四年级容斥问题老师版.docx
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四年级容斥问题老师版
龙文教育个性化辅导授课案
教师:
吴香云学生:
常恩泰 年级:
四日期:
2014-11-16
星期:
日时段:
17:
00-20:
30 (第 1次课)
课题
容斥问题
(二)
教学目的
理解容斥问题原理(排除与包含)
教学重难点
能运用容斥原理来解决实际中的应用题
学习内容与过程
一、知识要点
在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:
先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理
二、典型例题
例题一:
四年级5班有56人,订《小学生优秀作文》的有38人,订《数学大世界》的有42人,每人至少订一种读物,问同时订阅这两种读物的学生有多少人?
例题二:
某班有42个同学在一项数学竞赛中,答对第一题的有26人,答对第二题的有34人,两题都答对的有20人。
问多少同学两题都没有答对。
例题三:
在1到100的自然数中,既不是4的倍数也不是5的倍数的数有多少个?
例题四:
四年级3班参加广播操比赛,全班排成4行,每行人数相等,常恩泰排的位置是:
从前面数第五个,从后面数第7个,问:
这个班一共有多少人?
例题五:
科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件。
问:
其他年级参展的作品共有多少件?
例题六
某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没有一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.
如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x,
则依容斥原理,有20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.
例题七
某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一个项目达到了优秀。
这部分学生达到优秀的项目、人数如下表:
求这个班的学生人数。
(全国第三届“华杯赛”复赛试题)
只有篮球一项达到优秀的有 15—6—5+2=6(人);
只有游泳一项达到优秀的有 18—6—6+2=8(人);
只有短跑一项达到优秀的有 17—6—5+2=8(人)。
获得两项或者三项优秀的有 6+6+5—2×2=13(人)。
另有4人一项都没获优秀。
所以,这个班学生人数是13+6+8+8+4=39(人)
分析:
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类或B类或C类元素个数=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
三.疑问解答
四.课后作业:
练习:
1、一个班有45名学生,订阅《小学生数学报》的有15人,订阅《今日少年报》的有10人,两种报纸都订阅的有6人。
(1)订阅报纸的总人数是多少?
(2)两种报纸都没订阅的有多少人?
2、四
(1)班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加航模小组,有19个人两个小组都参加了,那么,有多少人两个小组都没有参加?
3、有100位旅客,其中有10人既不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,83人懂俄语,问既懂英语又懂俄语的有多少人?
4、求不超过100的自然数中,不能被3、5中任何一数整除的数的个数。
5、在一次数学测验中,所有同学都答了第1、2两题,其中答对第1题的有35人,答对第2题的有28人,这两题都答对的有20人,没有人两题都答错。
一共有多少人参加了这次数学测验?
6、一个俱乐部里,会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人,都会下的有30人。
这个俱乐部里有多少人?
7、全班有50人,不会骑车的有23人,不会滑旱冰的有35人,两样都会的有5人。
问:
两样都不会的有多少人?
8、六年级
(2)班有48名学生,其中会骑自行车的有27个,会游泳的有18人,既会骑自行车又会游泳的有10人。
问两样都不会的有多少人
9、五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人,数学成绩优秀的有87人。
问:
语文、数学都优秀的有多少人?
(30
10、四年级六班有54人,订《我爱阅读》和《我爱科学》的有13人,订《我爱科学》的有45人,每人至少订一种读物,则订《我爱阅读》的有多少人?
(22)
11、五
(2)班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。
那么有多少人两个小组都没有参加?
(11)
12、在1到130的全班自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个?
13、重阳节那天,绿世界幼儿园画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是小托班的,有19幅画不是中班的,小托班和中班参展的画共有8幅。
问:
其他年级参展的画共有多少幅?
14、某校六
(1)班有学生54人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有34人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有18人,排球、游泳都参加的有14人,问:
三项都参加的有多少人?
五.学生本次课对老师的评价:
○特别满意○满意○一般○差
学生签字:
六.教师评定:
1、学生上次作业完成情况:
2、学生本次上课表现情况:
3、老师对本次课的总结:
教师签字:
主任签字_______
龙文教育教务处
2014年月日
学生:
武可馨 年级:
五日期:
2014-11-14
星期:
五时段:
18:
30-20:
00 (第 3次课)
1、跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去,第50面该插什么颜色?
2.黑珠和白珠共2000颗,按规律排列着:
○●○○○●○○○●○○……,第2000颗珠子是什么颜色的?
其中,黑珠共有多少颗?
3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。
这些同学以一端开始,按先两个女生,再一个男生的规律站立着。
这些同学中共有多少个女生?
4.如果今天是星期五,再过80天是星期几?
5.以今天为标准,算一算今年自己的生日是星期几?
6.将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列,2014出现在哪一列?
7.把自然数按下列规律排列,865排在哪一列?
8、上表中,将每列上下两个字组成一组,如第一组为(小热),第二组为(学爱)。
求第460组是什么?
9、桌子上摆了很多硬币,按一个一角,两个五角,三个一元的次序排列,一共19枚硬币.问:
最后一个是多少钱的?
第十四个是多少钱的?
10、根据下面一组数列的规律求出51是第几个数?
1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17……
11、如右图,把1~8八个号码摆成一个圆圈,现有一个小球,第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置,第二天接着按逆时针方向前进485个位置,第三天又顺时针前进329个位置,第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去,问至少经过几天,小球又回到原来的1号位置?
教案例一:
【例1】小兔和小松鼠做游戏,他们把黑、白两色小球按下面的规律排列:
●●○●●○●●○…
你知道它们所排列的这些小球中,第90个是什么球?
第100个又是什么球呢?
a)仔细观察图中球的排列,不难发现球的排列规律是:
2个黑球,1个白球;2个黑球,1个白球;……也就是按“2个黑球,1个白球”的顺序循环出现,因此,这道题的周期为3(2个黑球,1个白球).再看看90、100里包含有几个这样的周期,若正好有整数个周期,结果为周期里的最后一个,若是有整数个周期多几个,结果就为下一个周期里的第几个.因为
,正好有30个周期,第90个是白球.
…1,有33个周期还多1个,所以,第100个是黑球.
【巩固】美美有黑珠、白珠共102个,她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上,她是按下面的顺序排列的:
○●○○○●○○○●○○○……
那么你知道这串珠子中,最后一个珠子应是什么颜色吗?
美美怕这种颜色的珠子数量不够,你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗?
b)观察可以发现,这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组,并且不断重复出现的.我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组,还余多少.我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色,还可以求出有多少个这样的珠子.因为
…2,所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个,即为黑色.在每一个周期中只有1个黑珠子,所以黑色珠子在这串珠子中共有
(个)
例二针对练习
【例2】小倩有一串彩色珠子,按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列.
⑴第73颗是什么颜色的?
⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗?
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间(不包括这两颗红珠子)共有几颗珠子?
c)⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列,每一组有5颗.
(组)……3(颗),第73颗是第15组的第3颗,所以是蓝色的.
⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组,一共有
(颗)珠子.第10颗黄珠子是第l0组的第2颗,所以它是从头数的第47颗.列式:
(颗)
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子.第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组),共l0颗珠子,第8颗红珠子后面还有4颗珠子,所以是14颗.列式:
(颗).
【巩固】奥运会就要到了,京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅,这些条幅连起来就成了:
“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列,第28个字是什么字?
d)这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列,即5个字为一个周期.因为
…3,所以28个字里含有5个周期还多3个字,即第28个字就是所列一个周期中的第3个字,所以第28个字是“欢”字.
【巩固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯,小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯.那么第73盏灯是什么颜色的灯?
e)从第一盏白灯开始,每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯,不难看出白灯的编号依次是:
1,5,9,13,……,这些编号被4除所得的余数都是1.
,即73被4除的余数是1,因此第73盏灯是白灯.
例题三练习
【巩固】桌子上摆了很多硬币,按一个一角,两个五角,三个一元的次序排列,一共19枚硬币.问:
最后一个是多少钱的?
第十四个是多少钱的?
f)
…1,
…2,所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的.
【巩固】有249朵花,按5朵红花,9朵黄花,13朵绿花的顺序轮流排列,最后一朵是什么颜色的花?
这249朵花中,什么花最多,什么花最少?
最少的花比最多的花少几朵?
g)这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列,它的一个周期内有
(朵)花.因为
……6,所以,这249朵花中含有9个周期还余下6朵花.按花的排列规律,这6朵花中前5朵应是红花,最后一朵应是黄花.在这一个周期里,绿花最多,红花最少,所以在249朵花中,自然也是绿花最多,红花最少.少几朵呢?
有两种解法:
(方法1)
……6
红花有:
(朵)绿花有:
(朵)红花比绿花少:
(朵)
(方法2)
……6,一个周期少的:
(朵),
(朵),余下的6朵中还有5朵红花,所以
(朵)
例四针对练习
【巩固】在图所示的表中,将每列上、下两个字组成一组,例如第一组为(新奥),第二组为(北林),那么第50组是什么?
新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运……
奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……
要知道第50组是哪两个数,我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么.第一行“新北京新奥运”是6个字一个周期,
…2,第50个字就是北.再看第二行“奥林匹克运动会”是7个字一个周期,
…1,第50个字就是奥.把第一行和第二行合在一起,第50组就是“北奥”
例六针对练习
【巩固】根据下面一组数列的规律求出51是第几个数?
1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17……
1【解析】观察题目可知数列个位数字每九个数一组,十位数字依次增加,0~4共五个数,则可列式为:
5×9+1=46,即51为第46个数。
例七针对练习
【巩固】紧接着1989后面写一串数字,写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如,
,在9后面写2,
,在2后面写8……得到一串数字:
19892868…,问:
这串数字从1开始,往右数,第l999个数字是几?
这1999个数字的和是多少?
1【解析】⑴根据题意,写出这列数的前面部分数字:
198********868842……“286884”这6个数字重复出现,周期是6.
⑵第1999个数字是:
因为
,所以,第l999个数字是6.
⑶这1999个数字的和是:
例八针对练习
【巩固】8个队员围成一圈做传球游戏,从⑴号开始,按顺时针方向向下一个人传球.在传球的同时,按顺序报数.当报到72时,球在几号队员手上?
2【解析】将8名队员看作一组,每组报8个数,72个数可以分成几组:
组,没有余数,球正好在一组的最后一位队员手中,因此球应该在8号队员手上.
【巩固】如图,电子跳蚤每跳一步,可从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在,一只红跳蚤从标有数字.的圆圈按顺时针方向跳了1991步,落在一个圆圈里.一只黑跳蚤也从标有数字.的圆圈起跳,但它是沿着逆时针方向跳了1949步,落在另一个圆圈里.问:
这两个圆圈里数字的乘积是多少?
3【解析】解答此类问题时,只要能发现旋转周期现象,并充分加以利用,就能较快找到解题的关键.本题中,不难看出这是一个与周期性有关的问题,电子跳蚤每跳12步就回到了原来的位置,如此循环,周期为12.
⑴因为
,所以,红跳蚤跳了1991步后落到了标有数字11的圆圈.
⑵因为
,所以,黑跳蚤跳了1949步后落到了标有数字7的圆圈.
⑶所求的乘积是
.
【巩固】
如右图,把1~8八个号码摆成一个圆圈,现有一个小球,第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置,第二天接着按逆时针方向前进485个位置,第三天又顺时针前进329个位置,第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去,问至少经过几天,小球又回到原来的1号位置?
2【解析】根据题意,小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周期中,小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156(个)位置.156÷8=19……4,就是说,每个周期(2天)中,小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置.要使小球回到原来的1号位,至少应逆时针前进8个位置.8÷4=2(个)周期,2×2=4(天),所以至少要用4天,小球才又回到原来“1”号位置.
【巩固】如右图,有16把椅子摆成一个圆圈,依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个,再逆时针前进485个,又顺时针前进328个,再逆时针前进485个,又顺时针前进136个,这时他到了第几号椅子?
3【解析】这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置,由于792÷16=49…8,所以他走到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置,由于970÷16=60…10,因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子.
例九针对练习
【巩固】课外活动时,甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数.甲报“1”,乙报“2”,丙报“3”,丁报“4”,这样每人报的数总比前一个人多1.问“34”是谁报的?
“71”是谁报的?
1【解析】根据题意,甲从“1”开始报数,一共报了34次.因为是4个人在报数,所以报4次就要重复一遍,也就是说是以4为一个周期重复的.34里面有8个周期还余2次,所以“34”应是重复8遍以后第二个人报的,即乙报的.
…3,所以“71”应是第三个人报的,即丙报的.
例十针对练习
【巩固】有一个1111位数,各位数字都是1,这个数除以6,余数是几?
商的末位数字是几?
2【解析】余数出现的周期为3(1,5,3);第1个“1”上相对应的商为“0”,从第二个“1”开始,商的末位数字的周期为3(1,8,5),因为
…1,所以这个数除以6后余数的末位数字是1;因为
,所以这个数除以6后商的末尾数字是5.
例十一针对练习
【巩固】1999年的元旦是星期五,那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗?
3【解析】00、04是闰年,01、02、03、05是平年,一共度过了:
365×6+2=2192(天),2192÷7=313…1,
2005年的元旦是星期六
【巩固】小童的生日是6月27日,这一年的6月1日是星期六,小童的生日是星期几呢?
4【解析】从日历上可以看到,每个星期有7天,就是以7天为一个周期不断地重复.6月1日是星期六,那么再过7天,即6月8日,还是星期六;如果再过14天,即6月15日,还是星期六,所以要知道6月27日是星期几,首先要求出6月27日是6月1日后的第几天,
(天);因为每个星期都是7天,也就是周期为7,所以
(星期)…5(天).这样,从6月1日开始经过3个星期,最后一天是星期六,从这最后一天再过5天就是星期四.
【巩固】今天是星期三,那么从明天起第365天是星期几?
5【解析】题中所说的第365天,不包括今天在内,是说“从今天之后的第365天”.
(星期)…1(天),所以,从明天起,到第365天是星期三.
【巩固】2002年的6月1日是星期六,那么这一年的10月1日是星期几呢?
6【解析】我们只要算出6月1日到10月1日要经过多少天,然后按照7天为一个周期,运用周期变化规律解答.由于6月1日与10月1日这两个日子不在同一个月里,就要考虑经过月份是什么月?
一共有多少天?
因为6月有30天,7月有31天,8月有31天,9月有30天,所以6月1日到10月1日要经过的天数:
(天),
…4,这个周期从周六开始,那么第4天正好是星期二.
【巩固】2008年3月3号是星期一,算一算2008年8月8号奥运会开幕是星期几?
7【解析】首先我们应该算出2008年3月3号到8月8号一共有多少天,
(天).按照7天为一个周期,
…5,这个周期的第一天是星期一,那么第五天就应该是星期五,所以2008年8月8号奥运会开幕是星期五.
【巩固】2008年的“六·一”儿童节是星期日,2008年的“十·一”是星期几?
8【解析】
(天)
…4,这个周期从周日开始,那么第4天正好是星期三.
【巩固】1998年元旦是星期五,l999年元旦是星期几?
2000年元旦是星期几?
2001年元旦是星期几?
9【解析】l998年是平年,1998年元旦到l999年元旦共365天.
,即l998年元旦到1999年元旦要经过52个星期又l天,1998年元旦是星期五,经过52个星期还是星期五,再经过1天便是星期六,因此l999年元旦是星期六.1999年元旦到2000年元旦也是365天,也要经过52周又l天,故2000年元旦是星期日.因为2000年是闰年,2月份有29天,故2000年元旦到2001年元旦共366天,
,2000年元旦是星期日,经过52周还是星期日,再过2天便是星期二,即2001年元旦是星期二.
【思路导航】这列数按每8个数一组有规律排列着。
2025是这一列数中的第1013个数,1013÷8=126……5.即2025是这列数中第127组的第5个数,所以它所在的那一列是以字母D为代表的。
练习3:
1.2002年1月1日是星期二,2002年的六月一日是星期几?
练习5:
1.444……4[100个4]÷3当商是整数时,余数是几?
2.444……4[100个4]÷6当商是整数时,余数是几?
3.111……1[1000个1]÷7当商是整数时,余数是几?
2.有一串珠子,按4个红的,3个白的,2个黑的顺序重复排列,第160个是什么颜色?
3.1/7=0.142857142857……,小数点后面第100个数字是多少?
练习2:
1.有68面彩旗,按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着,这些彩旗中,红旗占黄旗的几分之几?
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- 四年级 问题 老师