复变函数第四版余家荣答案.docx
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复变函数第四版余家荣答案
复变函数第四版余家荣答案
【篇一:
1第一章复数与复变函数】
京
1
第一章复数与复变函数
1复数及其代数运算
1.复数的概念①
在解方程时,有时会遇到负数开方的问题,但在实数范围内负数是不能开平方的。
为此,需要扩大数系。
我们给出如下的代数形式的复数定义:
复数的代数定义:
把有序实数对(x,y)作代数组合所确定的形如x?
iy的数称为(代数形式的)复数,记为
z?
x?
iy,
2
其中,i满足i?
?
1。
我们称i为虚单位;实数x和y分别称为复数z的实部和虚部,并记为x?
rez,
y?
imz。
特别地,当imz?
0时,z?
x?
i0?
rez?
x是实数;当rez?
0时且imz?
0时,z?
iimz?
iy称为纯虚数;虚部不为零的复数称为虚数(即不为实数的复数称为虚数);z?
0当且仅当rez?
0且imz?
0,即复数0?
0?
i?
0。
z1?
z2当且仅当rez1?
rez2且imz1?
imz2。
2.复数的代数运算
2.1四则运算
设z1?
x1?
iy1,z2?
x2?
iy2为任意两个复数,它们的四则运算定义为:
加法:
z1?
z2?
(x1?
x2)?
i(y1?
y2)减法:
z1?
z2?
(x1?
x2)?
i(y1?
y2)乘法:
z1z2?
(x1x2?
y1y2)?
i(x1y2?
x2y1)除法:
z1x1x2?
y1y2y1x2?
x1y2
(z2?
0)?
?
i2222
z2x2?
y2x2?
y2
2
【注】:
(1).可见,复数的四则运算,可以按照多项式的四则运算进行,只要注意将i换成?
1。
(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行:
①.先看成分式的形式,然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的
复数(在后面将会看到,这被定义为共轭复数),再进行简化;
②.用复数z1?
x1?
iy1除以非零复数z2?
x2?
iy2,就是要求出这样一个复数z?
x?
iy,使得
z1?
z2?
z。
按乘法的定义,为求出z需要解方程组
?
x2x?
y2y?
x1
?
?
x2y?
xy2?
y1
2.2共轭复数
复数x?
iy和x?
iy互称为对方的共轭复数,如果记z?
x?
iy,则用记其共轭复数,即
?
x?
iy?
x?
iy。
①
复数的公理化定义见附录12
对于复数z?
x?
iy,称z?
x2?
y2为z的模或绝对值。
共轭复数和模有下列等式及不等式性质成立
(1)()?
z
(2)z?
?
2rez,z?
?
2iimz(3)z?
z?
x?
y(4)?
z(5)z1?
z2?
1?
2(6)z1z2?
1?
2(7)?
?
2
2
2
?
z1?
1
?
?
?
(z2?
0)z2?
2?
2
(8)z1?
z2(9)x?
?
z1?
z2?
z12?
1z2?
z1?
z2?
2re(z12)(此即相干叠加原理式.京.
2222
z?
z?
,y?
(由此二式可知,任何实变数的方程原则上都可以用复变数表示22i
(10)?
z?
rez?
z?
rez?
imz
(11)?
z?
imz?
z?
rez?
imz
(12)z1?
z2?
z1?
z2?
z1?
z2(三角不等式)(13)(z1?
z2)?
第(8)式证明:
n
?
c
k?
0
n
kn?
kn1
z
k
(n?
1,2,?
)(复数的二项式定理)z2
z1?
z2?
(z1?
z2)(z1?
z2)
?
(z1?
z2)(1?
2)?
z11?
z22?
z12?
1z2?
z1?
z2?
z12?
z12?
z1?
z2?
(z12?
z12)
?
z1?
z2?
2re(z12)(根据z?
?
2rez得)■
2
2
2
22
22
3.复数域
一般地,对一些数形成的集合s,若对s中的数按某种法则规定的四则运算在s中是封闭的,即s中任意两个数经所规定的加、减、乘、除运算后所得的数仍在s中,则称s为一数域。
如有有理数域q、实数域r、复数域c。
复数域与有理数域、实数域不同的是,复数没有大小之分,不能像有理数、实数那样可以比较大小,即复数域不是有序域,而是无序域。
尽管复数的实部x和虚部y均为实数,但是由于复数z?
x?
iy是实部和虚部通过虚单位i联系起来,从而是不能比较大小的.
例:
利用复数表示圆的方程
3
a(x2?
y2)?
bx?
cy?
d?
0
其中a?
0,而a,b,c,d是实常数。
解:
令z?
x?
iy,由上述第(3)及第(9)式得
a(x2?
y2)?
bx?
cy?
d?
a(z)?
b
z?
z?
?
c?
d22i
11
?
az?
(b?
ci)z?
(b?
ci)?
d
22
1
(b?
ci),故知圆方程的复数表示可以是2
?
?
?
?
d?
0,
其中a,d是实数。
反之,这种形式的方程就表示一个圆。
记?
?
【注】:
1.这种形式的特点就是两条:
z的系数和常数项是实的,而z与的系数彼此共轭;
2.以后还会看到圆的另外两种复变数表示。
它们分别适于不同的场合;3.由第(9)式可知,任何实变数的方程原则上都可以用复变数表示。
2复数的几何表示
1.复数可以表示为复平面上的点或向量
由于一个复数z?
x?
iy本质上由一个有序实数对(x,y)唯一确定,而
有序实数对(x,y)与平面上给定的直角坐标系上的点,或与从原点到坐标为(x,y)的点的向量(称为点(x,y)的位置向量,或简称位矢),可以建立起一一对应关系。
于是,可以用坐标平面的点或向量来表示复数。
与复数建立了这种对应关系的坐标平面称为复平面或z平面,也常用表示复数域
的记号c来表示复平面。
此时,x轴称为实轴,y轴称为虚轴。
【注】:
将复数表示为平面向量,这种对应关系使复数的加减法与向量图1.1x的加减法之间保持一致。
但是,复数的乘法与平面向量的乘法(无论是点
积还是叉积)却是不同的。
也即把复数当作向量看待时只能针对加减法意
义(或说只能针对问题中只出现加减法运算时)而言。
更准确地说,只能针对加减法及数量乘法(即一实数乘以一向量或复数)而言。
不过即使在这样的情况下也不能说“复数与向量可互为表示”,而只能说“复数与平面向量可互为表示”,因为一般向量概念还可以是三维及三维以上的。
可见线性代数中的线性空间概念比复数概念更弱。
2.复数可以表示为复球面上的点
除了用平面内的点或向量来表示复数外,复数还有一种几何表示法,它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法,建立复平面与球面上的点的对应,也即还可以用球面上的点来表示复数。
取一个与复平面c切于原点的球面,通过原点作垂直于复平面c的直线与球面相交于另一点n,称n为北极,而o点为南极。
在复平面xoy上任取一点z(x,y),它与球的北极n的连线相交于球面点
p(?
?
)。
如此,复平面c上的有限远点与球面上除n点外的点满足一一对应关系。
这样,除n点外的球面上的每一个点,就有复平面c上唯一的一个复数与之对应。
此外,球面北极n可以看成是与在复平面c上引进的一个模为无穷大的假想的点相对应,这个假想点称为无穷远点,并记为?
。
复平面c加上点?
后称为扩充复平面,记为c?
,即c?
?
c?
?
?
?
,与它对应的就是整个球面s,这样的整个球面s称
为复球面。
简单地说,扩充复平面的另一个几何模型就是复球面。
如图所示。
为区别起见,我们把不含无穷远点的复平面c又称为开平面,把扩充复平面c?
又称为闭平面。
以后,凡涉及到闭平面时,一定强调指出这个“闭”字或“扩充”二字;凡没有指明的地方,均默认指开平面。
4
z(2(y)
具体地,利用解析几何知识,我们可以推出在重合的直角坐标系下,扩充复平面c?
上点的坐标与复球面s上对应点的坐标的关系式:
设与c?
上的点z?
x?
iy相应的s上的点为z(x,x,x),则有
及
3.关于?
有如下规定
(1)?
的实部、虚部及幅角(幅角的定义见后)都无意义,?
?
?
?
;
?
0
,都无意义;(特别注意,?
?
?
也无意义,这不同于实分析)?
0
?
a
(3)a?
?
时,a?
?
?
?
?
a?
?
,?
?
,?
0;
a?
a
(4)a?
0(但可为?
)时,a?
?
?
?
?
a?
?
,?
?
;
(5)在扩充复平面上,任一直线都是通过无穷远点的。
同时,没有一个半平面包含点?
。
【注】:
扩充复平面上点?
只有一个,它和实分析中的?
?
、?
?
的概念不同。
(2)运算?
?
?
,0?
?
,
5
【篇二:
复变函数与积分变换-车军领】
ass=txt>课程编码:
08
课程名称(中、英文):
复变函数complexfunctiontheory
积分变换integraltransformation
先修课程:
高等数学
总学时:
48(授课学时:
48上机学时:
0实验学时:
0)
一、课程的性质和任务:
学科基础必修课,本课程介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续等概念、解析函数的理论和方法;介绍积分变换的基本内容及应用。
二、课程教学内容的基本要求、重点和难点及学时分配
1.复数与复变函数(6学时)
基本要求:
理解复数的概念,掌握复数的表示方法;掌握复数的四则运算及乘幂与方根;了解复平面上点集的基本概念,理解区域的概念;掌握复变函数的概念,了解复变函数极限与连续性;了解复球面与无穷远点的概念。
重点:
复数的表示方法,复数的四则运算及乘幂与方根,区域,复变函数的概念。
难点:
复数的乘幂与方根、区域、复变函数极限与连续性。
2.解析函数(6学时)
基本要求:
理解解析函数的概念,掌握柯西-黎曼条件;掌握初等解析函数:
指数函数和三角函数的概念,了解双曲函数的概念;理解初等多值函数即根式函数和对数函数的概念,了解幂函数、指数函数和反函数的概念;掌握求根式函数z和对数函数lnz的单值解析分支的方法。
重点:
解析函数,柯西-黎曼条件;根式函数和对数函数;幂函数、指数函数;根式函数z和对数函数lnz的单值解析分支。
难点:
柯西-黎曼条件;求根式函数z和对数函数lnz的单值解析分支的方法。
3.复变函数的积分(8学时)
基本要求:
了解复积分的概念及其简单性质;掌握柯西-古萨基本定理、复合闭路原理及其应用;理解柯西积分公式及其推论,掌握利用柯西积分公式求积分的方法;理解解析函数的无穷可微性,掌握解析函数的高阶导数公式及应用;了解解析函数与调和函数的关系,会求共轭调和函数及其构成的解析函数。
重点:
柯西-古萨基本定理,复合闭路原理;柯西积分公式及其求积分的方法;解析函数的高阶导数公式及应用;共轭调和函数及其构成的解析函数。
难点:
复合闭路原理;用柯西积分公式求积分的方法;解析函数的高阶导数公式及应用;求共轭调和函数及其构成的解析函数。
4.解析函数的幂级数表示法(10学时)
基本要求:
了解复级数的概念和基本性质;理解幂级数的敛散性,和的解析性,掌握收敛半径的求法及幂级数的运算和性质;掌握解析函数的泰勒展式,会求一些初等函数的泰勒展式;理解解析函数的罗朗展式,会求简单的解析函数在孤立奇点领域内的罗朗展式。
重点:
幂级数收敛半径的求法,解析函数的泰勒展式,解析函数的罗朗展式。
难点:
求解析函数在孤立奇点领域内的罗朗展式。
5.留数(6学时)
基本要求:
理解解析函数的孤立奇点的概念;理解孤立奇点的三种类型的等价定理,会判断孤立奇点的类型;了解解析函数在无穷远点的性质;掌握留数的定义及留数定理,及留数的求法;会用留数定理计算复积分;会用留数定理计算下面三种形式的定积分2?
?
?
?
0r(cos?
sin?
)d?
型,?
?
?
r(x)dx型,
?
?
?
?
?
r(x)eaixdx(a?
0)型。
重点:
解析函数的孤立奇点的概念;判断孤立奇点的类型;解析函数在无穷远点的性态;留数的求法;用留数计算复积分。
难点:
判断孤立奇点的类型;留数的求法;用留数定理计算下面三种形式的定积分?
r(cos?
sin?
)d?
型,02?
?
?
?
?
?
?
?
r(x)dx型,?
r(x)eaixdx(a?
0)型。
?
?
6.积分变换(12学时)
基本要求:
理解傅里叶变换及拉普拉斯变换的概念;掌握傅氏及拉氏变换的求法;了解傅里叶变换及拉普拉斯变换的性质;了解卷积概念及拉普拉斯逆变换的概念。
重点:
傅里叶变换及拉普拉斯变换的概念;傅氏及拉氏变换的求法。
难点:
傅氏变换、拉氏变换及拉氏逆变换的求法;傅里叶变换及拉普拉斯变换的性质。
三、能力培养要求
复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用,是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的有力工具。
通过本课程的学习,能正确理解和掌握复平面上的区域以及复变函数的极限与连续等概念,掌握解析函数的理论和方法及傅氏变换及拉氏变换的方法及应用。
逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。
四、教材与参考书目
出版社
《积分变换》(第四版)东南大学数学系张远林编高等教育出版社
2.参考书目:
钟玉泉编《复变函数论》高等教育出版社(第三版)余家荣编《复变函数》高等教育出版社(第二版)
杨战民等:
《复变函数与积分变换》,西安电子科技大学出版社
五、有关说明
本科程适用于信电、机电等专业。
六、课程建设与改革摘要
在教学过程中,由以教授理论知识为主,逐步转向在教授理论知识的同时,加强数学研究方法的教学,提高学生用数学的方法研究相关专业和实际问题的能力,主要是应用能力的培养。
在教学手段上,借助多媒体教学工具进行自引导式教学,培养学生的自学能力及发现问题解决问题的能力。
编写人:
车军领
审核人:
批准人:
编写日期:
年月日
《复变函数》与《积分变换》课程简介
课程名称(中、英文):
复变函数complexfunctiontheory
积分变换integraltransformation
课程编码:
08
课程简介:
本课程介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续等概念及解析函数的理论和方法;介绍积分变换的基本内容及应用。
考核形式:
闭卷笔试
教材与参考书目:
1.教材:
《复变函数》(第四版)西安交通大学高等数学教研室编高等教育出版社《积分变换》(第四版)东南大学数学系张元林编高等教育出版社
2.参考书目:
钟玉泉编《复变函数论》高等教育出版社(第三版)余家荣编《复变函数》高等教育出版社(第二版)
【篇三:
复变函数】
t>一、课程性质与目标
(一)课程性质
《复变函数论》是数学与应用数学专业的一门重要基础课,又是《数学分析》的后继化、完备化课程。
它已渗入到解析数论、微分方程、计算数学和拓扑学等数学分支,不仅成为了一种重要的解析工具,而且也为其它学科(如流体力学、弹性力学、电磁学等)提供了一种广泛的几何定性研究的方法。
(二)课程目标
通过本课程的教学,使学生对复变函数的一些基本概念、基本理论、基本方法有较深刻的认识和理解并掌握,培养学生应用这些概念与方法解决实际问题的基本技能,加深对《数学分析》中基础理论的理解;认识到一些不同数学分支之间的内在联系与相互影响,并对现代数学不同学科间的内在联系与相互渗透有一个初步的了解;进一步锻炼学生的逻辑思维能力,培养和提高分析问题和解决问题的能力;为学习有关专业和扩大数学知识面提供必要的数学基础。
二、课程内容与教学
(一)课程内容
1、课程内容选编的基本原则
(1)把握理论、技能相结合的基本原则。
(2)注意教学内容与其他相关课程的联系和渗透。
(3)结合中学数学课程教学实际,充实教学内容。
2、课程基本内容
(1)复数与复变函数
(2)解析函数
(3)复变函数的积分
(4)解析函数的幂级数表示法
(5)解析函数的洛朗展式与孤立奇点
(6)留数理论及其应用
(7)共性映射
(8)解析延拓
(9)调和函数
(二)课程教学
1、注重数学思想与数学素养的培养,阐述所讲内容在整个理论体系中的作用和地位。
2、加强建立数学模型的思想和训练,提高学生的数学素养和创新能力。
3、在传授基础理论和基本技能的同时,加强学生分析实际问题和解决实际问题的能力。
4、注重课堂讲授、习题课、习题批改等环节。
三、课程实施与评价
(一)学时、学分
本课程总学时为72学时。
学生修完本课程全部内容,成绩合格,可获4学分。
(二)教学基本条件
1、教师
教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平,一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。
2、教学设备
配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。
(三)课程评价
1、对学生能力的评价
(1)基本运算能力,包括运算速度及准确性。
(2)逻辑推理能力,包括逻辑思维的合理性和严密性。
2、采取教师评价为主的评价方法。
3、课程学习成绩由期末考试成绩(70%)和平时成绩(30%)构成。
成绩评定采用百分制。
四、课程基本要求
第一章复数与复变函数
了解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑(逐段光滑)曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
理解复数的性质、复数的模和辐角的性质。
理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质;进一步认识复数域的结构,并联系中学的复数教学。
掌握复数的运算、过两点的线段及直线的参数方程、复变函数的概念。
第二章解析函数
了解解析函数的定义、性质及其充分必要条件;了解指数函数、三角函数的定义及其主要性质;了解双曲函数、反三角函数、反双曲函数的定义。
理解函数在一点解析与函数在一点可微的区别,熟练掌握利用柯西-黎曼条件判别解析函数的方法;理解根式函数、对数函数的定义及其主要性质。
掌握指数函数、三角函数、根式函数、对数函数、一般幂函数与一般指数函数的计算。
第三章复变函数的积分
了解复积分的性质。
理解复积分的概念,理解柯西积分定理,熟练掌握利用柯西积分定理计算函数沿闭曲线的积分;理解柯西积分定理的推广;理解柯西积分公式、高阶导数公式。
掌握复积分的计算方法;熟练掌握利用柯西积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分;掌握利用摩勒拉定理判断解析函数的方法;熟练掌握已知解析函数的实部(或虚部),求该解析函数的方法。
第四章解析函数的幂级数表示法
了解复级数的基本概念;了解幂级数和的解析性;了解幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性;
理解解析函数项级数的和函数的性质;理解幂级数的敛散性;理解收敛圆、收敛半径的概念;理解解析函数的幂级数表示;理解解析函数的零点孤立性、唯一性定理、最大模原理。
掌握复变函数项级数的收敛、一致收敛、内闭一致收敛的定义及判别方法熟练掌握一些初等函数的泰勒展式。
第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点
了解双边幂级数的有关概念;了解洛朗级数与泰勒级数的关系;了解洛朗定理,了解解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质;了解整函数与亚纯函数的概念。
理解孤立奇点的概念。
熟练掌握将解析函数分别在指定圆环和孤立奇点去心邻域内展成洛朗级数的方法;掌握判断孤立奇点类型的方法;掌握解析函数在无穷远点的性质。
第六章留数理论及其应用
了解函数在无穷远点的留数;了解对数留数的概念。
理解留数的定义,熟练掌握留数的求法;理解留数定理,掌握利用柯西留数定理计算函数沿闭曲线的积分;熟练掌握用留数定理计算实积分;;理解辐角原理、儒歇定理,熟练掌握求解析函数在指定区域内的零点个数的方法。
第七章共性映射
了解解析变换的特性(保域性、保角性、共形性);了解幂函数、指数函数、根式函数、对数函数的映射性质,掌握它们所构成的共形映射。
理解分式线性变换的映射性质。
掌握将区域d共形映射为区域g的分式线形变换。
第八章解析延拓(选讲)
第九章调和函数(选讲)
五、学时分配:
教材:
钟玉泉.复变函数论[m].北京:
高等教育出版社(第三版)。
主要参考书:
[1]余家荣.复变函数[m].北京:
高等教育出版社(第三版).
[2]钟玉泉.复变函数学习指导书[m].北京:
高等教育出
编写时间:
2011年12月
编写教师:
高霞
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- 关 键 词:
- 函数 第四 余家 答案