复变函数第四版的第五章答案.docx
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复变函数第四版的第五章答案
复变函数第四版的第五章答案
【篇一:
安徽工业大学复变函数与积分变换客观题5(第五章)】
数
一、选择题:
1.函数
cot?
z
在z?
i?
2内的奇点个数为()
2z?
3
(a)1(b)2(c)3(d)4
2.设函数f(z)与g(z)分别以z?
a为本性奇点与m级极点,则z?
a为函数f(z)g(z)的()
(a)可去奇点(b)本性奇点
(c)m级极点(d)小于m级的极点
1?
ex
3.设z?
0为函数4的m级极点,那么m?
()
zsinz
(a)5(b)4(c)3(d)24.z?
1是函数(z?
1)sin
2
1
的()z?
1
(a)可去奇点(b)一级极点(c)一级零点(d)本性奇点
3?
2z?
z3
5.z?
?
是函数的()
z2
(a)可去奇点(b)一级极点(c)二级极点(d)本性奇点6.设f(z)?
?
anzn在z?
r内解析,k为正整数,那么res[
n?
0
?
f(z)
0]?
()kz
(a)ak(b)k!
ak(c)ak?
1(d)(k?
1)!
ak?
17.设z?
a为解析函数f(z)的m级零点,那么res[
f?
(z)
a]?
()f(z)
(a)m(b)?
m(c)m?
1(d)?
(m?
1)8.在下列函数中,res[f(z),0]?
0的是()
ez?
1sinz1
(a)f(z)?
(b)f(z)?
?
2
zzz
(c)f(z)?
sinz?
cosz11
?
(d)f(z)?
z
ze?
1z
1
9.下列命题中,正确的是()(a)设f(z)?
(z?
z0)
?
m
?
(z),?
(z)在z0点解析,m为自然数,则z0为f(z)的m级极点.
(b)如果无穷远点?
是函数f(z)的可去奇点,那么res[f(z),?
]?
0(c)若z?
0为偶函数f(z)的一个孤立奇点,则res[f(z),0]?
0(d)若
f(z)dz?
0,则f(z)在c内无奇点
c
10.res[zcos
3
2i
?
]?
()z
(a)?
2222
(b)(c)i(d)?
i
3333
1
z?
i
11.res[z2e(a)?
i]?
()
1515?
i(b)?
?
i(c)?
i(d)?
i6666
12.下列命题中,不正确的是()
(a)若z0(?
?
)是f(z)的可去奇点或解析点,则res[f(z),z0]?
0(b)若p(z)与q(z)在z0解析,z0为q(z)的一级零点,则res[
p(z0)p(z)
z0]?
q(z)q?
(z0)
1dn
limn[(z?
z0)n?
1f(z)](c)若z0为f(z)的m级极点,n?
m为自然数,则res[f(z),z0]?
n!
x?
x0dz
(d)如果无穷远点?
为f(z)的一级极点,则z?
0为f()的一级极点,并且
1z
1
res[f(z),?
]?
limzf()
z?
0z
13.设n?
1为正整数,则
1
dz?
()n
z?
1z?
2
(a)0(b)2?
i(c)
2?
i
(d)2n?
in
z9
14.积分10dz?
()
z?
13
z?
2
2
(a)0(b)2?
i(c)10(d)
?
i5
15.积分
12
zsindz?
()zz?
1
(a)0(b)?
?
i1
(c)?
(d)?
?
i
答案
一、1.(d)26.(c)11.(b)12
6
.(b)37.(a).(d)13第五章.(c)48.(d).(a)143
3数
.(d)9.(c)10.(b)15(b).(a).(c)留5.
【篇二:
复变函数第四章练习题】
1考察级数的敛散性。
解因
发散,故虽收敛,我们仍断定原级数发散。
例4.2试求下列各幂级数的收敛半径。
(1)
解
。
(2)。
解因故
。
,
(3)。
解因故
。
,其他情形
,
(4)
解应当是平方数时列{
。
因此,相应有。
,于是数
}的聚点是0和1,从而
例4.3将在展开成幂级数。
解因在内解析,故展开后的幂级数在内收敛。
已经知道:
,
在
时将两式相乘得(按对角线方法)
。
例4.4求解因
的支点为
及
的展开式。
,故其指定分支在
内单值解析。
其一般表达式为:
当
时
,
例4.5将
及
展为的幂级数。
。
解因
同理
,
。
两式相加除以2得
两式相减除以
得
,,
例4.6试将函数
按的幂展开,并指明其收敛范围。
解
。
例4.7考察函数
在原点解显然
的性质。
在
解析,且
。
由或由
,
知
为
的三级零点。
例4.8求解
的全部零点,并指出它们的级。
在平面上解析。
由
得
即
故
这就是
,
在平面上的全部零点。
显然
故
都是函数
例4.9设
(1)
(2)在试证:
在证若有使
在内
内
使
或
。
因
及
在区域,
的二级零点。
内解析;
。
在点
连续,故由例1.28知,存在
的邻域
,
内恒不为零。
而由题设
.。
故必
由唯一性定理(推论4.21)
例4.10试用最大模原理证明例3.9。
即证:
“设在闭圆上解析,如果存在,
使当时
,
而且
则在圆证如果在上解析。
故
内,
内,
,
至少有一个零点。
”无零点。
而由题设在
上
,且
在
在
上解析。
此时
且在
上,
,
于是
必非常数,在
上
。
,
由最大模原理,这就得到矛盾。
【篇三:
第五章习题解答】
求下列各解析函数或多值函数的解析分支在指定点的函数。
(1)(3)
z
2
2
2
(z?
1)
z1?
z
z?
?
i;
(2)
11?
e
z
z?
2n?
i
,n为整数;
z?
1;(4)sin
1z?
1
,z?
1
解:
(1)
res
z
2
z?
i(z2?
1)2res
2
?
(
z
2
2
(z?
i)
z
2
)|z?
i?
?
i4i4
z
2
2
z?
?
i(z?
1)
?
(
(z?
1)
2
)|z?
?
i?
(2)(3)
res
1
z?
2n?
1?
ez
z
?
?
1
res
z?
11?
z
?
z|z?
1?
?
1分别相应于?
?
1的两个分支。
1z?
1
(4)z=1为本性奇点,由sin2、函数
resz?
1lnzz?
1
2
的罗朗展式知
sin
1z?
1
?
1
的各解析分支在z?
?
1各有怎样的孤立奇点?
求它们在这
些点的留数。
解:
取下半虚轴作为割线,这时lnz的各解析分支是:
其中?
?
2
(lnz)k?
lnz?
i(argz?
2k?
)
32
k?
e,
arg1?
0
?
argz?
?
,记
(lnz)kz?
1
2
为fk
z?
1是f0的可去奇点,k?
z?
?
0?
时,z?
1是fk的一阶极点,
的一阶极点,res(fk,?
1)?
?
?
?
k?
?
1?
?
?
i2?
res(fk,1)?
k?
i
k?
z,z?
?
1是fk
3、计算下列积分
(1)?
c
(2)?
c
zdz(?
?
1)(?
?
2)edzz(z?
9)
2
22
,其中c:
2
z?
2?
12
,其中c:
?
?
1
(3)?
ctan?
zdz其中c:
解
(1)被积函数在z?
2
res
z?
2
z?
n(n?
1,2,3?
)
?
12
内只有一个二级极点z?
2,而
z?
2
?
z?
?
?
?
2
(z?
1)(z?
2)?
z?
1?
z
?
?
1
所以
?
zdz
c
(z?
1)(z?
2)
2
?
?
2?
i
,而
(2)被积函数在z所以
?
c22
z(z?
9)
edz
2
?
1内只有一个二级极点z?
0
?
ez?
res22?
?
?
z2?
9?
?
z?
0z(z?
9)
?
?
e
z
z?
0
?
?
19
?
?
2?
i9
?
z?
?
内解析,c
4、设函数f(z)在区域r0把积分
2?
i?
1
c
表示圆z
?
r(0?
r0?
r),我们
f(z)dz
定义作为函数f(z)在无穷远点的留数,记作
?
res(f,?
),在这里积分中的c表示积分沿c的顺时针方向,试证明:
1z
如果?
?
1表示
f(z)在r0?
z?
?
?
resf(?
)?
?
?
?
1
?
?
?
的罗朗展式中的的系数,那么
证明:
设f(z)在r0逐项积分得
?
z?
?
?
内罗朗展式为
n
f(z)?
?
?
?
?
n
z
?
?
?
?
?
1
z
?
?
0?
?
1z?
?
?
?
nz?
?
n
resf(z)?
z?
?
2?
i?
1
c
f(z)dz?
?
?
?
?
2?
i?
1
?
?
n
zdzdzi?
e
2?
0
i(n?
1)?
n
n
12?
i12?
i
?
?
n?
?
?
?
?
?
?
?
n
c
?
d?
?
?
n?
r
n?
?
?
n?
1
?
?
?
?
1
5、试求下列函数在无穷远点的留数
(1)
(2)ez(3)
z1
1
1
z
5
?
1?
z?
3?
解、由上题知
(1)res
z?
?
1z
?
?
1
(2)ez
1
?
1?
1z
?
1z!
z
2
?
?
resez?
?
1
z?
?
1
6、试把关于留数的基本定理1.1转移到d是扩充平面上含无穷远点区域情形。
推广:
如果f(z)在扩充复平面上,有有限个孤立奇点(包含无穷远点在内),设为a1、a2?
an、?
其余每一点都解析,且连续到边界c,其中c是由有限条互不包含且互不相交的围绕c1?
cm组成,则有
2?
i?
1
n
c
f(z)dz?
?
res
i?
1
z?
ai
f(z)?
resf(z)
z?
?
8、求下列各积分:
(1)?
0
?
?
xdx(x?
1)
2
2
2
(2)?
2?
d?
1?
2acos?
?
a
?
?
2
?
0?
a?
1
2
(3)?
0
dxa?
sinx
?
?
2
a?
0
(4)?
?
?
xsinxx?
1
2
?
dx
(5)?
0
0?
a?
2
sinxx(x?
1)
?
?
2
?
dx
(6)?
0
?
ax?
?
x
lnx(x?
1)
2
2
?
dx
(7)?
0(9)?
?
?
x
1?
a
2
1?
x
?
dx
(8)?
0
?
?
ee
ax
?
e?
e
?
x
?
dx?
?
?
a?
?
x
?
?
xe
?
x
?
e
?
?
x
?
dx
(10)?
0
sinx
22
x
?
dx
(11)?
0
?
?
cosx?
e
x
?
dx
(12)?
?
?
dx1?
x
n
n?
2
(13)?
?
?
lnxx?
1
2
?
dx
(14)?
1
dx(1?
x)(1?
x)
2
?
1
(15)?
?
1
1
dx(x?
2)?
x
2
(16)?
c
dz?
z?
z
2
被积函数是有关多值函数的
任一解析分支,且积分沿z解:
(1)同?
0
?
?
?
2按反时针x
2
2
2
xdx(x?
1)
2
2
2
?
1
2?
?
?
?
?
(x?
1)
dxf(z)?
z
2
2
2
(z?
1)
它一共有两个二级极点z?
?
i
2
?
z
resf(z)?
?
?
(z?
i)2z?
i
?
?
i?
?
?
?
4?
1
且在上半平面只有z?
i一个极点,所以?
0
?
?
xdx(x?
1)
2
2
2
?
12
?
?
?
2
x
2
2
?
?
(x?
1)
dziz
dx?
1
?
i?
?
?
2?
i?
?
?
?
?
2?
4?
4
(2)令z?
ei?
,则d?
1?
2acos?
这样就有
2
?
?
1
2
?
a?
1?
a(z?
z)?
a?
(z?
a)(1?
az)
z
?
且在z
2?
d?
1?
2acos?
?
a
2
?
1i
?
?
dz
z?
1
(z?
a)(1?
az)
?
1内被积函数之以为一级极点,在z?
1上无奇点
res
z?
a
1
(z?
a)(1?
az)
?
11?
az
?
z?
a
11?
a
2
所以
原积分?
(4)同?
而?
?
?
?
?
?
0
1i
1?
a1?
a
xsinx1?
xsinx
?
dx?
?
?
dx22
x?
12?
?
x?
1
?
2?
i?
1
2
?
2?
2
?
1
?
zeiz?
e?
i
dx?
2?
ires?
2?
i?
?
?
2?
2
z?
ix?
12e?
z?
1?
xe
ix
于是有
?
?
xsinxx?
1
2
?
?
?
dx?
?
e
即?
?
?
xsinxx?
1
2
?
dx?
?
2e
(6)设i
?
?
lnz
p
(z?
1)
22
,其中p如图所示(r?
1,r?
1),lnz为对数函数的一
3?
?
?
?
argz?
?
?
?
?
2?
?
2
支,定义为
lnz?
lnz?
iargz
即在复平面上去掉负虚轴后所得在正实轴上lnz?
lnx
i?
(x?
0),于是
?
r
lnx(x?
1)
2
2
r
?
dx?
?
?
r
lnx?
i?
(x?
1)
2
2
?
r
dx
?
(?
pr
?
?
)pr
mz(z?
1)
2
2
?
dz
?
?
mz
pr
(z?
1)mz
22
dz?
?
?
mr?
i?
(re
2
i2?
?
1)
2
ried?
?
i?
lnr?
?
(r?
1)
2
2
?
?
r?
0(r?
?
?
)
pr
(z?
1)
22
dz?
mr?
?
(1?
r)
r
2
2
?
?
r?
0
(r?
0)
?
?
r
lnx?
i?
(x?
1)
2
2
?
r
?
dx?
?
lnt?
i?
(t?
1)
2
2
r
?
dt(x?
?
t)?
?
r
lntdt(t?
1)
2
2
r
?
i?
?
r
2
dt(t?
1)
2
r
由残数定理知
?
mz?
i?
2?
i?
res?
2
2?
z?
i
?
(z?
1)?
?
2
即
?
lnz?
2?
2?
i?
2?
?
(z?
i)?
?
z?
i
?
?
?
i
?
?
1?
?
2?
2?
?
0
dt(t?
1)
2
?
1
2?
?
?
?
?
?
?
1
?
?
ires?
?
2222?
t?
i(t?
1)4?
(t?
1)?
dt
令r?
0?
0
?
r?
?
?
得
?
4
lnxdx(x?
1)
2
2
?
?
(1?
z)(1?
z)
2
(14)考虑辅助函数f(z)?
-1是它的支点。
,它在z平面上是多值函数,+1,
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- 函数 第四 第五 答案
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