人教版初二数学下册平行四边形基础知识讲解.docx
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人教版初二数学下册平行四边形基础知识讲解
平行四边形(基础)
【学习目标】
1.理解平行四边形的概念,掌握平行四边形的性质定理和判定定理;
2.能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算,并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题.
3.能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算.
4.理解三角形的中位线的概念,掌握三角形的中位线定理.
【要点梳理】
【高清课堂平行四边形知识要点】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“
ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释:
平行四边形的基本元素:
边、角、对角线.相邻的两边为邻边,有四对;相对的边为对边,有两对;相邻的两角为邻角,有四对;相对的角为对角,有两对;对角线有两条.
要点二、平行四边形的性质
1.边的性质:
平行四边形两组对边平行且相等;
2.角的性质:
平行四边形邻角互补,对角相等;
3.对角线性质:
平行四边形的对角线互相平分;
4.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.
要点诠释:
(1)平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等;角的性质可以证明两角相等或两角互补;对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
(2)由于平行四边形的性质内容较多,在使用时根据需要进行选择.
(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题,在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释:
(1)这些判定方法是学习本章的基础,必须牢固掌握,当几种方法都能判定同一个平行四边形时,应选择较简单的方法.
(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据,也可作为“画平行四边形”的依据.
要点四、三角形的中位线
1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.
要点诠释:
(1)三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的
,每个小三角形的面积为原三角形面积的
.
(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点五、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离:
(1)定义:
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离.注:
距离是指垂线段的长度,是正值.
(2)平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积:
平行四边形的面积=底×高;等底等高的平行四边形面积相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
【高清课堂平行四边形例11】
1、如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线.求证:
DF=EC.
【答案与解析】
证明:
∵在
ABCD中,CD∥AB,
∠DFA=∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线,
∴∠DAF=∠FAB,
∴∠DAF=∠DFA,
∴AD=DF.
同理可得EC=BC.
∵在
ABCD中,AD=BC,
∴DF=EC.
【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等,对边平行且相等,为证明线段相等提供了条件.
举一反三:
【高清课堂平行四边形例12】
【变式】如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点,CE=AF,请你猜想:
线段BE与线段DF有怎样的关系?
并对你的猜想加以证明.
【答案】
证明:
猜想:
BE∥DF且BE=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CB=AD,CB∥AD
∴∠BCE=∠DAF
在△BCE和△DAF中
∴△BCE≌△DAF
∴BE=DF,∠BEC=∠DFA
∴BE∥DF
即BE∥DF且BE=DF.
类型二、平行四边形的判定
2、如图所示,E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点,且四边形AECF和DEBF都是平行四边形,AF和BE相交于点G,DF和CE相交于点H.求证:
四边形EGFH为平行四边形.
【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形,只需证明它的两组对边分别平行,即EG∥FH,FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形.
【答案与解析】
证明:
∵四边形AECF为平行四边形,
∴AF∥CE.
∵四边形DEBF为平行四边形,
∴BE∥DF.
∴四边形EGFH为平行四边形.
【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质,又可以用来判定一个四边形是平行四边形,即平行四边形的两组对边分别平行,两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
举一反三:
【变式】(2015•厦门校级一模)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F,若CE=CF,求证:
四边形ABCD是平行四边形.
【答案】
证明:
∵∠BAD的平分线交直线BC于点E,
∴∠1=∠2,
∵AB∥CD,
∴∠1=∠F,
∵CE=CF,
∴∠F=∠3,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴AD∥BC,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
类型三、平行四边形与面积有关的计算
3、如图所示,在
ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若∠EAF=60°,BE=2
,DF=3
,求AB,BC的长及
ABCD的面积.
【思路点拨】在四边形AECF中,由已知条件∠EAF=60°,可求出∠C=120°,进而求出∠B=60°.由于BE=2
,在Rt△ABE中,可求出AB.同理,在Rt△AFD中求出AD.要求
ABCD的面积,需求出AE或AF的长.
【答案与解析】
解:
在四边形AECF中,∵∠EAF=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=360°-60°-90°-90°=120°.
在
ABCD中,∵AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°.∠C+∠D=180°,
∴∠B=∠D=60°.
在Rt△ABE中,∠B=60°,BE=2
,
∴AB=4
,CD=AB=4
.(平行四边形的对边相等)
同理,在Rt△ADF中,AD=6
,∴BC=AD=6
,
∴
(
).
∴
CD·AF=
=
(
).
【总结升华】本题除了应用平行四边形的性质及勾股定理外,还应用了“直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”这个直角三角形的性质.
举一反三:
【变式】如图,已知
ABCD中,M是BC的中点,且AM=9,BD=12,AD=10,
求该平行四边形的面积.
【答案】
解:
平移线段AM至BE,连EA,则四边形BEAM为平行四边形
∴BE=AM=9,ED=AE+AD=15,
又∵BD=12
∴∠EBD=90°,BE⊥BD,
∴△EBD面积=
54
又∵2AE=AD
∴△ABD面积=
=36
∴
ABCD的面积=72.
类型四、三角形的中位线
4、(2015秋•天水期末)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点.求证:
∠PMN=∠PNM.
【思路点拨】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM=
BC,PN=
AD,然后求出PM=PN,再根据等边对等角证明即可.
【答案与解析】
证明:
∵P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点,
∴PM、PN分别是△BCD和△ABD的中位线,
∴PM=
BC,PN=
AD,
∵AD=BC,
∴PM=PN,
∴∠PMN=∠PNM.
【总结升华】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,等边对等角的性质,熟记定理与性质是解题的关键.附录资料:
菱形(基础)
=【学习目标】
1.理解菱形的概念.
2.掌握菱形的性质定理及判定定理.
【要点梳理】
【高清课堂特殊的平行四边形(菱形)知识要点】
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点诠释:
菱形的定义的两个要素:
①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形,然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外,还有一些特殊性质:
1.菱形的四条边都相等;
2.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形,有两条对称轴(对角线所在的直线),对称轴的交点就是对称中心.
要点诠释:
(1)菱形是特殊的平行四边形,是中心对称图形,过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
(2)菱形的面积有两种计算方法:
一种是平行四边形的面积公式:
底×高;另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和).实际上,任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
(3)菱形可以用来证明线段相等,角相等,直线平行,垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种:
1.定义:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点诠释:
前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形,后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
【典型例题】
类型一、菱形的性质
1、(2016•广安)如图,四边形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:
DF=BE.
【思路点拨】连接AC,根据菱形的性质可得AC平分∠DAE,CD=BC,再根据角平分线的性质可得CE=FC,然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE,即可得出DF=BE.
【答案与解析】
证明:
连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC平分∠DAE,CD=BC,
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=FC,∠CFD=∠CEB=90°.
在Rt△CDF与Rt△CBE中,
,
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL),
∴DF=BE.
【总结升华】此题考查了菱形的性质,角平分线的性质,关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.同时考查了全等三角形的判定与性质.
举一反三:
【变式1】(2015•温州模拟)如图,在菱形ABCD中,点E是AB上的一点,连接DE交AC于点O,连接BO,且∠AED=50°,则∠CBO= 度.
【答案】50;
解:
在菱形ABCD中,
AB∥CD,∴∠CDO=∠AED=50°,
CD=CB,∠BCO=∠DCO,
∴在△BCO和△DCO中,
,
∴△BCO≌△DCO(SAS),
∴∠CBO=∠CDO=50°.
【高清课堂特殊的平行四边形(菱形)例1】
【变式2】菱形ABCD中,∠A∶∠B=1∶5,若周长为8,则此菱形的高等于().
A.
B.4C.1D.2
【答案】C;
提示:
由题意,∠A=30°,边长为2,菱形的高等于
×2=1.
类型二、菱形的判定
2、如图所示,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,DE∥AC,DF∥BC,四边形DECF是菱形吗?
试说明理由.
【思路点拨】由菱形的定义去判定图形,由DE∥AC,DF∥BC知四边形DECF是平行四边形,再由∠1=∠2=∠3得到邻边相等即可.
【答案与解析】
解:
四边形DECF是菱形,理由如下:
∵DE∥AC,DF∥BC
∴四边形DECF是平行四边形.
∵CD平分∠ACB,∴∠1=∠2
∵DF∥BC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3.
∴CF=DF,
∴四边形DECF是菱形.
【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时,首先判定这个四边形是平行四边形,再由一对邻边相等来判定它是菱形.
举一反三:
【变式】如图所示,AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分AD,分别交AB于E,交AC于F,则四边形AEDF是菱形吗?
请说明理由.
【答案】
解:
四边形AEDF是菱形,理由如下:
∵EF垂直平分AD,
∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称.
∴∠ODF=∠OAF,
又∵AD平分∠BAC,即∠OAF=∠OAE,
∴∠ODF=∠OAE.∴AE∥DF,
同理可得:
DE∥AF.
∴四边形AEDF是平行四边形,∴EO=OF
又∵
AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分.
∴
AEDF是菱形.
3、如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,CE平分∠ACD,交AD于点G,交AB于点E,EF⊥BC于点F.求证:
四边形AEFG是菱形.
【思路点拨】由角平分线性质易知AE=EF,欲证四边形AEFG是菱形,只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG=GF=AE即可.
【答案与解析】
证明:
方法一:
∵CE平分∠ACB,∠BAC=90°,EF⊥BC,
∴AE=EF,∠1+∠3=90°,∠4+∠2=90°.
∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4.
∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD.
∴∠4=∠5.∴∠3=∠5.
∴AE=AG.∴EF
AG.
∴四边形AEFG是平行四边形.
又∵AE=AG,
∴四边形AEFG是菱形.
方法二:
∵CE平分∠ACB,∠BAC=90°,EF⊥BC,
∴AE=EF,∠1+∠3=90°,∠4+∠2=90°.
∴∠3=∠4.
∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD.
∴∠4=∠5.∴∠3=∠5.
∴AE=AG.
在△AEG和△FEG中,AE=EF,∠3=∠4,EG=EG,
∴△AEG≌△FEG.
∴AG=FG.
∴AE=EF=FG=AG.
∴四边形AEFG是菱形.
【总结升华】判定一个四边形是菱形,关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件.
举一反三:
【变式】如图所示,在
ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.
(1)求证:
DE∥BF;
(2)若∠G=90°,求证四边形DEBF是菱形.
【答案】
证明:
(1)
ABCD中,AB∥CD,AB=CD
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴DF=
DC,BE=
AB
∴DF∥BE.DF=BE
∴四边形DEBF为平行四边形
∴DE∥BF
(2)证明:
∵AG∥BD
∴∠G=∠DBC=90°
∴△DBC为直角三角形
又∵F为边CD的中点.
∴BF=
DC=DF
又∵四边形DEBF为平行四边形
∴四边形DEBF是菱形
类型三、菱形的应用
4、如图所示,是一种长0.3
,宽0.2
的矩形瓷砖,E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点,阴影部分为淡黄色花纹,中间部分为白色,现有一面长4.2
,宽2.8
的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖.试问:
(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?
(2)全部贴满后,这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?
【答案与解析】
解:
墙壁长4.2
,宽2.8
,矩形瓷砖长0.3
,宽0.2
,4.2÷0.3=14,2.8÷0.2=14,则可知矩形瓷砖横排14块,竖排14块可毫无空隙地贴满墙面.
(1)则至少需要这种瓷砖14×14=196(块).
(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形,则共有196个白色的菱形,它的面积等于瓷砖面积的一半.另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形,它的面积也等于瓷砖面积的一半,有花纹的菱形横排有13个,竖排也有13个,则一共有淡黄色花纹菱形13×13=169个,面积相等的菱形一共有196+169=365(个).
【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的,因而铺满墙面后,要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数.将相同的图形拼在一起,在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案,不要忽略周围图形的拼接.
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