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概率论习题解答科学出版社
概率论第五章习题解答(科学出版社)
1、据以往的经验,某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布,现
随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命的总和1920h的概率。
解设这16只元件的寿命为X,.,/=1,2,...,16,则X=£x「
r-1
因为“=E(XJ=0=1009a2=D(Xi)=01=10000
"(0,1)
…fX—16001920—1600、^X-1600八心
P{X>1920=P>=P{>0.8
400400400
=1-P{
X-1600
<0.8}=1-①(0.8)==1-0.7881=0.2119.
400
数学期望为280美元,
标准差为800美元,求索赔总金额不超过2700000
美元的概率;
(2)—公司有50张签约保险单,每张保险单的索赔金额为乙,7=1,2,…,50
(以千美元计)服从韦布尔分布,均值E(Xf)=5,方差D(X,)=6求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。
解
(1)设每个投保人索赔金额为/=1,2,...,10000,则索赔总金额为l(X)00
又E(Xr.)=280,D(X;)=8OO2,所以,
索赔总金额不超过2700000美元的概率
P{X>2700000}=V-P{X<270000}
10000
YX-280x10000
=1-P{<
800x100
2700000-2800000
80000
1000()
工&-2800000
=1_卩{<--}
g
80000
1()000
工X厂2800000
=1-P{—*<-1.25)近似的服从"(0,1)
80000
即P{X>2700000}=1-①(一1.25)=①(1.25)=0.8944
(2)P{X>3OO)=1-P{X<3OO)
50
工X,—50x5
1-P{jLL
V6V50
300-250
V300
5()
YXr-50x5
=1_P{
1V6V50
50
工X厂50x5=l_P{iLL
<2.89}
=1一①(2.89)=1—0.9981=0.0019
3、计算器在进行加法时,将每个加数舍入最靠近它的整数,设所有舍入误差相互独立,且在(一,)上服从均匀分布,
(1)将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少
(2)最多可有儿个数相加,使得误差总和的绝对值小于10的概
率不小于
解设每个加数的舍入误差为乙,i=l,2,…,1500,由题设知X,相互独立同
分布,且在(一,)上服从均匀分布,从而
心*。
,心呼洛
⑴、记由独立同分布的中心定理有X二15()翼=亠近似的幺./BOOK
12
服从N(0,l),从而P{IXI>15}=1-P{IXI<15}=1-P{-15 V125a/125V125 =2(1-0(A))=2(1-0(1.34))=2(1-0.9099)=0.1802。 J5 (2)、记X=》X「要使P{IXlv10}20.90,由独立同分布的中心极限定r-l 理, 近似地有 P{IXI<10)=P{-10 =2<1>(-^=)-120・90 >0.95,查表得^>(1.64)=0.95 上==1・64,解得;? =443o %2 即最多可有443个数相加,可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小 于。 4、设各零件的重量都是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布, 其数学期望为,均方为,问5000只零件的总重量超过2510血的概率是 多少 解设每只零件的重量为Xj,j=l,2,…,5000,由独立同分布的中心极限定 理知 5000 工0.5x5000 jj——近似地服从"(0,1) 75000x0.1 P{X>2510)=l-P{X<2510} 5000 2510-2500 V50 -w1 工X厂0.5x5000 =1_円 75000x0.1 5(XX) 工Xf—0.5x5000 =1-P{ 75000x0.1 亠①需yg-=。 5、有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m,现从这批木 柱中随机地取100根,求其中至少有30要短于3m的概率。 解把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验,并假定各次试验相 互独立,在100次试验中长度不小于3m的根数记作X,则X是随机变量X,且X~5(100,0.8),其分布律为 P{X=k}=C爲0.8*x0.2叫,k=0,l,2,...,100 所求的概率为P{Xv70} 由徳莫弗一一拉普拉斯定理可求它的近似值 «1- 6、一工人修理一台机器要两个阶段,每一阶段需要时间(小时)服从均值为的指数分布,第二阶段所需要的时间服从均值为的指数分布,且与第一阶段独立。 现有20台机器需要修理,求他在8小时内完成任务的概率。 解设修理第i(/=1,2,...,20)台机器,第一阶段耗时X,,第二阶段为X,则共耗时为Z产乙+齐 已知因为指数分布的数学期望为方差少,即£(Xf)=0.2, E(K)=0.3,D(X.)=0.22,D(y;)=0.32,又第一阶段和第二阶段是相互独立的,故 E(ZJ=E(X,+乙)=E(X)+E(K)=0.2+0.3=0.5 D(ZJ=D(Xj+0=D(XJ+D(耳)=0.22+O.32=0.13 20台机器需要修理的时间由独立同分布的中心极限定理,20台机器需要维修的时间可认为近似地服从正态分布,即 工Z厂E(工ZJ为Z厂20x0.5 =1-0(1.24)=! -0.8925=0.1075 ir-1_1-1 即不大可能在8小时内完成任务。 (因为完成任务的可能性不到20%) 7、一家食品店有三种蛋糕出售,由于出售哪一种蛋糕是随机的,因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1元、元、元各个值的概率分别为…若售出300只蛋糕, (1)求收入至少400元的概率。 (2)求售出价格为元的蛋糕多于60只的概率。 解设第j格为为X,((=1,2,...,300),其分布律 Xj 1 1.2 1.5 Pi 由此得 E(Xr)=lx0.3+1.2X0.2+1.5X0.5=1.29(即平均收入) E(X;)=1x0.3+1.44x0.2+2.25x0.5=1.713 D(X/)=E(X2,)-(E(X,.))2=1.713-(1.29尸=0.0489 3(X) 以X表示总收入,即由独立同分布中心极限定理,得 /-I 300300 -300x1.29》Xj_387 [斗=/〜7V(387J4.67) 7300x0.0489714.67 则收入超过400元的概率为 300300 X.>400}=1-X,v400) /-I/-] 300 =5匸兰 V14? 67V1J67 =1一①(丄丄)=1一①(3.39) 3.83 =1-0.9997=0.0003o (2)以厂记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕数,于是丫~以300,0.2),£(/)=300x0.2=60(出售这种蛋糕的平均只数), £>(r)=300x0.2x0.8=4.8(二项分布的方差) 售出价格为元的蛋糕多于60只的概率为 p{r>60}=i-P{r<60} =1一①(0)=1—0.5=0.5 (即有50%的可能售出60只价格为元的蛋糕。 ) 8、 (1)一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成,在整个运行过程期间每个部件损坏的概率为,为了使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作,求整个系统起作用的概率。 (2)一个复杂系统由n个相互独立起作用的部件组成,每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为,且必须至少有80%的部件正常工作才能使整个系统工作,问n至少为多大时才能使系统的可靠性不低于。 解 (1)设正常工作的部件数为 J1,第i个部件在整个运行期间工作 /=[0,第i个部件在整个运行期间损坏…’ 由题设知/(j=0丄2,…,100)相互独立,且P{X/=l}=0.9, KX) P(X,=0)=0.1,设X则X〜〃(100,0.9)。 由徳莫弗一一拉普拉斯 r-i P{X>85)=1-P{X<85) .…X-100x0.985-100x0.9、 =1_P{厂<'r——一■} 7100x0.9x0.17100x0.9x0.1 =1-(£>(--)= (2)设观察每个部件是否损坏为一次试验,记损坏的部件数为X, 则X是一个随机变量,由于当有20%的部件不工作时系统 就不能工作,因此若设N=0.2“(取整数),则当正常工作的部件数时, P{X 系统就不能正常工作。 根据徳莫弗一一拉普拉斯定理 0・3亦 、0.3丽1枫0.3丽)1°95005 X-nxO.l >//? x0.9x0.1 亍N-〃xO・l} >//zx0.9x0.1 查表得①(1.65)=0.95(由标准正态分布的对称性。 由于N=03(取整数),故可以认为^-0.171=0.1/7, 即当n至少为25时,才能使系统的可靠性不低于 9、已知在某十字路口,一周事故发生数的数学期望为,标准差为 (1)以戸表示一年(以52周计)此十字路口事故发生数的算术平均, 试用中心极限定理求戸的近似分布,并求P{X<2]o (2)求一年事故数小球100的概率。 解 (1)设该十字路口第i周发生事故次数为X"则X,(心0丄2,…,52) 是相互独立的随机变量, 已知 “=E(X)=2・2,标准差b=jD(X)=L4, 则方差 0-2=1.42=1.96, 于是/服从正态分布W-2J.42),由中心极限定理, 壬~“(“,呀)=“(2.2,1・%)。 (见教材P122之()式)。 =0>(-1.03)=1-0(1.03) =1-0.8485=0.1515o (2)设X「则 =1一①(1.43)=1-0.9236=0.0764 10、某种汽车氧化氮的排放量的数学期望为km,标准差为km某汽车公司有这汽 车100辆,以戸表示这些汽车氧化氮排放量的算术平均值,问当厶为何值时X>L的概 率不超过。 解设每辆汽车的氧化氮排放量为X,(,=1,2,…,100),则X,是相互独立的随机变量,且“=£(XJ=0.9,er=75c\)=1.9,ct2=1.92, 由中心极限定理知,X〜N(O.9,1・%0) 于是P{X>L}=\-P{X DfX-0.9L-0.9】i丹厶一09、 =1一P{—<—}=1一①() 1.9/V1000.19 令1一①(£z22)so.oi,即4>(L~^2)>o.99 0.190.19 查表有①(2.33)=0.9901 令厶_0・9=2.33,得L=1.3427g/km 0.19 11、随机地选取两组学生,每组80人,分别在两个实验室测量某种化合 物的PH值,各人 测量的结果是随机变量,且相互独立,服从同一分布,数学期望为5,方差为。 以戸, 卩分别表示第一组和第二组所得的结果的算术平均值。 (1)求P{4・9vXv5」}; (2)求P{-0・lv片-PvO.l} 解因为E(X)=E(Y)=5 (1)由中心极限定理知X近似服从N(5,0.3/80),于是 5.1-5 —49-5X-5 P{4.9 j「< 703/807^3/80 …°・1工0.1 =◎()_◎() 0.06120.0612 =20(1.63)-1 =2x0.9484-1=1.8968-1=0.8968。 (2)因为E(X_Y)=E(X)-E(K)=0,D(X-y)=£)(X)+D(y)=0.3/40 由中心极限定理知戸-V近似服从N(0,0.3/40),故 "5叶话十件 =钊掃乔)_®雋乔)=2①(需)_1 卞(鴿)亠沁⑸ =2x0.8749-1=1.7498-1=0.7498。 12、一公寓有200住户,一户拥有汽车数X的分布分赴为 X 0 1 2 Pk 问需要多少车位,才能使每辆汽车都具有一个车邻六事鬼概率至少为。 解设需要的车位数为〃,设第/(/=1,2,...,200)户有车辆数为乙,则 E(X,)=0x0」+1x0.6+2x0.3=1.2 E(X;)=0x0.1+1x0.6+4x03=1.8 D(X)=E(X: )-(E(XJ)2=1.8-1.22=o,36 因为共有200户,各户占有车位相互独立,从而近似地有 200 工乙〜NQ20.36) j-i 所求概率为 200 P{^X.0.95, /-] 即円丈X, 令^^>1.65,解得«=254 8.49 由此知至少需要254个。 13、某电子器件的寿命(小时)具有数学期望“(未知),方差刃=400。 为了估计“,随机地取n只这种器件,在时刻『=0投入测试(测试是相互独立的)直到失效,测得其寿命x“x”…、以X=-作为“的估计,为使P{IX-//l 多少 解由独立同分布中心极限定理,兰二竺=兰二£近似的服从7V(0J) 20/丽20/n 虫谱)5-务沖尊I 要使P{IX-/zl 2020 查表知 ①(1.96)=0.975,得—>1.96,亦=39.2,“=1536.64 20 故n至少为1537o 14、某药丿•断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为,医院任意抽查100个服用此药品的病人,若其中多于75人治愈,就接受此种断言。 (1)若实际上药品对这种疾病的治愈率为,问接受这一的概率是 多少 (2)若实际上此药品的治愈率为,问接受这一断言的概率是多少 解 (1)设X表示服用此种药品而治愈的病人数,则X-/X100.0.8),此 时E(X)=100x0.8=80 £>(%)=100x0.8x0.2=16,JD(X)=4 由徳莫弗一一拉普拉斯中心极限定理,X近似的服从 N(np,np(l-p))=TV(100x0.8,100x.8x0.2)=N(80,16) 若实际上药品对这种疾病的治愈率为,接受接受这一断言,即 {X>75} P{X>75}=1-P{X<75) 亠皆斗} 十心2吕 4^/T004 =1-^)(1.25)二①(1.25)=0.8944 (2)若实际上此药品的治愈率为,接受这一断言即{X>75},而 E(X)=100x0・7=70 D(X)=100x0・7x0.3=21, 接受这一断言即{X>75} =1一①(1.09)=1-0.8621=0.1379
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