必修二空间几何体的三视图附规范标准答案.docx
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必修二空间几何体的三视图附规范标准答案
空间几何体的三视图
[学习目标]1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型.
知识点一投影的概念及分类
1.投影的定义由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影其中,我们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面.
2.投影的分类
3.当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行投影都具有下述性质:
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段;
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线;③平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长;④与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等;⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
知识点二三视图的概念及特征
1.定义:
光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的正视图;光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的侧视图;光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视
图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图,三视图是正投影.
2.基本特征:
一个几何体的侧视图和正视图高度一样,俯视图与正视图长度一样,侧视图与俯视图宽度一样.
思考画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗?
答是.由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直
题型一中心投影与平行投影
例1下列说法中:
①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中心投影后,直线还是直线,但平行线可能变成了相交的直线;③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确的个数为()
A.0B.1C.2D.3
答案B
解析由平行投影和中心投影的定义可知①正确;空间图形经过中心投影后,直线可能变成直线,也可能变成一个点,如当投影中心在直线上时,投影为点;平行线有可能变成相交线,如照片中由近到远物体之间的距离越来越近,最后相交于一点,②不正确;两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线,③不正确.
跟踪训练1已知△ABC,选定的投影面与△ABC所在平面平行,则经过中心投影后所得的
△A′B′C′与△ABC()
A.全等B.相似
C.不相似
D.以上都不对
答案B
解析本题主要考查对中心投影的理解.根据题意画出图形,如图所示
由图易得OOAA′=A′ABB′=OOBB′B′C′OC′A′C′
,则△ABC∽△A′B′C′.
题型二画空间几何体的三视图
例2如图是按不同方式放置的同一个圆柱,阴影面为正面,画出其三视图
解三视图分别如图所示
跟踪训练2螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体,如图,画出它的三视图
解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,
正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆
柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合).
三视图如图所示.
题型三由三视图还原空间几何体
例3根据以下三视图想象物体原形,并画出物体的实物草图
解
(1)此几何体上面可以为圆柱,下面可以为圆台,所以实物草图可以如图
(2)此几何体上面可以为圆锥,
反思与感悟由三视图还原空间几何体的步骤:
跟踪训练3已知如下三视图,试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图
解由三视图可知该几何体为四棱锥,对应空间几何体如图:
例4某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为a的线段,
在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为6和b的线段,求a2+b2的值.
分析本题考查某几何体的一条棱长和它在三视图中的投影长的关系,这种关系比较抽象,不易理解,我们可以结合长方体的体对角线在三个面上的投影来理解这个问题
解如图所示,设长方体的长、宽、高分别为m,n,k,体对角线长为7,体对角线在三
个相邻面上的投影长分别为a,6,b.
则由题意,得m2+n2+k2=7,
n2+k2=6,解得m=1或m=-1(舍去),
k2+1=a,
n2+1=b,
所以(a2-1)+(b2-1)=6,即a2+b2=8.
a,b集
解后反思本题主要是根据题意利用数形结合思想构造一个长方体,通过长方体把中在方程中求解.
画出所给几何体的三视图
例5画出如图所示物体的三视图
分析首先正视图与侧视图的高要相等,其次侧视图的宽与俯视图的宽一致解该几何体的三视图如图所示:
解后反思本例的侧视图中有一条看不到的棱,在绘图时应用虚线,常见错误是将此虚线误绘成实线,这一点在绘制三视图时尤其要重视
1.一条直线在平面上的平行投影是()
A.直线B.点
C.射线D.直线、射线或点
2.若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是带圆心的圆,则这个几何体可能是()
A.圆柱B.三棱柱C.圆锥D.球体
3.
()
将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为
4.如图所示,正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的正视图是边长为4的正
D.16
A.83B.43C.235.有一个正三棱柱(俯视图为正三角形
)的三视图如图所示,则这个三棱柱的高和底面边长分
别为
、选择题
1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是
A.棱柱B.棱台
2.
()
某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是
A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱
3.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为()
4.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为()
5.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩
形,则该正方体的正视图的面积等于()
A.
B.1
C.2+1
C.2
D.2
6.一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是()
B.2
二、填空题
A.1
C.3
D.2
(填
正视图”“侧视图”或“俯视图”
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D
A1B1C1D1内一动点,则三棱锥P-
8.如图所示,桌面上放着一个半球,则它的三视图中,与其他两个视图不同的是
ABC的正视图与侧视图的面积的比值为
10.已知一几何体的三视图如下,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何体
上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何体
(或图形)的4个顶点,这些几何体(或图形)
.(写出所有正确结论的编号)
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
3有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体;
4每个面都是等腰三角形的四面体;
5每个面都是直角三角形的四面体
11.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到
的最大球的半径等于.
三、解答题
12.如图是一个几何体的正视图和俯视图
(1)试判断该几何体是什么几何体;
(2)画出其侧视图,并求该平面图形(侧视图)的面积.
13.一个物体由几块相同的正方体组成,其三视图如图所示,试据图回答下列问题:
(1)该物体有多少层?
(2)该物体的最高部分位于哪里?
(3)该物体一共由几个小正方体构成?
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1.答案D
解析当直线与投影线平行时,投影是一个点;当直线与投影线垂直时,投影是一条直线;当直线与投影线相交,但不垂直时,投影是一条射线.
2.答案C解析由圆锥的三视图可知这个几何体可能是圆锥.
3.答案D
解析从左往右看,主体的轮廓是一个长方形,长方体的对角线可以看见,且该对角线是从左下角往右上角倾斜的.
4.答案A
解析由正视图可知三棱柱的高为4,底面边长为4,所以底面正三角形的高为23,所以侧视图的面积为4×23=83.故选A.
5.答案2,4
解析由正三棱柱三视图中的数据,知三棱柱的高为
2
2,底面边长为23×3=4.
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一、选择题
1.答案D解析先观察俯视图,再结合正视图和侧视图还原空间几何体.
由俯视图是圆环可排除A,B,由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C,故选D.
2.答案A
解析由三视图知识,知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形,而圆柱的正视图不可能为三角形,故选A.
3.答案C
解析正视图中小长方形在左上方,对应俯视图应该在左侧,排除B、D,侧视图中小长方
形在右上方,排除A,故选C.
4.答案D
解析由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体的底面为半圆和等腰三角形,其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形.
5.答案D
解析正方体的侧视图面积为2,正视图和侧视图完全相同,所以面积也为2.
6.答案B
解析几何体俯视图的轮廓是矩形,几何体的上部的棱都是可见线段,所以C,D不正确;
几何体的最上面的棱与正视图方向垂直,所以A不正确.
7.答案C
解析由三视图可知,该几何体是由一个正方体切掉部分后留下的一个四棱锥.如图所示,
所以最长的棱长为12+12+12=3.
、填空题
8.答案俯视图
解析该半球的正视图与侧视图均为半圆,而俯视图是一个圆,所以俯视图与其他两个视图不同.
9.答案1
解析依题意得三棱锥P-ABC的正视图与侧视图分别是一个三角形,且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长,底边上的高也都等于正方体的棱长,因此三棱锥P-ABC的正视图与侧视图的面积的比值为1.
10.答案①③④⑤
解析由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体
.故①可能,如图,由图可知,②不可
能,
11.答案2
解析由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图、侧视图、俯视图的内切圆最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图中直角三角形的内切圆的半径r.
由题意,得8-r+6-r=82+62.解得r=2.
三、解答题
12.
.
(2)该几何体的
解
(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体可以是一个正六棱锥侧视图如图所示:
BC=3a,AD
其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的长是俯视图中正六边形对边间的距离,即
13
是正棱锥的高,则AD=3a.所以该平面图形(侧视图)的面积为12×3a×3a=32a2.
13.解
(1)该物体一共有两层,从正视图和侧视图都可以看出来.
(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排.
(3)从侧视图及俯视图可以看出,该物体前后一共三排,第一排左侧2个,右侧1个;第二
排左侧2个,右侧没有;第三排左侧1个,右侧1个.该物体一共由7个小正方体构成.
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