第四版复变函数答案2.docx
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第四版复变函数答案2
习题一解答
1.求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
(3)(3+4i)(2−5i);
1
(2)1−;
3i
(4)i8−4i21+i
(1)
;
3+2i
i1−i
2i
1=3−2i=1
(1)(3
3+2i(3+2i)(3−2i)13
−2i)
解
所以
3
1
2
Re⎧
1
⎫
⎬=,Im⎧⎫=−,
⎨
⎨⎬
⎩3+2i⎭13
⎩3+2i⎭13
2
2
1
=1(3+2i),
33
⎜⎟+⎜−⎟
13,
⎛⎞⎛
⎞
=
=
3+2i13
32i
13
13⎠13
⎝⎠⎝
⎛
1
⎞⎛
1
⎞
Arg⎜
⎟=arg⎜
⎟+2kπ
⎝3+2i⎠⎝3+2i⎠
=−arctan2+2kπ,k=0,±1,±2,
3
13i−i3i(1+i)
1
35
(2)−=−=−i−(−3+3i)=−i,
i1−ii(−i)(1−i)(1+i)222
所以
Re⎧1
3i3
⎬=,
⎫
⎨i−1−i⎭2
⎩
Im⎧1−⎬=−5
3i
⎫
⎨
⎩i1−i⎭2
⎛3⎞2⎛5⎞2
⎛
135
⎜−⎟=+i,
3i
⎞
1
34
,
−
=
⎜⎟+⎜−⎟
=
⎝i1−i⎠22
i
⎝2⎠⎝
2⎠
2
Arg⎜1−⎟=arg⎜1−⎟+2kπ
3i
3i
⎛
⎞⎛
⎞
⎝i1−i⎠⎝i1−i⎠
=−arctan5+2kπ,
k=0,±1,±2,.
3
(3)(3+4i)(2−5i)=(3+4i)(2−5i)(−2i)=(26−7i)(−2i)
(2i)(−2i)
2i
4
=−7−26i=−7−13i
2
2
所以
⎧(3+4i)(2−5i)⎫
7
⎬=−,
Re⎨
2i
2
⎩
⎭
⎧(3+4i)(2−5i)⎫
⎬=−13,
⎭
Im⎨
⎩
2i
1
3i
1−i
1
+
⎡(3+4i)(2−5i)⎤
7
⎥=−+l3i
⎢
⎣
2i
2
⎦
(3+4i)(2−5i)
529
,
=
2i
2
⎡(3+4i)(2−5i)⎤⎡(3+4i)(2−5i)⎤
26
Arg⎢
⎥=arg⎢
⎥+2kπ=2arctan−π+2kπ
2i
2i
7
⎣
⎦⎣
⎦
=arctan26+(2k−1)π,
k=0,±1,±2,.
7
(4)i8−4i21+i=(i2)4−4(i2)10i+i=(−1)4−4(−1)10i+i
=1−4i+i=1−3i
所以
Re{i8−4i21+i}=1,Im{i8−4i21+i}=−3
⎜⎛i8−4i21+i⎟⎞=1+3i,|i8−4i21+i|=
10
⎝
⎠
Arg(i8−4i21+i)=arg(i8−4i21+i)+2kπ=arg(1−3i)+2kπ
=−arctan3+2kπ
k=0,±1,±2,.
2.如果等式x+1+i(y−3)=1+i成立,试求实数x,y为何值。
5+3i
解:
由于
x+1+i(y−3)[x+1+i(y−3)](5−3i)
=
(5+3i)(5−3i)
5(x+1)+3(y−3)+i[−3(x+1)+5(y−3)]
5+3i
=
34
=1[5x+3y−4]+i(−3x+5y−18)=1+i
34
比较等式两端的实、虚部,得
⎧
5x+3y−4=34
或⎧5x+3y=38
⎨
⎨
⎩−3x+5y−18=34⎩−3x+5y=52
解得x=1,y=11。
3.证明虚单位i有这样的性质:
-i=i-1=i。
4.证明
1)|z|2=zz
6)Re(z)=1(z+z),Im(z)=1(z−z)
2
2i
2
证明:
可设z=x+iy,然后代入逐项验证。
5.对任何z,z2=|z|2是否成立?
如果是,就给出证明。
如果不是,对z那些值才成立?
解:
设z=x+iy,则要使z2=|z|2成立有
x2−y2+2ixy=x2+y2,即x2−y2=x2+y2,xy=0。
由此可得z为实数。
6.当|z|≤1时,求|zn+a|的最大值,其中n为正整数,a为复数。
iarga
解:
由于zn+a≤|z|n+|a|≤1+|a|,且当z=e时,有
n
n
arga⎞
⎛
i
|zn+a|=⎜e
=(1+a)eiarga
⎟
+|a|eiarga
n
=1+|a|
⎜
⎟
⎝
⎠
故1+|a|为所求。
8.将下列复数化成三角表示式和指数表示式。
(1)i;
(2)-1;
(3)1+3i;
(cos5ϕ+isin5ϕ)2
2i
(4)1−cosϕ+isinϕ(0≤ϕ≤π);
(5)
;
(6)
(cos3ϕ−isin3ϕ)3
−1+i
iπ
π
π
解:
(1)i=cos+isin=e2;
2
2
(2)−1=cosπ+isinπ=eiπ
iπ
⎛1
3⎞
⎛
π
3
π⎞
⎜
⎟
(3)1+i3=2+i
⎟=2e3;
⎟=2⎜cos
+isin
⎜2
2
3⎠
⎝
⎝
⎠
(4)1−cosϕ+isinϕ=2sin2ϕ+i2sinϕcosϕ=2sinϕ⎛sinϕ+icosϕ⎞
2⎜
2⎟
2
22
2
⎝
⎠
iπ−ϕ
ϕ⎛
⎜cosπ
−ϕ
+isinπ
−ϕ⎞
ϕ
e,(0≤ϕ≤π);
=2sin
⎟=2sin
⎠
2
2⎝2
2
2
⎛11⎞
2i1
(5)=2i(−1−i)=1−i=2⎜−i⎟
−1+i222
⎝
⎠
⎛
π
π⎞
=
2⎜cos
⎝
−isin
⎟
4
4⎠
−iπ
=2e
4
(cos5ϕ+isin5ϕ)2
=(ei5ϕ)2/(e−i3ϕ)3=ei10ϕ/e−i9ϕ=ei19ϕ
(6)
(cos3ϕ−isin3ϕ)3
3
=cos19ϕ+isin19ϕ
9.将下列坐标变换公式写成复数的形式:
⎧x=x+a,
1)平移公式:
11
⎨
⎩y=y1+b1;
⎧x=xcosα−ysinα,
2)旋转公式:
11
⎨
⎩y=x1sinα+y1cosα.
解:
设A=a1+ib1,z1=x1+iy1,z=x+iy,则有
iα
1)z=z1+A;2)z=z1(cosα+isinα)=z1e。
10.一个复数乘以-i,它的模与辐角有何改变?
⎛
π⎞
π
i⎜Argz−⎟
−i
解:
设复数z=|z|eiArgz,则z(−i)=|z|e
辐角减少π。
iArgz
⋅e2=|z|e⎝2⎠,可知复数的模不变,
2
11.证明:
|z+z|2+|z−z|2=2(|z|2+|z|2),并说明其几何意义。
12
12
1
2
证明:
|z+z|2+|z−z
|2
=
=
=
(z+z)(z+z)+(z−z)(z−z)
12
12
12121212
2(z1z1+z2z2)
2(|z|2+|z|2)
1
2
其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。
12.证明下列各题:
P(z)
1)任何有理分式函数R(z)=
可以化为X+iY的形式,其中X与Y为具
Q(z)
有实系数的x与y的有理分式函数;
2)如果R(z)为1)中的有理分式函数,但具有实系数,那么R(z)=X−iY;
3)如果复数a+ib是实系数方程
n
n−1
a0z+a1z++an−1z+an=0
的根,那么a−ib也是它的根。
P(z)
P(z)Q(z)
Re(P(z)Q(z))
Im(P(z)Q(z))
证1)R(z)=
=
=
+
;
Q(z)
Q(z)Q(z)
q(x,y)
q(x,y)
P(z)
P(z)
⎛P(z)⎞
2)R(z)==
=⎜
⎟=X+iY=X−iY;
Q(z)
⎝Q(z)⎠
Q(z)
3)事实上
()
n
n−1
Pz=a0z+a1z++an−1z+an
4
=a0+a1z+a2z2++anzn=P(z)
13.如果z=eit,试证明
(1)zn+1=2cosnt;
1
(2)zn−=2isinnt
zn
zn
解
(1)zn+1=eint+e−int=eint+eint=2sinnt
zn
1
(2)zn−=eint−e−int=eint−eint=2isinnt
zn
14.求下列各式的值
1
(1)(3−i)5;
(2)(1+i)6;
(4)(1−i)3
(3)6−1;
5
⎡
⎞⎤
⎛
解
(1)(
3−i)5=⎢2⎜
3−i⎟⎥
=(2e−iπ/6)5=32e−i5π/6
⎜
2⎟⎥⎦
2
⎢⎣
⎝
⎠
=32⎡cos⎛−5π⎞+isin⎛−5π⎞⎤=−163−16i
⎜⎟
⎜
⎟⎥
⎢
6
6
⎝⎠
⎝
⎠⎦
⎣
6
⎡
⎛1i⎞⎤
=(
)
6
(2)(1+i)
6
iπ/4
3πi/2
=⎢2⎜+
2e
=8e=−8i。
⎟⎥
2
2⎠⎦
⎝
⎣
1
(3)6−1=(eiπ+2kπ)6=eiπ(2k+1)/6,k=0,1,2,3,4,5。
可知6−1的6个值分别是
3+i,eiπ/2=i,eii5π/6=−
3+i
eiπ/6=
22
22
ei7π/6=−3−i,ei3π/2=−i,ei11π/4=3−i。
22
1
22
⎛
π
⎞
⎡
⎛1i⎞⎤3
1
2⎜−⎟⎥=(2e−iπ/4)3=62e⎝
1
i⎜−+2kπ⎟3
(4)(1−i)3=⎢
4
k=0,1,2。
⎠
22⎠⎦
⎝
⎣
可知(1−i)1/3的3个值分别是
π
π⎞
⎛
62e−iπ/2=62⎜cos
−isin
⎟,
12
12⎠
⎝
62ei7π/12=62⎜cos7
π
+isin7⎟,
π⎞
⎛
12
12⎠
⎝
5π
4
5π⎞
⎛
62ei5/4=62⎜cos
⎝
π
⎟。
+isin
4⎠
15.若(1+i)n=(1−i)n,试求n的值。
5
2eiπ/4)n=(2e−iπ/4)n,einπ/4=e−inπ/4,sinnπ=0,
解由题意即(
4
故n=4k,k=0,±1,±2,。
16.
(1)求方程z3+8=0的所有根
(2)求微分方程y'''+8y=0的一般解。
iπ(1+2k)
1
(1)z=(−8)3=2e3
解
,k=0,1,2。
即原方程有如下三个解:
1+i3,−2,1−i3。
(2)原方程的特征方程λ3+8=0有根λ=1+3i,λ=−2,λ=1−3i,故其
1
2
3
一般形式为
y=Ce−2x+ex(Ccos3x+Csin3x)
1
2
3
17.在平面上任意选一点z,然后在复平面上画出下列各点的位置:
−z,z,−z,1,1,−1。
zzz
z
x
−
z
z
18.已知两点z1与z2(或已知三点z1,z2,z3)问下列各点位于何处?
1
(1)z=(z1+z2)
2
(2)z=λz1+(1−λ)z2(其中λ为实数);
1
(3)z=(z1+z2+z3)。
3
解令zk=xk+iyk,k=1,2,3,则
(1)z=x1+x2+iy1+y2,知点z位于z与z连线的中点。
12
2
2
6
y
−z
1
z
o
-z
1
z
1
|z−z1|
(2)z=x2−λ(x2−x1)+i[y2−λ(y2−y1)],知点位于z1与z2连线上定比λ=
处。
|z2−z1|
(3)z=1(
1
+i
3)(1
y+y+y),由几何知识知点z位于∆zzz的重心
x+x+x
123
2
23
3
3
处。
19.设z1,z2,z3三点适合条件:
z1+z2+z3=0,
z1=z2
=z3
=1。
证明z1,z2,z3是内接于单位圆z=1的一个正三角形的顶
点。
证由于z1=z2
因为
=z3
=1,知∆z1z2z3的三个顶点均在单位圆上。
2
1=
z3
=z3z3
=[−(z1+z2)][−(z1+z2)]=z1z1+z2z2+z3z2+z1z2
=2+z1z2+z1z2
所以,z1z2+z1z2=−1,又
2
z1−z2
=(z1−z2)(z1−z2)=z1z1+z2z2−(z1z2+z2z1)
=2−(z1z2+z1z2)=3
故
z1−z2
=3,同理z1−z3
=z2−z3
=3,知∆z1z2z3是内接于单位圆z=1
的一个正三角形。
20.如果复数z1,z2,z3满足等式
z2−z1=z1−z3
z3−z1z2−z3
证明z2−z1=z3−z1=z2−z3,并说明这些等式的几何意义。
由等式得
arg(z2−z1)−arg(z3−z1)=arg(z1−z3)−arg(z2−z3)
即∠z2z1z3=∠z1z3z2。
又因为
z2−z1=(z2−z1)+(z1−z3)=z2−z3
z3−z1(z3−z1)+(z2−z3)z2−z1
又可得∠z2z1z3=∠z3z2z1,所以知∆z1z2z3是正三角形,从而
z2−z1=z3−z1=z2−z3。
7
21.指出下列各题中点z的存在范围,并作图。
(1)|z−5|=6;
(2)|z+2i|≥1;
(3)Re(z+2)=−1;(4)Re(iz)=3;
(5)|z+i|=|z−i|;(6)|z+3|+|z+1|=4
(7)Im(z)≤2;(8)
≥1;
(9)0 4 解: (1)以点z0=5为心,半径为6的圆周(见下图(a)); (2)以点z0=−2i为心,半径为1的圆周及外部(见下图(b)); (3)由于Re(z+2)=−1⇔x=−3知点z的范围是直线x=−3(见下图(c)); (4)iz=i(x−iy)=y+ix,故Re(iz)=3⇔y=3.知点z的范围是直线y=3(见下 图(d)); (5)z+i= 2 2 z−i⇔ z+i = z−i ⇔(z+i)(z−i)=(z−i)(z+i)⇔ 2 2 z −iz+iz+1= z +iz−iz+1⇔iz−iz=0⇔2Re(iz)=0⇔2y=0 ⇒y=0.知点z的范围是实轴(见下图(e)); (6)z+3+z+1=4⇔z+32=(4−z+1)2⇔x−2=−2z+1⇔(x−2)2=4z+12 2 2 (x+2)+y ⇔32+12x+4y2=0⇔ =1,即点z的范围是以(-3,0)和(-1,0) 4 3 为焦点,长半轴为2,短半轴为3的一椭圆(见下图(f)); (7)y≤2,(见下图(g));。 (8)z−3≥1⇔z−32≥z−22⇔(z−3)(z−3)≥(z−2)(z−2)⇔z2−3z−3z+9≥ 2555 z−2z−2z+4⇔z+z≤5⇔x≤.即点z的范围是直线x=以及x=为边 2 2 2 界的左半平面(见下图(h)); (9)不包含实轴上半平面(见下图(i)); (10)以i为起点的射线y=x+1,x>0(见下图(j)); 8 z−2 z−3 z−2 y y O x O i -2 x 5 (a) (b) y 3i O x (c) (d) y y 3i i x -2 z x (f) -i y (e) y y=x+1 O i x O x 5/2 (h) (j) 22.描出下列不等式所确定的区域,并指是有界的还是无界的,闭的还是开的, 单连的还是多连的。 (1)Imz>0; (3)0 (5)z−1 (2)z−1>4; (4)2≤ z≤3; (6)−1 9 (i) 2i (g) -3 (8)|z−2|+|z+2|≤6; (10)zz−(2+i)z−(2−i)z≤4。 (7)z−1<4z+1; (9)z−2−|z+2|>1; 解 (1)Imz>0 y x O 不包含实轴的上半平面,是无界的、开的单连通区域。 (2)z−1>4 y 5 O1 x 圆(z−1)2+y2=16的外部(不包括圆周),是无界的、开的多连通区域。 (3)0 y O x 由直线x=0与x=1所围成的带形区域,不包括两直线在内,是无界的、开的 单连通区域。 y (4)2≤ z≤3 O2 3 x 10 以原点为中心,2与3分别为内、外半径的圆环域,不包括圆周,是有界的、 开的多连通区域。 (5)z−1 y D -1 O x 直线x=-1右边的平面区域,不包括直线在内,是无界的、开的单连通的区域。 (6)−1 y x 由射线θ=1及θ=1+π构成的角形域,不包括两射线在内,即为一半平面,是 无界的、开的单连通区域。 2 2 (7)z−1<4z+1⇔⎛x+17⎞+y2>⎛8⎞ ⎜ 15⎟ ⎜
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