD,这样BD
+AD=BD+DE=BE,只需证明BE=BC,由于220,只需证明
EBCE80
易证EDCADB1801002060,BDC120,故作BDC的角平分线,则有ABDFBD,进而证明DECDFC,从而可证出E80。
证明二:
延长BD到E,使DE=AD,连结CE,作DF平分BDC
交BC于F。
由证明一知:
1220,A100则有
31801002060,6360,BDC18060120
DF平分BDC4560
345660,在ABD和FBD中
12,BDBD,34
ABDFBD(ASA)
ADFD,BFDA100,而ADDE,DFDE
在DEC和DFC中,DEDF,56,DCDC
DECDFC(SAS)
EDFC180BFD18010080
在BCE中,220,380
BCE80,EBCE
BCBE,ADBDBC说明:
“一题多证”在几何证明中经常遇到,它是培养思维能力提高解题水平的有效途径,读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会,进一步提高自身的解题能力。
例15.如图,ABC是等边三角形,CBD90,BDBC,则1的度数是。
分析:
结合三角形内角和定理,计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。
解:
因为ABC是等边三角形
所以ABBC,ABC60
因为BDBC,所以ABBD
所以32
在ABD中,因为CBD90,ABC60
所以ABD150,所以215
所以12ABC75
例16.求证:
等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.已知:
如图,在ABC中,ABAC,D、E分别为AC、AB边中点,BD、CE交于O点。
求证:
点O在BC的垂直平分线上。
分析:
欲证本题结论,实际上就是证明OBOC。
而OB、OC在
ABC中,于是想到利用等腰三角形的判定角等,那么问题就转化为证含有1、2的两个三角形全等。
证明:
因为在ABC中,ABAC
所以ABCACB(等边对等角)
又因为D、E分别为AC、AB的中点,所以DCEB(中线定义)在BCD和CBE中,
DCEB(已证)
DCBEBC(已证)
BCCB(公共边)
所以BCDCBE(SAS)
所以12(全等三角形对应角相等)。
所以OBOC(等角对等边)。
即点O在BC的垂直平分线上。
说明:
(1)正确地理解题意,并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。
特别是把“在
底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB=OC”是关键的一点。
(2)实际上,本题也可改成开放题:
“△ABC中,AB=AC,D、E分别为AC、AB上的中点,BD、CE交于O。
连结AO后,试判断AO与BC的关系,并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。
例17.ABC中,ABAC,A120,AB的中垂线交AB于D,交CA延长线于E,求证:
DE1BC。
2
分析:
此题没有给出图形,那么依题意,应先画出图形。
题目中是
求线段的倍半关系,观察图形,考虑取BC的中点
证明:
过点A作BC边的垂线AF,垂足为F
在ABC中,ABAC,BAC120
所以BC303
1
所以1260,BF1BC(等腰三角形三线合一性质)。
所以360(邻补角定义)。
所以13
又因为ED垂直平分AB,所以E30(直角三角形两锐角互余)AD21AB(线段垂直平分线定义)。
又因为AF1AB(直角三角形中角所对的边等于斜边的一
2
半)
所以ADAF
在RtABF和RtAED中,
13(已证)AFAD(已证)
AFBADE90
所以RtABFRtAED(ASA)
所以EDBF即ED1BC
2
例18:
如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE.求证:
CD=2CE
分析:
(ⅰ)折半法:
取CD中点F,连接BF,再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。
证明:
取CD中点F,连接BF
1
∴BF=2AC,且BF∥AC(三角形中位线定理)
∴∠ACB=∠2(两直线平行内错角相等)
又∵AB=AC
∴∠ACB=∠3(等边对等角)
∴∠3=∠2
在ΔCEB与ΔCFB中,
BF=BE
∠3=∠2
CB=CB
∴ΔCEB≌ΔCFB(SAS)
1
∴CE=CF=2CD(全等三角形对应边相等)
即CD=2CE
ⅱ)加倍法
证明:
延长CE到F,使EF=CE,连BF.
C
41
AE23BD
F在ΔAEC与ΔBEF中,
AE=BE
∠1=∠2(对顶角相等)
CE=FE∴ΔAEC≌ΔBEF(SAS)∴AC=BF,∠4=∠3(全等三角形对应边、对应角相等)∴BF∥AC(内错角相等两直线平行)∵∠ACB+∠CBF=180o,
∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD(等角的补角相等)在ΔCFB与ΔCDB中,
CB=CB
∠CBF=∠CBD
BF=BD
∴ΔCFB≌ΔCDB(SAS)
∴CF=CD即CD=2CE说明:
关于折半法有时不在原线段上截取一半,而利用三角形中
位线得到原线段一半的线段。
例如上面折道理题也可这样处理,取
AC中点F,连BF(如图()B为AD中点是利用这个办法的重要前提)然后证CE=BF.
(4)证明线段相互垂直
例19:
已知:
如图,A、D、B三点在同一条直线上,ΔADC、ΔBDO为等腰三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何?
证明你的结论。
C
ADB
分析:
本题没有直接给出待证的结论,而是让同学们先根据已知条件推断出结论,然后再证明所得出的结论正确。
通过观察,可以猜测:
AO=BC,AO⊥BC.
证明:
延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中
AD=DC
∠ADO=∠CDB=90o
OD=DB
∴ΔADO≌ΔCDB(SAS)
∴AO=BC,∠OAD=∠BCD(全等三角形对应边、对应角相
等)
∵∠AOD=∠COE(对顶角相等)
∴∠COE+∠OCE=90o
AO⊥BC
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