精校Word版含答案江苏省苏州市届高三上学期期末考试 数学.docx
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精校Word版含答案江苏省苏州市届高三上学期期末考试数学
2019届高三模拟考试试卷
数学
(满分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合A={1,3,5},B={3,4},则集合A∩B= W.
2.复数z=(i为虚数单位)的虚部是 W.
3.某班级50名学生某次数学考试成绩(单位:
分)的频率分布直方图如图所示,则成绩在60~80分的学生人数是 W.
4.连续抛掷一颗骰子2次,则掷出的点数之和为8的概率为 W.
5.已知3sin(α-π)=cosα,则tan(π-α)的值是 W.
6.如图所示的流程图中,若输入的a,b分别为4,3,则输出n的值为 W.
7.在平面直角坐标系xOy中,中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(-3,1),则该双曲线的离心率为 W.
8.曲线y=x+2ex在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 W.
9.如图,某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体,该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆,顶点在半球面上,则被挖去的正三棱锥体积为 W.
10.在平面直角坐标系xOy中,过点A(1,3),B(4,6),且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为 W.
11.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=,则= W.
12.设函数f(x)=若方程f(x)-kx=3有三个相异的实根,则实数k的取值范围是 W.
13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,M,N分别是边BC,CD上的两个动点,且BM+DN=MN,则·的最小值是 W.
14.设函数f(x)=,若对任意x1∈(-∞,0),总存在x2∈[2,+∞),使得f(x2)≤f(x1),则实数a的取值范围是 W.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥BC,E,F分别是A1C1,BC的中点.求证:
(1)平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)C1F∥平面ABE.
16.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知2bccosA=2c-a.
(1)求角B的大小;
(2)设函数f(x)=cosx·sin(x+-),求f(A)的最大值.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知焦点在x轴上,离心率为的椭圆E的左顶点为A,点A到右准线的距离为6.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点A且斜率为的直线与椭圆E交于点B,过点B与右焦点F的直线交椭圆E于点M,求点M的坐标.
18.(本小题满分16分)
如图,长途车站P与地铁站O的距离为千米,从地铁站O出发有两条道路l1,l2,经测量,l1,l2的夹角为45°,OP与l1的夹角θ满足tanθ=(其中0<θ<),现要经过P修一条直路分别与道路l1,l2交汇于A,B两点,并在A,B处设立公共自行车停放点.
(1)已知修建道路PA,PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米,若两段道路的总造价相等,求此时点A,B之间的距离;
(2)考虑环境因素,需要对OA,OB段道路进行翻修,OA,OB段的翻修单价分别为n元/千米和2n元/千米,要使两段道路的翻修总价最少,试确定A,B点的位置.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=ax3+bx2-4a(a,b∈R).
(1)当a=b=1时,求f(x)的单调增区间;
(2)当a≠0时,若函数f(x)恰有两个不同的零点,求的值;
(3)当a=0时,若f(x) 20.(本小题满分16分) 定义: 对于任意n∈N*,xn+xn+2-xn+1仍为数列{xn}中的项,则称数列{xn}为“回归数列”. (1)已知an=2n(n∈N*),判断数列{an}是否为“回归数列”,并说明理由; (2)若数列{bn}为“回归数列”,b3=3,b9=9,且对于任意n∈N*,均有bn ①求数列{bn}的通项公式; ②求所有的正整数s,t,使得等式=bt成立. 2019届高三模拟考试试卷(四) 数学附加题(满分40分,考试时间30分钟) 21.【选做题】在A,B,C三小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修42: 矩阵与变换) 已知矩阵M=的逆矩阵M-1=,求实数m,n的值. B.(选修44: 坐标系与参数方程) 在极坐标系中,圆C的方程是ρ=4cosθ.在以极点为原点,极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系中,直线l的参数方程是(t为参数).若直线l与圆C相切,求实数m的值. C.(选修45: 不等式选讲) 设a,b,c都是正数,求证: ++≥(a+b+c). 【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 22.已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2,从其五个顶点中任取三个,记这三个顶点围成的三角形的面积为ξ. (1)求概率P(ξ=2); (2)求ξ的分布列和数学期望. 23.如图,在四棱锥PABCD中,已知底面ABCD是边长为1的正方形,侧面PAD⊥平面ABCD,PA=AD,PA与平面PBC所成角的正弦值为. (1)求侧棱PA的长; (2)设点E为AB中点,若PA≥AB,求二面角BPCE的余弦值. 2019届高三模拟考试试卷(苏州) 数学参考答案及评分标准 1.{3} 2.-1 3.25 4. 5. 6.3 7. 8. 9.2 10.(x-5)2+(y-2)2=17 11. 12.(-2,2-2) 13.8-8 14.[0,1] 15.证明: (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥底面ABC. 因为AB⊂平面ABC,所以BB1⊥AB.(2分) 因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面B1BCC1, 所以AB⊥平面B1BCC1.(4分) 又AB⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(6分) (2)取AB中点G,连结EG,FG. 因为E,F分别是A1C1,BC的中点, 所以FG∥AC,且FG=AC.(8分) 因为AC∥A1C1,且AC=A1C1, 所以FG∥EC1,且FG=EC1, 所以四边形FGEC1为平行四边形,(11分) 所以C1F∥EG. 因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE, 所以C1F∥平面ABE.(14分) 16.解: (1)在△ABC中,因为2bcosA=2c-a, 由正弦定理==, 所以2sinBcosA=2sinC-sinA.(2分) 在△ABC中,sinC=sin(A+B), 所以2sinBcosA=2sin(A+B)-sinA, 即2sinBcosA=2sinAcosB+2cosAsinB-sinA, 所以sinA=2cosBsinA,(4分) 在△ABC中,sinA≠0,所以cosB=. 又B∈(0,π),所以B=.(6分) (2)f(x)=cosx·(sinx·cos+cosx·sin)-(8分) =sinx·cosx+cos2x- =sin2x+(cos2x+1)-=sin(2x+),(10分) 所以f(A)=sin(2A+). 在△ABC中,B=,且A+B+C=π,所以A∈(0,),(12分) 所以2A+∈(,2π),所以当2A+=,即A=时,f(A)的最大值为.(14分) 17.解: (1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),半焦距为c, 因为椭圆的离心率为,所以=,即a=2c. 因为A到右准线的距离为6,所以a+=3a=6,(2分) 解得a=2,c=1,(4分) 所以b2=a2-c2=3,所以椭圆E的标准方程为+=1.(6分) (2)直线AB的方程为y=(x+2), 由得x2+3x+2=0,解得x=-2或x=-1, 则点B的坐标为(-1,).(9分) 由题意,得右焦点F(1,0),所以直线BF的方程为y=-(x-1).(11分) 由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=,(13分) 所以点M坐标为(,-).(14分) 18.解: (1)以O为原点,直线OA为x轴建立平面直角坐标系, 因为0<θ<,tanθ=,所以OP: y=x. 设P(2t,t),由OP=,得t=1,所以P(2,1).(2分) (解法1)由题意得2m·PA=m·PB,所以BP=2PA,所以点B的纵坐标为3. 因为点B在直线y=x上,所以B(3,3),(4分) 所以AB=PB=. (解法2)由题意得2m·PA=m·PB,所以=2. 设A(a,0)(a>0),又点B在射线y=x(x>0)上,所以可设B(b,b)(b>0), 由=2,得所以(4分) 所以A(,0),B(3,3),AB==. 答: 点A,B之间的距离为千米.(6分) (2)(解法1)设总造价为S,则S=n·OA+2n·OB=(OA+2OB)·n, 设y=OA+2OB,要使S最小,只要y最小. 当AB⊥x轴时,A(2,0),这时OA=2,OB=2, 所以y=OA+2OB=2+8=10.(8分) 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-2)+1(k≠0). 令y=0,得点A的横坐标为2-,所以OA=2-; 令x=y,得点B的横坐标为.(10分) 因为2->0,且>0,所以k<0或k>1, 此时y=OA+2OB=2-+, y′=+=.(12分) 当k<0时,y在(-∞,-1)上递减,在(-1,0)上递增, 所以ymin=y|k=-1=9<10,此时A(3,0),B(,);(14分) 当k>1时,y=2-+=10+-=10+>10. 综上,要使OA,OB段道路的翻修总价最少,A位于距O点3千米处,B位于距O点千米处.(16分) (解法2)如图,作PM∥OA交OB于点M,交y轴于点Q,作PN∥OB交OA于点N,因为P(2,1),所以OQ=1. 因为∠BOQ=45°,所以QM=1,OM=, 所以PM=1,PN=OM=. 由PM∥OA,PN∥OB,得=,=,(8分) 所以+=+=1.(10分) 设总造价为S,则S=n·OA+2n·OB=(OA+2OB)·n, 设y=OA+2OB,要使S最小,只要y最小. y=OA+2OB=(OA+2OB)(+)=5+(+)≥9,(14分) 当且仅当OA=OB时取等号,此时OA=3,OB=. 答: 要使OA,OB段道路的翻修总价最少,A位于距O点3千米处,B位于距O点千米处.(16分) 19.解: (1)当a=b=1时,f(x)=x3+x2-4,f′(x)=3x2+2x.(2分) 令f′(x)>0,解得x>0或x<-, 所以f(x)的单调增区间是(-∞,-)和(0,+∞).(4分) (2)(解法1)f′(x)=3ax2+2bx,令f′(x)=0,得x=0或x=-.(6分) 因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)=0或f(-)=0. 当f(0)=0时,得a=0,不合题意,舍去;(8分) 当f(-)=0时,代入得a(-)3+b(-)2-4a=0, 即-()3+()3-4=0,所以=3.(10分) (解法2)由于a≠0,所以f(0)≠0, 由f(x)=0,得==-x(x≠0).(6分) 设h(x)=-x,h′(x)=--1,令h′(x)=0,得x=-2. 当x∈(-∞,-2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(-2,0)时,h′(x)>0,h(x)单调递增; 当x∈(0,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增. 当x>0时,h(x)的值域为R, 故不论取何值,方程==-x有且仅有一个根;(8分) 当x<0时,h(x)min=h(-2)=3, 所以=3时,方程==-x恰有一个根-2, 此时函数f(x)=a(x+2)2(x-1)恰有两个零点-2和1.(10分) (3)当a=0时,因为f(x) 设g(x)=lnx-bx2,则g′(x)=-2bx=(x>0). 当b≤0时,因为g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上递增,且g (1)=-b≥0, 所以在(1,+∞)上,g(x)=lnx-bx2≥0,不合题意;(11分) 当b>0时,令g′(x)==0,得x=, 所以g(x)在(0,)上递增,在(,+∞)上递减, 所以g(x)max=g()=ln-. 要使g(x)>0有解,首先要满足ln->0,解得b< ①.(13分) 因为g (1)=-b<0,g(e)=-be>0, 要使f(x) 即解得≤b< ②.(15分) 设h(x)=,则h′(x)=. 当x∈(0,e)时,h′(x)>0,h(x)递增;当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,h(x)递减. 所以h(x)max=h(e)=>h (2)=,所以>. 由①②,得≤b<.(16分) 20.解: (1)假设数列{an}是“回归数列”, 则对任意n∈N*,总存在k∈N*,使an+an+2-an+1=ak成立, 即2n+4·2n-2·2n=2k,即3·2n=2k,(2分) 此时等式左边为奇数,右边为偶数,不成立,所以假设不成立, 所以数列{an}不是“回归数列”.(4分) (2)①因为bn 所以bn+bn+2-bn+1>bn且bn+bn+2-bn+1=bn+2-(bn+1-bn) 又数列{bn}为“回归数列”,所以bn+bn+2-bn+1=bn+1, 即bn+bn+2=2bn+1,所以数列{bn}为等差数列.(6分) 因为b3=3,b9=9,所以bn=n(n∈N*).(8分) ②因为=bt,所以t= (*). 因为t-3=≤0,所以t≤3. 又t∈N*,所以t=1,2,3.(10分) 当t=1时,(*)式整理为3s=0,不成立.(11分) 当t=2时,(*)式整理为=1. 设cn=(n∈N*),因为cn+1-cn=, 所以当n=1时,cn 所以(cn)max=c2=<1,所以s无解.(14分) 当t=3时,(*)式整理为s2=1,因为s∈N*,所以s=1. 综上所述,使得等式成立的所有的正整数s,t的值是s=1,t=3.(16分) 2019届高三模拟考试试卷(四)(苏州) 数学附加题参考答案及评分标准 21.A.解: 由MM-1===,(4分) 所以(8分) 解得(10分) B.解: 由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ,所以x2+y2=4x, 即圆C的方程为(x-2)2+y2=4.(3分) 又由消t,得x-y-m=0.(6分) 因为直线l与圆C相切,所以=2,所以m=2±2.(10分) C.证明: 因为(a+b+c)(++) =[(a+b)+(b+c)+(c+a)](++)(4分) ≥=(a+b+c)2,(8分) 所以++≥(a+b+c).(10分) 22.解: (1)当ξ=2时,所取三点是底面ABCD的四个顶点中的任三个, 所以P(ξ=2)===.(2分) (2)ξ的可能取值为2,,2. P(ξ=2)=; P(ξ=)==;(4分) P(ξ=2)==.(6分) 所以ξ的分布列为 ξ 2 2 P (8分) ξ的数学期望为E(ξ)=2×+×+2×=.(10分) 23.解: (1)取AD中点O,BC中点M,连结OP,OM, 因为PA=AD,所以OP⊥AD. 因为平面PAD上平面ABCD,OP⊂平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以OP⊥平面ABCD, 所以OP⊥OA,OP⊥OM. 又四边形ABCD是正方形,所以OA⊥OM. 以O为原点,OA,OM,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,如图,(1分) 则A(,0,0),D(-,0,0),B(,1,0),C(-,1,0). 设P(0,0,c)(c>0),则=(,1,-c),=(1,0,0). 设平面PBC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),(3分) 则取z1=1,则y1=c,从而n1=(0,c,1). 设PA与平面PBC所成角为α,因为=(,0,-c), 所以sinα=|cos〈,n1〉|===, 解得c2=或c2=,所以PA=1或PA=.(5分) (2)由 (1)知,PA≥AB=1,所以PA=1,c=. 由 (1)知,平面PBC的一个法向量为n1=(0,c,1)=(0,,1).(6分) 设平面PCE的一个法向量为n2=(x,y,z),而=(1,-,0),=(-,1,-), 所以取x=1,则y=2,z=,即n2=(1,2,).(8分) 设二面角BPCE的平面角为β, 所以|cosβ|=|cos〈n1,n2〉|====. 根据图形得β为锐角,所以二面角BPCE的余弦值为.(10分)
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