成人教育常微分方程复习题及参考答案.doc
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成人教育常微分方程复习题及参考答案.doc
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山东师范大学成人高等教育《常微分方程》课程
复习题A
参考答案在试卷后(7月无纸化考试)
一、单项选择题(每小题5分,共20分)
1.一阶线性微分方程(其中是连续函数)的积分因子是()
(A)(B)(C)(D)
2.用待定系数法求方程的特解,应设为()
(A)(B)(C)(D)
3.已知是某一个三阶齐次线性方程的解,则的朗斯基行列式()。
(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.
4.下列方程中是线性方程的是().
(A);(B);(C);(D).
二、填空题(每小题10分,共30分)
1.二阶线性方程的基本解组是
2.一阶微分方程满足解的存在唯一性的区域是
3.设.根据解的存在唯一性定理,如下初值问题
在上所确定的解的存在区间为.
三、计算题(每小题10分,共30分)
求下列方程或方程组的通解
1.
2.
3.
四、判定题(每小题10分,共10分)
判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性
五、证明题(每小题10分,共10分)
设和在平面内连续,和是任意给定的值,,其中.试证如下初值问题解的存在区间为
山东师范大学成人高等教育《常微分方程》课程
复习题A答案
六、单项选择题(每小题5分,共20分)
1.(A)
2.(C)
3.(B)。
4.(C).
七、填空题(每小题10分,共30分)
3.
4.
3..
八、计算题(每小题10分,共30分)
求下列方程或方程组的通解
1.
解时,方程两边同除,得
5分
两边积分,得通解为9分
时,,也是方程的解。
10分
2.
解令,则方程变为
5分
解之,得
及
从而方程的解为
及10分
3.
解从第2个方程得
5分
代入第一个方程,得
解之,得
故方程通解为,10分
九、判定题(每小题10分,共10分)
判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性
答案:
稳定结点
十、证明题(每小题10分,共10分)
设和在平面内连续,和是任意给定的值,,其中.试证如下初值问题解的存在区间为
证明显见方程有常数解。
3分
因为和在平面内连续,所以方程满足解的存在唯一性定理的条件,故方程过的解存在且唯一。
4分
由于,所以方程过点的解向左右延展时不能与解相交,又要延展到无穷远,所以解的存在区间为。
3分
山东师范大学成人高等教育《常微分方程》课程
复习题B
十一、单项选择题(每小题5分,共20分)
1.一阶线性微分方程(其中是连续函数)的积分因子是()
(A)(B)(C)(D)
2.用待定系数法求方程的特解,应设为()
(A)(B)(C)(D)
3.已知是某一个三阶齐次线性方程的解,则的朗斯基行列式()。
(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.
4.下列方程中是既是线性方程同时又是齐次方程的是().
(A);(B);(C);(D).
十二、填空题(每小题10分,共30分)
5.二阶线性方程的基本解组是
6.一阶微分方程满足解的存在唯一性的区域是
3.设.根据解的存在唯一性定理,如下初值问题
在上所确定的解的存在区间为.
十三、计算题(每小题10分,共30分)
求下列方程或方程组的通解
1.
2.
3.试求方程组的基解矩阵
十四、判定题(每小题10分,共10分)
判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性
十五、证明题(每小题10分,共10分)
设和在平面内连续,和是任意给定的值,.试证如下初值问题解的存在区间为
山东师范大学成人高等教育《常微分方程》课程
复习题B答案
十六、单项选择题(每小题5分,共20分)
1.(C)
2.(B)
3.(B)。
4.(D).
十七、填空题(每小题10分,共30分)
7.
8.
3..
十八、计算题(每小题10分,共30分)
求下列方程或方程组的通解
1.
解时,方程两边同除,得
5分
两边积分,得通解为9分
时,,也是方程的解。
10分
2.
解:
齐线性方程的特征方程为,
,故通解为(3分)
是特征根,所以方程有解形如(5分)
把代回原方程
(8分)
于是原方程通解为(10分)
9.试求方程组的基解矩阵
解特征方程为
由此得特征值(4分)
由,或 得
对应于的特征向量(6分)
由,或 得
对应于的特征向量(8分)
对应的两个线形无关的特征向量为
(10分)
十九、判定题(每小题10分,共10分)
判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性
答案:
稳定结点
二十、证明题(每小题10分,共10分)
设和在平面内连续,和是任意给定的值,.试证如下初值问题解的存在区间为
证明显见方程有常数解。
3分
因为和在平面内连续,所以方程满足解的存在唯一性定理的条件,故方程过的解存在且唯一。
4分
由于,所以方程过点的解向左右延展时不能与解相交,又要延展到无穷远,所以解的存在区间为。
3分
常微分方程复习题
二十一、计算题(每小题10分,共30分)
求下列方程或方程组的通解
1.
解由一阶线性非齐次方程的求解公式,得
10分
2.(答案:
化为恰当方程或一阶线性方程)
解时,方程两边同除,得
两边积分,得通解为
时,,也是方程的解。
3.(答案:
先求第二个方程的解,代入第一个方程再求解)
解由第2个方程,得
代入第1个方程,得
解之,得
4.
答案:
5.
答案:
6.
解从第2个方程,得
5分
代入第1个方程,得
解之,得
二十二、判定题(每小题10分,共10分)
1.判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性
答案:
稳定结点
2.判断如下线性系统的奇点类型及其稳定性
答案:
不稳定焦点
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