南昌大学第十一届数学建模竞赛 2.docx
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南昌大学第十一届数学建模竞赛 2.docx
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南昌大学第十一届数学建模竞赛2
2014南昌大学第十一届数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B中选择一项填写):
.
报名序号是(没有或不清楚可不填):
________________.
参赛队员(打印并签名):
所属院系(请填写完整的全名):
1._______________签名:
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2._______________签名:
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日期:
年月
2014南昌大学第十一届数学建模竞赛
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评
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备
注
工程投标问题
摘要
投标报价是获得工程项目的重要组成部分,如何在众多竞标企业中脱颖而出以中标,使复杂的信息或资料通过一定的方法得出一个明确的结论对于承包商有着重要的意义。
本文就A题中给出的不完全信息下工程合理投标报价问题进行研究,分析建立数学模型,并利用相关的数学软件进行求解。
最后就建立的模型给出相应的评价和推广。
对于问题一,我们建立了两个模型,模型一是将求最优报价值的问题转化成求扣分函数的最小值问题,首先根据题目给出的报价得分的计算公式构造了扣分函数,然后通过求导的方法来求出函数的最小值问题,最后得出结论即扣分最少的有效报价值即为得分最多的投标报价点。
模型二是参照博弈论,运用了复合标底投标报价中的逐次逼近模型。
首先模型是建立在投标人是理性的,对于投标报价有着充分的经验的基础上的;然后利用博弈论的知识复合计算出最优报价的计算公式;最后代入数值并利用了作数据分析的Minitab软件绘制了在β取不同值的情况下对应的最优报价的值。
得出的结论就是随机取值的β值越大,最优报价的值也就越大。
对于问题二,我们首先分析合作报价的三种情况,再选择确保中标的可能性较大的情况进行讨论;利用未合作投标企业的报价的分布情况以及参加合作投标的陪标时的有效报价的取值来计算出参加合作投标的剩下的一家企业最大可能中标的报价的值。
对于问题三,我们建立的模型基于问题二的分析上,即通过让确保中标的投标人控制其他合作投标人的报价的方式来提高中标概率,建立出了承包商(也就是确保要中标的投标人)的最优报价与参加合作投标企业数量之间的函数关系。
因为要考虑到利润分配的问题,有利润分配的话就说明要保证中标,所以就需要考虑关于中标的概率问题,我们根据1,2,3,4,5家拟合了关于合作的中标概率一个函数关系式,并应用Matlab软件绘制出函数的图像,进一步检验拟合函数关系式的正确性。
最后得出结论:
关键词:
复合标底投标最优报价中标
1.问题的重述
1.1问题的背景
已往的工程投标都采用暗标的方法,即标底事前不公布,而由甲方掌握。
投标各方各自制订商务报价,开标后由报价与标底最接近的一方中标。
这种方法容易产生腐败现象,为了增加公平性和透明度,国家规定所有大型工程都要进行招标,同时要公开标底。
施工企业除了要提高自身的综合素质外,还必须在投标中根据具体的招标和评分办法给出理想的商务报价。
承包商在竞争中均希望在投标中获胜的同时能创造出最大的利润。
这就需要建立一个投标报价和中标的概率的数学模型。
一直以来,在全国各地的工程招标活动中,有关文件中强调必须制定标底,并以此来衡量报价的基准尺度,编制标底是施工招标的必备条件和法定程序。
工程标底的编制对于规范市场行为和控制工程造价有着一定的意义。
施工企业能否通过投标接到业务是关系到自身的生存和发展的重大问题。
施工企业除了要提高自身的综合素质外,还必须在投标中根据具体的招标和评分办法给出理想的商务报价。
1.2问题的重述
就工程投标报价的问题给出了商务标的评分过程,对于商务标的评分计算给出了相关规定和计算公式。
首先投标报价要在给定的一个范围内才是有效报价;其次给出了计算投标的满分报价点
的计算公式,计算公式和有效报价的算术平均值、有效报价的最大值、最小值以及随机抽取的下浮让利系数有一定的关系。
关于随机抽取的下浮让利系数,是招标人代表在开启投标报价前当场随机在给出的数中随机抽取的。
最后给定一个具体的评分的标准即:
大于或小于满分报价点都会相应地被扣分,且大于C值扣分要比小于C值多,等于满分报价点不扣分。
现有5家企业参加某项工程投标,工程总预算为1500万,而你是这5家投标企业的一家。
要回答下面的三个问题。
1.你应怎样报价才能最大限度地确保中标?
即得分最多;
2.为获得最大中标几率,若现有参加投标的企业中有3家合作投标,这三家又应采用何种策略才能最大限度地确保中标?
3.由于合作的企业中要共享利润,为了避免不必要的纷争和麻烦,往往采用以下方法:
整个施工由一家企业总承包,其他各家各分得若干个百分点(例如占中标价的2%)的红利。
这种情况下,显然合作方越多,中标的机会越大,但所得利润越少。
若你是合作企业的总承包商,请问多少家合作最好?
即,既争取最大的中标机会又能获得较高的利润。
1.3问题的分析
问题一就怎样报价能最大限度地确保中标的分析:
问题一是要求我们寻找一个有效的报价能够最大限度的确保中标,题目中给定了投标的最优报价的计算公式,企业的有效报价要尽可能地接近于C,这样得分才会高,低于或者高于C都会被扣分。
故存在一个最优的报价,使得投标人得分接近于满分报价值或等于满分报价值。
问题二就3家企业在参加工程投标中合作投标以最大限度地确保中标的分析:
问题二指出在工程投标的过程中,合作投标能够增加中标的概率,就3家合作的企业而言,需要制定一个合作的策略来确保最大可能地中标。
合作的策略主要有三种情况。
问题三就如何确定合作投标企业的个数在争取最大的中标机会的同时又能获得较高利润的分析:
企业在工程投标报价过程中合作的目的就是能够使中标的概率更大的同时又要使自己获取更多的利益。
虽然合作方越多能够使中标的概率更大,但是合作方越多,分配的红利越大,所得的利润就越少。
工程承包商需要找出最大的中标机会和较高利润的一个均衡点。
承包商分配红利的条件就是要确保中标,这就涉及到对中标概率的计算问题等。
2.模型的基本假设
1.每个投标报价的企业在报价过程中没有掌握对方的完全信息,即各个工程投标的竞争者之间的投标报价相互独立;
2.参与工程投标的5家企业之间投标是同时进行而且是相互独立的,彼此之间不存在合作商讨的行为;
3.工程投标竞争者参与工程投标的5家企业的投标人并不是刚进入市场的新手,而是都具有一定的投标经验,报价的编制水平比较稳定,是理性,风险中型的投标人;
4.投标人计算投标报价的方法基本上是相同的,但是因为所要追求的利益不同、各自拥有的企业优势不同,从而导致了投标报价的差异的存在;
3.模型符号的说明
符号
符号说明
Ai
投标人有效报价
AP
有效投标报价的算术平均值
M
招标最高控制价
N
招标最低控制价
T
预留金加暂定价项目
C
投标的满分报价点
β
下浮让利系数
n
投标人数
4.模型的分析建立与求解
4.1问题一模型的分析建立与求解
4.1.1模型一;线性规划模型
4.1.1.1模型的分析与假设
模型的分析:
工程的投标报价过程对于投标人来说是相互独立的,投标人的竞争对手报价是未知的,但是对于一个成熟有经验的投标人来说,报价都会相应地去接近满分投标点C,题目中给出了投标报价的得分计算公式,投标人为了达到尽可能地中标的目的就是要使得分最高,也就是扣分最少,这里我们分成三种情况来讨论:
当投标人的有效报价等于满分报价点时;当投标人的有效报价小于满分报价点时;当投标人的有效报价大于满分报价点时。
根据题干中给出的投标报价计算公式,可以进一步简化成扣分公式,问题就相应转化成求扣分最少的情况下的有效报价,即为最优报价,也就是要计算出扣分函数的最小值。
模型假设:
1)假设各个投标人的有效报价在[N,M]上是呈一个正态分布的,所以竞争对手的有效报价的平均值就可以看做是一个定值,即为(N+M)/2;
2)投标人在投标报价时,为了尽最大可能中标,就要是报价接近于满分报价点C。
4.1.1.2符号说明
中标投标人的有效报价为:
x
其他四家投标人的有效报价平均值为:
A=(N+M)/2
扣分函数:
F(x)
投标报价不等于报价满分值所扣除的分数:
L(当x
4.1.1.3模型的建立
1)决策变量
记中标投标人的有效报价为:
x;
投标满分报价点:
C
2)目标函数
F(x)=|1-x/C|*L
3)约束条件
参加工程投标企业的有效报价均在[N,M]范围内,
即N≤Ai≤M,
有N≤x≤M;N≤A≤M
4.1.1.4模型的求解
M=1500万;
T=5%*M=75万;
N=0.85(M-T)+T=1286.25万;
A=(N+M)/2=1393.125万;
=1232.25β+75+0.1β*x
当x F(x)是减函数,即当x增加时,F(x)值减小,所以取在一定范围内的有效报价最大值,即为最优报价值,使得扣分最少。 β值是在9个数中随机抽取的,对应不同的β值,最优报价也不相同。 当x=C,即x=(1232.25β+75)/(1-0.1β)时,F(x)=0; 所以: 当x=(1232.25β+75)/(1-0.1β)时,x为最优报价,得分为满分。 当随机抽取的β值不同时,最优报价也不相同。 用枚举法给出9个β值对应的最优报价: 当x>C,即x>(1232.25β+75)/(1-0.1β)时,F(x)=50*(x/C-1)=50*[x/(1232.25β+75+0.1β*2.x)-1] F(x)是区间上的增函数,函数值随着x的增加而增加,所以取一定范围内的有效报价的最小值,即为最优报价值,使得扣分最少。 4.1.2.模型二: 复合标底投标报价博弈模型 4.1.2.1模型的分析与假设 模型的分析: 企业参加工程投标报价的工程也就是竞标各方以自己的实力为基础的博弈过程,在制定投标报价策略时,不仅要关注自身的实力还要关注竞争对手的实力。 这一问题就是要确定投标的企业能够编制出最优报价,所以问题的模型可以看做是复合标底报价模型。 最优报价在综合考虑了给定的投标预测算,测定的本企业的估价成本,项目期望利润,招标人给定的预算工程价格,评标标底(复合标底)以及有效报价的算术平均值等因素之后编制的,投标报价的问题即转化为有约束条件的逐次逼近模型。 基于逐次逼近模型,主要是争对一个理性的投标人来说的,经过多次博弈分析,投标报价总是向着满分报价分值点靠近,因此,投标报价和有效平均报价之间是一次又一次的拟合关系。 通过反复的迭代,最后收敛最优报价值。 模型建立前的相关假设: 1)对于成熟的投标人而言,投标报价总是向满分报价分值点那边接近;函数A与有效报价的算术平均值是一次又一次的复合关系; 2)假设保证中标的最优报价为A,目标函数A是线性的。 即当报价为A时,得分最高,最优报价和业主标底(本题给出了招标方对工程的总预算价,即为业主标底)、复合标底(招标方将自己的标底乘上一定的权数加上各个投标单位有效报价的算术平均值乘上一定的权数,称作复合标底)、有效平均报价、项目估价成本以及项目期望利润之间存在一定的函数关系,用f(A)表示; 3)设γ为M占复合标底B下的权重,1-γ为有效报价算术平均数Ap在复合标底B中的权重;在复合标底上降低α,得到报价最高得分点C; 4)最优报价是当得分为满分时,所以最优报价就是投标满分点C,当然当投标人都没达到投标满分点时,得分最高者中标,但是在投标价等于满分投标点的投标价投标者就已经满足了,达到了尽最大可能中标的目的。 4.1.2.2模型的符号说明 P: 项目估价成本 V: 项目期望利润 B: 复合标底 γ: 业主标底M占复合标底B的权重 α: 满分报价点经过复合标底的下浮系数 4.1.2.3逐次逼近模型的建立: 1)决策变量: AP: 竞标企业有效投标的算术平均值 C: 投标的满分报价点 P: 项目估价成本 V: 项目期望利润 2)目标函数: A=f{M,C,Ap,P,V} 3)约束条件: 投标的价格必须在评标报价的有效范围,亦即在有效报价的范围内。 题目中给出了有效投标的范围[N,M], 即: Ai(i=1,2,3,4,5;表示5家竞标企业的随机报价)∈[N,M]; 投标报价要在成本线和预期项目期望利润之间,即Ai∈[P,P+V]; 项目期望利润V应该要大于或等于0,即V≥0。 4.1.2.4模型的求解: B=γ*M+(1-γ)*Ap; C=(1-α)*B=(1-α)[γ*M+(1-γ)*Ap]=(1-α)*γ*M+(1-α)(1-γ)*Ap; 题目中给出C的计算公式为: ,将C化简一下可以得出C=(0.45β+0.05)M+0.5β*Ap; 将进行对比分析,可以得出(1-α)*γ=0.45β+0.05;(1-α)(1-γ)=0.5β; A函数是有极限的,而且是有最优解的,由于投标报价具有较强的竞争性,所以函数的极小值就是投标报价的最优解。 因为A和Ap是一次又一次复合的关系,经过多次递推,如果A1,A2,...,Am序列值稳定在在一个确定的An,则An则被认为是序列分析的结果,也就是投标人的最优报价。 假设第一次以招标方总预算价格M值进行复合运算: 当i=0时: A1=(1-α)*M, 当i=1时: A2=(1-α)[γ*M+(1-γ)*A1]=(1-α)[γ+(1-γ)(1-α)]*M 当i=2时: A3=(1-α)[γ*M+(1-γ)*A2]=(1-α){γ+(1-γ)(1-α)γ+(1-γ)^2(1-α)^2}*M ...... 当i=n-1时: An-1=(1-α){γ+(1-γ)(1-α)γ+(1-γ)^2(1-α)^2+...+(1-γ)^(n-1)(1-α)^(n-1)} 当i=n时: An=(1-α){γ+(1-γ)(1-α)γ+(1-γ)^2(1-α)^2+...+(1-γ)^n(1-α)^n} 假设f(A)=An-An-1 即: f(A)=(1-γ)^n(1-α)^n γ、α均为小于1的数,当n趋向无穷时,f(A)=0,所以An=(1-α)[γ*M+(1-γ)*An-1]=AN-1, 得: An=(1-α)*γ*M/1-(1-α)(1-γ) 得出最有报价An=(1-α)*γ*M/1-(1-α)(1-γ) 将(1-α)*γ=0.45β+0.05;(1-α)(1-γ)=0.5β代入上式,可以求得: An=(0.45β+0.05)*M/(1-0.5β),β是0.920~0.960之间每间隔0.05的九个数中随机抽取的,计算在每个不同的β情况下对应的 下浮让利系数β 最优报价An 0.920 1288.889 0.925 1301.163 0.930 1313.551 0.935 1326.056 0.940 1338.679 0.945 1351.422 0.950 1364.286 0.955 1377.273 0.960 1390.385 所以对于随机抽取的β值,对应的最优报价也是不同的。 利用minitab绘制随机抽取的β在0.92到0.96之间的九个数对应的最优报价之间的散点关系图,可以看出,β取值越大,最优报价An的值就越大。 4.2问题二模型的分析建立与求解 4.2.1模型的分析与假设 问题的分析: 三家企业合作投标,另外的两家竞争对手的投标的有效标价是未知量,而且对于未知量的变化我们是无法控制也是无法预知的的,所以作为合作的三家投标报价企业,唯一可以做的就是控制与其合作的两家的有效投标报价,使得对报价满分值点有一定的影响,进而使自己的中标的概率加大。 控制合作的两家报价有三种主要的情况: 第一种就是三家全部报价都是可能性最大的投标价格,三家投标价格不相同,同时这合作投标的三家企业的有效报价在区间[N,M]上分布比较散开而且之间的间隔相同,这样的话就能够使得三家等可能地中标。 需要其中的一家等于三家的平均值A,可设A5=A,所以可化简等式C=0.5β(M+(A1+A2+3A)/5)+(1-β)*T,同时令A5=C=A,所以A=(0.5βM+0.1β(A1+A2)+(1-β)*T)/(1-0.3β),观察等式可以发现,整个A只会受到A1+A2的影响,所以需要采取措施减少(A1+A2)变化对整体的影响。 第二种就是,两家全部压在可能性最大的投标价格而另一家牺牲自己用来平衡A1+A2的变化。 两家可能中标的企业A4、A5,令A4=A5=A,C=0.5β(M+(A1+A2+A3+2A)/5)+(1-β)*T,C=A5+A,所以A=(0.5βM+0.1β*(A1+A2+A3)+(1-β)*T)/(1-0.2β),由于分母的加大,A1+A2变化带来的影响在一定程度上就减小了。 第三种情况就是: 一家压在可能性最大的投标价格而另外两家牺牲自己用来平衡A1+A2的变化,设A5=A,所以C=0.5β(M+(A1+A2+A3+A4+A5/5)+(1-β)*T,C=A5=A,所以A=(0.5βM+0.1β(A1+A2+A3+A4)+(1-β)*T)/(1-0.1β),由于分母的加大,A1+A2变化带来的影响化到了最小。 通过对三种情况的分析,可以发现,一家压在可能性最大的投标价格而另外两家牺牲自己用来平衡A1+A2的变化这种情况是最合理的,这样的合作投保就弱化了未参加合作投标报价的企业报价A1+A2对于满分报价点的影响。 与此同时,我们也发现这种分析用于m家投标报价企业和n家合作投标之间都是适用的。 而且,通过对评分公式的分析,我们也得出,三家企业合作投标报价时,其中的两家企业要牺牲自己来确保剩下的一家中标的概率更大,合理的是两家企业都应该报价N,这样使C值变小,低于C值相比较高于C值而言扣分较少,中标概率更大。 在某种程度上使另外两家竞争对手有效报价相对变大了,而大于C的有效报价的得分就相对扣得更多,降低了非合作投标企业中标的概率。 模型的假设: 1)可以假设,竞争对手的两家投标是在区间[N,M]上的随机取值,服从正态分布,并且由概率论的相关知识可得两家投标报价的算术平均值为(M+N)/2。 2)有经验的投标人为了最大可能中标,他的报价A就会等于满分报价点C,这样中标的概率是最大的。 4.2.2模型的建立 没有参加合作投标的两家企业的有效报价的算术平均值为(N+M)/2,确保最大可能中标的企业报价为A,另外两家合作投标企业均报价区间上的最小值N。 根据题干: C=0.5β(M+(A1+A2+A3+A4+A5)/5)+(1-β)*T 将相应的值代入化简之后可得: C=0.5β[M+(2*(M+N)/2+2N+A)/5]+(1-β)*T 再令A=C,进一步化简得出A的计算公式 得: A=(0.55β*M+0.3β*N+0.05M)/(1-0.1β) 4.2.3模型的求解 将上述的M,N值代入计算,可得: 最优报价A=(1210.875β+75)/(1-0.1β) β的取值是在[0.920,0.960]步长为0.05的区间上随机抽取的,所以不同的β值所对应的最优报价不相同。 4.3问题三模型的分析建立与求解 4.3.1模型的分析与假设 模型的分析: 虽然合作的企业数量越多使得中标概率越大,但是随着合作企业数量的增加,承包商分给各个合作企业的红利就越多,为了在争取获取最大的中标机会的同时能够获得较高的利润,建立中标的概率和获得利润之间的函数关系。 不合作和5家竞标企业一起合作的对于总承包商的收益情况,我们不需要给予考虑。 第一点: 5家企业共同竞争,就不存在合作投标的问题,有没有承包商的概念问题,每家中标的概率都是1/5,;第二点: 5家合作投标报价,那么中标的概率就是百分之百,合作的5家企业都会选择报价1500万,这样,从招标方的角度上看,这其中在很大程度上就存在问题,投标的有效报价可能就不会被采纳,所以不予考虑。 承包商给合作投标企业分发红利的基础是在中标的情况下,所以分配红利的计算还要将最优报价乘上中标的概率。 我们就模型的建立给出以下的假设: (1)假设每2家、3家、4家、5家的中标概率之间有一定的函数关系; (2)假设工程投标报价过程中涉及到的成本为一个常数; (3)合作的企业之间分得的红利是一个常数,2、3、4家合作分得的红利都可以是2%; (4)假设未参加合作投标的企业的有效报价在[N,M]内的随机取值,所以未参加合作投标企业的有效报价的算术平均值为(N+M)/2; (5)假设共有m家企业参加工程投标报价,其中n家企业合作投标,那么在这n家合作投标的企业中,其中的n-1家去操纵满分报价点C的值,剩下的一家去最大可能地确保中标; (6)由于企业的报价都是在[N,M]范围内,为了使确保中标的企业最大可能中标,它的值设为满分报价点的值。 确保中标的企业的投标价格对于其合作的一家企业来说,能够控制的报价的变动范围是在[0,(M-N)/2]之间,所以n家就有(n-1)*(M-N)/2,因为企业的有效报价和满分报价点成正相关的关系,所以为了达到较高利润的目的,合作企业的变动值应取最大值(M-N)/2。 4.3.2模型的符说明 Pi: 表示合作中标的概率(i=1,2,3,4,5) C: 工程成本 Ai: 所有参加投标报价的投标人的有效报价(i=1,2,3,4,5) A: 合作企业的最优报价 ΔA: 确保中标企业对于其他合作投标企业的有效报价的控制值 Q: 承包商所获得的利润 4.3.3模型的建立 1.确保中标企业的最优报价: A=0.5β(M+[2*(N+M)/5+(n-1)*(M-N)/10+A/5]+(1-β)*T; 2.承包商获得的利润: Q=(A-C-(n-1)*A*2%)*P(n) 2.中标概率的计算: 根据题目可知,5家不合作投标报价每家中标的概率为1/5;两家合作中标的概率肯定大于2/5;三家合作投标报价中标的概率肯定要3/5;四家合作投标报价的概率要大于4/5而小于1;5家合作投标中标的概率肯定达到1.它们之间存在着一定的函数关系: 即Pi=P(x) 4.3.4模型的求解 (1).将M,N,T的带入计算最优报价 化简得: A=(1232.25β+75+10.69(n-1)*β)/(1-0.1β)
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