贵州省专升本考试高等数学模拟5.docx
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贵州省专升本考试高等数学模拟5
贵州省专升本考试高等数学模拟5
(总分:
150.00,做题时间:
90分钟)
一、单项选择题(总题数:
30,分数:
60.00)
1.设函数f(x)的定义域为(-1,1],则函数ef(x-1)的定义域为______
(分数:
2.00)
A.[-2,2]
B.(-1,1]
C.(-2,0]
D.(0,2] √
解析:
[解析]因为-1<x-1≤1,所以0<x≤2,应选D.
2.函数是______
(分数:
2.00)
A.偶函数
B.奇函数 √
C.非奇非偶函数
D.以上答案皆不对
解析:
[解析]
所以是奇函数,故选B.
3.下列函数相同的是______
A.
B.
C.y=x,y=cos(arccosx)
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]A、B、C给出的两个函数的定义域不同,只有D选项中的两个函数定义域相同,对应法则也相同,故应选D.
4.下列函数中,当x→∞中,无穷小量是______
A.2-x-1
B.
C.e-x
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]因为,所以当x→∞时,是无穷小.故应选D.
5.函数则x=0是f(x)______
(分数:
2.00)
A.连续的点
B.可去间断点
C.跳跃间断点 √
D.第二类间断点
解析:
[解析],故选C.
6.设函数则f(x)在x=1处______
(分数:
2.00)
A.不连续
B.连续但不可导
C.连续且f"
(1)=-1
D.连续且f"
(1)=1 √
解析:
[解析]因为,
所以f(x)在x=1处连续.
又因为
因为f(x)在x=1处可导且f"
(1)=1,故应选D.
7.设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),则f"(x)=0的实根个数为______
(分数:
2.00)
A.1
B.2
C.3 √
D.4
解析:
[解析]因为f(x)在[1,2]、[2,3]、[3,4]上都满足罗尔定理的条件.故在每个区间一至少各存在一个点使f"(x)=0成立,又由于f"(x)为一元三次方程,故f"(x)=0的实根数只有3个.故应选C.
8.若f(x)为可导的奇函数,则f"(x)一定是______
(分数:
2.00)
A.奇函数
B.偶函数 √
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
解析:
[解析]因为f(-x)=-f(x)两边同时对x求导得f"(-x)=f"(x),所以f"(x)为偶函数,故应选B.
9.曲线
(分数:
2.00)
A.仅有水平渐近线
B.既有水平又有垂直渐近线 √
C.仅有垂直渐近线
D.既无水平叉无垂直渐近线
解析:
[解析]因为
所以有水平渐近线y=0,垂直渐近线x=-1.故应选B.
10.在区间[-1,1]上下列函数中不满足罗尔定理的是______
A.f(x)=cosx
B.f(x)=3x4+2
C.
D.f(x)=ln(1+x2)
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]因为只有C项中在[-1,1]上不连续,所以函数不满足罗尔定理,故应选C.
11.若f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,且在(0,+∞)内,f"(x)>0,f"(x)>0,则f(x)在区间(-∞,0)内______
(分数:
2.00)
A.f"(x)<0,f"(x)<0
B.f"(x)<0,f"(x)>0 √
C.f"(x)>0,f"(x)>0
D.f"(x)>0,f"(x)<0
解析:
[解析]因为f(-x)=f(x),从而f"(-x)=-f"(x),
f"(-x)=f"(x),又在(0,+∞)内f"(x)>0,f"(x)>0,
所以在(-∞,0)内f"(x)<0,f"(x)>0.故应选B.
12.设f"(2x-1)=ex,则f(x)=______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]因为f"(2x-1)=ex,所以,
从而故应选B.
13.设在区间[a,b]上,f(x)>0,f"(x)<0,f"(x)>0,令,S2=f(b)(b-a),,则______
(分数:
2.00)
A.S1<S2<S3
B.S2<S1<S3 √
C.S3<S1<S2
D.S2<S3<S1
解析:
[解析]由f(x)>0,f"(x)<0,f"(x)>0知函数在[a,b]上为x轴上方的、单调递减的、凹的曲线,S1是曲边梯形的面积,S2是以f(b)为高的矩形面积,S3是直角梯形的面积,显然有S2<S1<S3.应选B.
14.设.则φ"(x)=______
∙A.2xsin2x2
∙B.2x(1+sin2x)
∙C.2x(x2+sin2x2)
∙D.2x(1+sin2x2)
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析],故应选D.
15.设f"(cos2x)=sin2x,且f(0)=0,则f(x)=______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]f"(cos2x)=sin2x=1-cos2x,f"(x)=1-x,
,又f(0)=0得C=0,
所以,故应选D.
16.导数______
A.arcsinx
B.0
C.arcsinb-arcsina
D.
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]因为定积分的值为常数,常数的导数等于0,所以,故应选B.
17.设区域D由直线x=a,x=b(b>a),曲线y=f(x),y=g(x)围成,则区域D的面积为______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]由定积分的几何意义可知,区域D的面积,故应选D.
18.下列广义积分收敛的是______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析],其他都是发散的,故应选C.
19.设a,b为非零向量,且a⊥b.则必有______
(分数:
2.00)
A.|a+b|=|a|+|b|
B.|a-b|=|a|-|b|
C.|a+b|=|a-b| √
D.a+b=a-b
解析:
[解析]因为a⊥b,以a,b为斜边的平行四边形是矩形,对角线相等,即|a+b|=|a-b|,故应选C.
20.设z=z(x,y)是由方程所确定的隐函数,则______
∙A.1
∙B.ex
∙C.y
∙D.yex
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]构造函数
则
所以,而由得z=yex,故应选D.
21.二元函数z=x2-4xy+5y2+2y的极小值点______
(分数:
2.00)
A.(-1,-2)
B.(1,2)
C.(2,1)
D.(-2,-1) √
解析:
[解析]解得唯一驻点(-2,-1)故应选D.
22.(其中D:
|x|≤1,|y|≤1)=______
(分数:
2.00)
A.0 √
B.1
C.2
D.4
解析:
[解析]根据二重积分的对称性知积分值为0,故应选A.
23.交换二次积分的积分次序后,I=______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]因积分区域D为:
D=D1+D2,其中
D又可表示为0≤x≤1,x≤y≤2-x,
于是交换次序后积分为
24.L是抛物线y2=x上从点A(1,1)到B(1,-1)的一段弧,则∫Lx2dx+y3dy=______
A.0
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析]从1变到-1.
则故应选A.
25.若在x=-1处收敛,则此级数在x=2处______
(分数:
2.00)
A.条件收敛
B.绝对收敛 √
C.发散
D.收敛性不确定
解析:
[解析]令x-1=t,问题化为级数在t=-2处收敛,判断t=1处是否收敛的问题.根据阿贝尔定理可知,级数在t=1处绝对收敛.
26.幂级数的和函数为______
∙A.ex
∙B.e2x-1
∙C.e2x
∙D.2ex
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]故应选B.
27.幂级数的收敛域为______
(分数:
2.00)
A.(-3,3]
B.(-3,3)
C.[-3,3] √
D.[-3,3)
解析:
[解析]收敛半径为
当x=3时级数化为收敛,当x=-3时级也是收敛的,因此收敛域为[-3,3],故应选C.
28.用待定函数法求微分方程y"-6y"+9y=xe3x的特解时,应设y*=______
∙A.ae3x
∙B.axe3x
∙C.x2(ax+b)e3x
∙D.x(ax+b)e3x
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]因为λ=3是特征方程的二重特征根,p(x)为一次多项式,所以特解应设为y*=x2(ax+b)e3x,故应选C.
29.C、C1、C2为任意常数,微分方程的通解是______
(分数:
2.00)
A.y=coswx
B.y=Csinwx
C.y=C1coswx+C2sinwx √
D.y=Ccoswx+Csinwx
解析:
[解析]因为二阶微分方程的通解中必须含有两个独立的任意常数,而所给的四个选项中只有C符合,故应选C.
30.微分方程y"-4y"+4y=0的两个线性无关的解是______
∙A.e2x与2e2x
∙B.e-2x与xe-2x
∙C.e-2x与4e-2x
∙D.e2x与xe2x
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]方程y"-4y"+4y=0的特征根为二重特征根,r=2,因此有两个线性无关特解为e2x与xe2x,故应选D.
二、填空题(总题数:
10,分数:
20.00)
31.函数f(x)=1-ln(2x+1)的反函数为f(x)=1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]由y=1-ln(2x+1)得ln(2x+1)=1-y,
即2x+1=e1-y,所以互换x、y得,x∈R.
故所求反函数为
32.1.
(分数:
2.00)
解析:
e6[解析]
33.该y=x5+e2x+3sinx,则y(2015)=1.
(分数:
2.00)
解析:
22015e2x-3cosx[解析]因为(e2x)(n)=2ne2x,,所以y2015=22015e2x-3cosx.
34.点(0,1)是曲线y=x3+ax2+b的拐点,则a=1,b=2.
(分数:
2.00)
解析:
0,1[解析]由题设知f(0)=1,
所以b=1,a=0.
35.设,则f(x)=1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]两边求导得
2f(2x-1)=e-x-xe-x(1-x)e-x,
即
设t=2x-1则,代入得
所以
36.在空间直角坐标系中,以A(0,-4,1),B(-1,-3,1),C(2,-4,0)为顶点的△ABC的面积为1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]
所以△ABC的面积为
37.若1.
(分数:
2.00)
解析:
0[解析]因为z(x,0)=0,所以zx(x,0)=0,故
38.1.
(分数:
2.00)
解析:
π(e9-1)[解析]D={(x,y)|x2+y2≤9}={(r,θ)|0≤θ≤2π,0≤r≤3},
所以
39.若级数收敛于s,则级数收敛于1.
(分数:
2.00)
解析:
2s-u1[解析]设sn=u1+u2+…+un,
则(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2(u1+u2+…+un)+un+1-u1
=2sn+un+1-u1,
又
40.以y=C1+C2x2为通解的微分方程为1.
(分数:
2.00)
解析:
xy"-y"=0[解析]y"=2C2x,y"=2C2,所以y"=xy",即xy"-y"=0.
三、计算题(总题数:
10,分数:
50.00)
41.求极限
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
42.设
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
因为
所以
43.求
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
44.求定积分
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
45.已知x2+z2=yφ(z),其中φ为可微函数.求
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
F(x,y,z)=x2+z2-yφ(z),则Fx=2x,Fy=-φ(z),Fz=2z-yφ"(z),
所以
46.计算,其中D是由圆x2+y2=4与x=0所围的左半圆.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
积分区域如图所示,在极坐标系下积分区域
所以
47.求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解方程组
求得驻点为
fxx=e2x(4x+4y2+8y+4),
fxy=e2x(4y+4),fyy=2e2x,
由于B2-AC=-4e2<0,且A>0
所以为极小值点,函数的极小值为
48.求平行于x轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
因为所求平面平行于x轴,故设所求平面方程为By+Cz+D=0.
将点(4,0,-2)及(5,1,7)分别代入方程得
因此所求平面的方程为
即9y-z-2=0.
49.将函数展开成(x+4)的幂级数.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
又
所以
50.求微分方程2y"+y"-y=3ex的通解.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
对应齐次方程的特征方程为2r2+r-1=0,
解得特征根为r1=-1,
所以对应齐次方程的通解为,(C1,C2为任意常数).
又因为λ=1不是特征根,可设特解为y*=Aex,
代入原方程得2Aex+Aex-Aex=3ex,解得
故所求方程的通解为
四、应用题(总题数:
2,分数:
14.00)
51.用汽船拖载重相同的小船若干只,在两港之间来回送货物,已知每次拖4只小船,一日能来回16次,每次拖7只,则一日能来回10次,若小船增多的只数与来回减少的次数成正比,问每日来回拖多少次,每次拖多少小船能使货运总量达到最大.
(分数:
7.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
由已知,增加了3只船,减少6次,设每次拖x只船,则增加x-4只船,设减少y次,则3:
6=(x-4):
y,y=2(x-4),设运货总量为M.
则M=x[16-2(x-4)]=24x-2x2,x>0,
M"=24-4x=0,解得x=6,
又M"=-4<0,所以x=6为极大值点,
故一次拖6只船,每日来回12次能使货运量达到最大.
52.设平面图形由曲线和直线y=x,x=2及x轴围成.求:
(1)平面图形D的面积;
(2)这图形绕x轴旋转一周的体积.
(分数:
7.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
平面图形如图所示.
取x为积分变量,且x∈[0,1]∪[1,2].
(1)平面图形D的面积为
(2)平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
五、证明题(总题数:
1,分数:
6.00)
53.设f(x)在区间[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:
方程在区间(0,1)内仅有一个实根.
(分数:
6.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
【证明】设
因为f(x)在[0,1]上连续,所以F(x)也在[0,1]上连续.
F(0)=-1<0,,由于f(t)<1,则
故F
(1)>0,由零点定理可知至少存在一个ξ∈(0,1)使F(ξ)=0.
又因为F"(x)=2-f(x)>0,F(x)在(0,1)上单调增加,
因此方程在(0,1)内仅有一个实根.
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