函数的周期性奇偶性对称性经典小题练含答案.docx
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函数的周期性奇偶性对称性经典小题练含答案
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函数的周期性练习题
一.选择题(共
15小题)
1.定义在
R上的函数
f(x)满足
f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2)
且x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+
,则
f(log220)=(
)
A.1
B.
C.﹣1D.﹣
2.设偶函数
f(x)对任意
x∈R,都有
f(x+3)=﹣
,且当
x∈[﹣3,
﹣2]时,f(x)=4x,则
f(107.5)=(
)A.10B.
C.﹣10
D.﹣
3.设偶函数
f(x)对任意
x∈R都有
f(x)=﹣
且当
x∈[﹣3,﹣
2]时
f(x)=4x,则
f(119.5)=(
)A.10B.﹣10
C.
D.﹣
4.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f
(1)=1,f
(2)=3,则f
(8)﹣f(4)的值为()A.﹣1B.1C.﹣2D.2
5.已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,当x∈(0,2]时,f(x)
x
=2+log2x,则f(2015)=()A.﹣2B.C.2D.5
6.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,如图表示该函数在区间
(﹣2,1]上的图象,则f(2014)+f(2015)=()
A.3B.2C.1D.0
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足:
,当2≤x≤3,f(x)=x,则f(5.5)
=
(
)A.5.5B.﹣5.5
C.﹣2.5
D.2.5
8.奇函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=3x+,
则f(log3)
(
)
A
.﹣
.﹣
.
D
.
2
54=
2B
C
9.定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)+f(x)=0,且周期是4,若f
(1)
=5,则f(2015)()A.5B.﹣5C.0D.3
10.f(x)对于任意实数x满足条件
f(x+2)=
,若
f
(1)=﹣5,则
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f(f(5))=()A.﹣5B.C.D.5
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=f(x﹣5),且0≤x≤5时,
f(x)=4﹣x,则f(1003)=()A.﹣1B.0C.1D.2
2
﹣x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为()
A.6B.7C.8D.9
13.已知函数f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实
数x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(2014)
+f(﹣2015)+f(2016)的值为()A.﹣1B.﹣2C.2D.1
14.已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)
=|2x2﹣4x+1|,则方程
f(x)=
在[﹣3,4]解的个数(
)A.4B.8C.9
D.10
15.已知最小正周期为2的函数f(x)在区间[﹣1,1]上的解析式是f(x)=x2,则函数f(x)在实数集R上的图象与函数y=g(x)=|log5x|的图象的交点的
个数是()A.3B.4C.5D.6
二.填空题(共
10小题)
16.已知定义在R上的函数f(x),满足f
(1)=,且对任意的x都有
f(x+3)=
,则f(2014)=
.
17.若y=f(x)是定义在R上周期为2的周期函数,且f(x)是偶函数,
当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,则函数g(x)=f(x)﹣log5|x|的零点个数
为.
则
18.定义在R上的函数
f(2013)的值为
19.定义在R上的函数
f(x)满足f(x)=,
.
f(x)的图象关于点(﹣,0)对称,且满足f(x)
=﹣f(x+),f
(1)=1,f(0)=﹣2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+⋯+f(2010)
的值为=
.
20.定义在
R上的函数
f(x)满足:
,当
x∈(0,4)
时,f(x)=x2﹣1,则f(2011)=.
21.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当﹣3≤x<﹣1时,f(x)=﹣(x+2)2,当﹣1≤x<3时,f(x)=x.则
f
(1)+f
(2)+f(3)+⋯+f(2012)=.
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22.若函数f(x)是周期为5的奇函数,且满足f
(1)=1,f
(2)=2,则f
(8)﹣f(14)=.
23.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f
(2)>1,f(2014)
=,则实数a的取值范围是.
24.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),则
=
.
25.若f(x+2)=,则f(+2)?
f(﹣14)
=.
一.选择题(共15小题)
1.【解答】解:
∵定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),
∴函数f(x)为奇函数
又∵f(x﹣2)=f(x+2)
∴函数f(x)为周期为4是周期函数
又∵log232>log220>log216
∴4<log220<5
∴f(log220)=f(log220﹣4)=f(log2)=﹣f(﹣log2)=﹣f(log2)
又∵x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+,
∴f(log2)=1
故f(log220)=﹣1
故选C
2.【解答】解:
因为f(x+3)=﹣
,故有(f
x+6)=﹣
=﹣
=f
(x).函数f(x)是以6为周期的函数.
f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=﹣
=﹣
=﹣
=.
故选B
3.【解答】解:
∵函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=﹣
,
∴f(x+3)=﹣
,
则f(x+6)=f(x),
即函数f(x)的周期为6,
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∴f(119.5)=f(20×6﹣0.5)=f(﹣0.5)=﹣=﹣,
又∵偶函数f(x),
当x∈[﹣3,﹣2]时,有f(x)=4x,
∴f(119.5)=﹣=﹣=﹣=.故选:
C.
4.【解答】解:
f(x)是R上周期为5的奇函数,f(﹣x)=﹣f(x),
∵f
(1)=﹣f(﹣1),可得f(﹣1)=﹣f
(1)=﹣1,因为f
(2)=﹣f
(2),可得f(﹣2)=﹣f
(2)=﹣3,
∴f(8)=f(8﹣5)=f(3)=f(3﹣5)=f(﹣2)=﹣3,
f(4)=f(4﹣5)=f(﹣1)=﹣1,
∴f(8)﹣f(4)=﹣3﹣(﹣1)=﹣2,故选C;
5.【解答】解:
∵f(x)的周期为4,2015=4×504﹣1,
∴f(2015)=f(﹣1),
又f(x)是定义在R上的奇函数,
1
所以f(2015)=﹣f
(1)=﹣2﹣log21=﹣2,故选:
A.
∵f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,∴f(2014)+f(2015)=f
(1)+f(﹣1)=1+2=3,
故选:
A
7.【解答】解:
∵,∴==f
(x)
∴f(x+4)=f(x),即函数f(x)的一个周期为4
∴f(5.5)=f(1.5+4)=f(1.5)
∵f(x)是定义在R上的偶函数
∴f(5.5)=f(1.5)=f(﹣1.5)=f(﹣1.5+4)=f(2.5)
∵当2≤x≤3,f(x)=x
∴f(2.5)=2.5
∴f(5.5)=2.5故选D
8.【解答】解:
∵f[(x+2)+2]=﹣f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的奇函数,
又
∵
,
∵,∴,
∴f(log354)=﹣2,故选:
A.
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所以
f(2015)=f(504×4﹣1)=f(﹣1)=﹣f
(1)=﹣5
9.【解答】解:
在R
上的函数f(x)满足f
(﹣x)+f(x)=0
则:
f(﹣x)=﹣f(x)
所以函数是奇函数
由于函数周期是4,
故选:
B
10.【解答】解:
∵f(x+2)=
∴f(x+2+2)=
=f(x)
∴f(x)是以4为周期的函数
∴f(5)=f(1+4)=f
(1)=﹣5
f(f(5))=f(﹣5)=f(﹣5+4)=f(﹣1)
又∵f(﹣1)=
=
=﹣
∴f(f(5))=﹣
故选B
11.【解答】解:
∵f(x+5)=f(x﹣5),
∴f(x+10)=f(x),则函数f(x)是周期为
10的周期函数,
则f(1003)=f(1000+3)=f(3)=4﹣3=1,
故选:
C.
12.【解答】解:
当0≤x<2时,f(x)=x2﹣x=0解得x=0或x=1,
因为f(x)是R上最小正周期为
2的周期函数,
故f(x)=0在区间[0,6)上解的个数为6,
又因为f(6)=f(0)=0,故f(x)=0在区间[0,6]上解的个数为
7,
即函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为7,故选:
B.
13.【解答】解:
∵f(x+2)=f(x),∴f(2014)=f(2016)=f(0)=log21=0,
∵f(x)为R上的奇函数,∴f(﹣2015)=﹣f(2015)=﹣f
(1)=﹣1.
∴f(2014)+f(﹣2015)+f(2016)=0﹣1+0=﹣1.故选A.
14.【解答】解:
由题意知,f(x)是定义在R上且周期为3的函数,
当x∈[0,3)时,f(x)=|2x2﹣4x+1|,
在同一坐标系中画出函数f(x)与y=的图象如下图:
由图象可知:
函数y=f(x)与y=在区间[﹣3,4]上有10个交点(互不相同),
所以方程f(x)=在[﹣3,4]解的个数是10个,故选:
D.
15.【解答】解:
∵函数f(x)的最小正周期为2,
∴f(x+2)=f(x),
∵f(x)=x2,y=g(x)=|log5x|
∴作图如下:
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∴函数f(x)在实数集R上的图象与函数y=g(x)=|log5x|的图象的交点的个数为5,故选:
C
二.填空题(共10小题)
16.【解答】解:
∵对任意的x都有f(x+3)=,
∴f(x+6)==f(x),
∴函数f(x)为周期函数,且周期T=6,
∴f(2014)=f(335×6+4)=f(4)
=f(1+3)==﹣5故答案为:
﹣5
17【解答】解:
当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,函数y=f(x)的周期为2,
x∈[﹣1,0]时,f(x)=2﹣x﹣1,可作出函数的图象;图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|.函数y=g(x)的零点,即为函数图象交点横坐标,
当x>5时,y=log5|x|>1,此时函数图象无交点,如图:
又两函数在x>0上有4个交点,由对称性知它们在x<0上也有4个交点,且它们关于直线y轴对称,
可得函数g(x)=f(x)﹣log5|x|的零点个数为8;故答案为8;
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18.【解答】解:
由分段函数可知,当x>0时,f(x)=f(x﹣1)﹣f(x﹣2),
∴f(x+1)=f(x)﹣f(x﹣1)=f(x﹣1)﹣f(x﹣2)﹣f(x﹣1),
∴f(x+1)=﹣f(x﹣2),
即f(x+3)=﹣f(x),
∴f(x+6)=f(x),即当x>0时,函数的周期是6.
∴f(2013)=f(335×6+3)=f(3)=﹣f(0)=﹣log2(8﹣0)=﹣log28=﹣3,
故答案为:
﹣3.
19.【解答】解:
由f(x)=﹣f(x+)得f(x+3)=f[(x+)+]=﹣f(x+)
=f
由
(x).所以可得f(x)是最小正周期T=3的周期函数;
f(x)的图象关于点(,0)对称,知(x,y)的对称点是(﹣
﹣x,﹣
y).即若
y=f
(x),则必﹣y=f
(﹣﹣x),或
y=﹣f
(﹣﹣x).
而已知
f
(x)=﹣f
(x+
),故
f
(﹣﹣x)=f
(x+
),
今以x代x+,得f(﹣x)=f(x),故知f(x)又是R上的偶函数.
于是有:
f
(1)=f(﹣1)=1;f
(2)=f(2﹣3)=f(﹣1)=1;f(3)=f(0+3)=f(0)=﹣2;
∴f
(1)+f
(2)+f(3)=0,以下每连续3项之和为0.
而2010=3×670,于是f(2010)=0;
故答案为0.
20.【解答】解:
由题意知,定义在R上的函数f(x)有,
则令x=x+2代入得,∴f(x+4)===f(x),
∴函数f(x)是周期函数且T=4,
∴f(2011)=f(4×502+3)=f(3),
2
∵当x∈(0,4)时,f(x)=x﹣1,∴f(3)=8.即f(2011)=8.故答案为:
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21.【解答】解:
∵当﹣3≤x<﹣1时,f(x)=﹣(x+2)2,
∴f(﹣3)=﹣1,f(﹣2)=0,∵当﹣1≤x<3时,f(x)=x,
∴f(﹣1)=﹣1,f(0)=0,f
(1)=1,f
(2)=2,
又∵f(x+6)=f(x).
故f(3)=﹣1,f(4)=0,f(5)=﹣1,f(6)=0,又∵2012=335×6+2,
故f
(1)+f
(2)+f(3)+⋯+f(2012)=335×[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f
(1)+f
(2)=335+1+2=338,故答案为:
338
22.【解答】解:
由题意可得,f(8)=f(8﹣10)=f(﹣2)=﹣f
(2)=﹣2,f(14)=f(14﹣15)=f(﹣1)=﹣f
(1)=﹣1,
故有f(8)﹣f(14)=﹣2﹣(﹣1)=﹣1,故答案为﹣1.
23.【解答】解:
解:
由f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,
则f(x+3)=f(x),f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(2014)=f(3×672﹣2)=f(﹣2)=﹣f
(2),又f
(2)>1,
∴f(2014)<﹣1,
即<﹣1,即为<0,
即有(3a﹣2)(a+1)<0,解得,﹣1<a<,故答案为:
.
24.【解答】解:
∵f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),
∴
=f(﹣
)=﹣f()=﹣2×(1﹣
)=﹣,故答案为:
﹣
.
25.【解答】解:
由题意可得
f(
+2)=sin
=sin(6π﹣)=﹣sin=﹣,
同理可得f(﹣14)=f(﹣16+2)=log216=4,
∴f(+2)?
f(﹣14)=﹣×4=,故答案为:
三.解答题(共5小题)
26.【解答】
(1)证明:
∵f(x+2)=﹣f(x),
∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),
∴f(x)是周期为4的周期函数;
(2)解:
当x∈[﹣2,0]时,﹣x∈[0,2],
由已知得f(﹣x)=2(﹣x)﹣(﹣x)2=﹣2x﹣x2,
又f(x)是奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x)=﹣2x﹣x2,
∴f(x)=x2+2x,
又当x∈[2,4]时,x﹣4∈[﹣2,0],
∴f(x﹣4)=(x﹣4)2+2(x﹣4),
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(x)=f(x﹣4)=(x﹣4)2+2(x﹣4)=x2﹣6x+8,
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从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2﹣6x+8;
(3)解:
f(0)=0,f
(2)=0,f
(1)=1,f(3)=﹣1,
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=⋯=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=0.
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+⋯+f(2004)=0+f(2004)=0.
27.【解答】解:
(1)当x∈[﹣1,0]时,﹣x∈[0,1],又f(x)是偶函数
则,x∈[﹣1,0].
(2)
,
∵1﹣log32∈[0,1],
∴,
即.
28.【解答】解:
(1)令x∈[﹣1,0),则﹣x∈(0,1],
∴f(﹣x)=2﹣x﹣1.
又∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),
﹣x
∴﹣f(x)=f(﹣x)=2﹣1,
∴.
(2)∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数,
∴,
∴
,
∴.
29.【解答】解:
∵函数f(x)的周期为3,
∴f(﹣2014)=f(﹣671×3﹣1)=f(﹣1),
∵函数f(x)是奇函数,
∴f(﹣1)=﹣f
(1)=﹣(12﹣1+2)=﹣2,
∴f(﹣2014)=﹣2.
30.【解答】解;
(1)因为奇函数f(x)的定义域为R,周期为2,
所以f(﹣1)=f(﹣1+2)=f
(1),且f(﹣1)=﹣f
(1),于是f(﹣1)=0.⋯(2分)
当x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1),f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(2﹣x+2x)=﹣2x﹣2﹣x.⋯(5分)
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所以(fx)在[﹣1,0)上的解析式为⋯
(7分)
(2)f(x)在(﹣2,﹣1)上是单调增函数.⋯(9分)先讨论f(x)在(0,1)上的单调性.
设0<x1<x2<1,
则
因为0<x1<x2<1,所以,于是
,
从而f(x1)﹣f(x2)<0,所以f(x)在(0,1)上是单调增函数.⋯(12分)因为f(x)的周期为2,所以f(x)在(﹣2,﹣1)上亦为单调增函数.⋯(14分)
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