81二元一次方程组.docx
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81二元一次方程组
8.1二兀一次方程组
教学目标:
知识与技能;认识二元一次方程〔组〕•会检验一对数是否为二元一次方程组的解,会求二元一次方程的正整数解。
过程与方法:
学会模拟迁移知识,体验二元一次方程组解决实际问题的优越性。
情感、态度与价值观:
通过学习二元一次方程组,感受生活。
教学重点:
理解二元一次方程组的解的意义.
教学难点:
求二元一次方程的正整数解.
教学过程:
一、创设情境、引入新课
22
问题1:
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分.负一场得1分,某队为了争取较好的名次,想在全部
场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少?
思考:
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件?
设胜的场数是x,负的场数是y,你能用方程把这些条件表示出来
吗?
由问题知道,题中包含两个必须同时满足的条件:
1胜的场数二元一次方程组+负的场数=总场数,②胜场积分+负场积分=总积分.
这两个条件可以用方程
1x+y=22②2x+y=40
二、探究二元一次方程组的概念。
上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数〔x和y〕,并且未知数的指数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程
把两个方程合在一起,写成
|x+y=22
I2x+y=40
像这样,把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
三、探究二元一次方程〔组〕的解:
1.满足方程①x、y的值.
x
1
2
y
2.满足方程x、y的值有哪些?
把它们填入表中
x
y
一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解
3.既满足方程①,又满足方程的x、y的值有哪些?
二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
4.比拟:
一元一次方程的解、二元一次方程的解、二元一次方程组的解的区别
四、应用训练
(1)
a、b的取值范围.
方程(a+2)x+(b-1)y=3是二元一次方程,试求
(2)方程x1a1-1+(a-2)y=2是二元一次方程,试求a的值.
.求m、n的值
假设方程x2m-+5y3n「2=7是二元一次方程
以下三对值:
(1)
(2)
1
哪几对数值使方程x—y=6的左、右两边的值相等?
21
x—y=6
2
2x+31y=—11
求二元一次方程3x+2y=19的正整数解.
哪几对数值是方程组
的解?
lx="
6:
|
x=10
x=1
ly=-
-91
y=—6
y=—
0
1
课堂练习:
教科书第94页练习
习题8.11、2题
作业:
教科书第95页3、4、5题
8.2消元
(一)
教学目标:
1•会用代入法解二元一次方程组.
2.初步体会解二元一次方程组的根本思想——“消元"
3•通过研究解决问题的方法,培养学生合作交流意识与探究精神
重点:
用代入消元法解二元一次方程组.
难点:
探索如何用代入法将“二元"转化为“一元"的消元过程
教学过程:
一、创设情境、引入新课:
问题:
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分.负一场得1分,某队为了争取较好的名次,想在全部
20场比赛中得到38分,那么这个队胜负场数分别是多少?
解:
设这个队胜x场,根据题意得
2x(20x)38
解得x=18
_那么20—x=2
答:
这个队胜18场,负2场.
二、探究二元一次方程组的解法:
在上述问题中,我们可以设岀两个未知数,列岀二元一次方程组,
设胜的场数是x,负的场数是y,
x+y=20I2x+y=38
那么怎样求解二元一次方程组呢?
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?
可以发现,二元一次方程组中第
1个方程x+y=20说明y=20-x,将第2个方程
2x+y=38的y换为20-x,这个方程就化为一元一次方程2x(20X)38.
二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,我们就可以先解岀一个未知数,然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法,叫做消元思想
归纳:
上面的解法,是由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,
实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
三、试试
例1把以下方程写成用含x的式子表示y的形式:
(1)2x-y=3
(2)3x+y—1=0
例2用代入法解方程组
a-y=3①
3x-8y=14②
例3根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量比(按瓶计算)为2:
5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨,这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶?
用代入消元法解二元一次方程组的步骤:
(1)从方程组中选取一个系数比拟简单的方程,把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示岀来
(2)把
(1)中所得的方程代入另一个方程,消去一个未知数.
(3)解所得到的一元一次方程,求得一个未知数的值
(4)把所求得的一个未知数的值代入
(1)中求得的方程,求出另一个未知数的值,从而确定方程组的解如图
课堂练习:
教科书第107页2、3、4题
小结:
代入消元法表达了数学学习中“化未知为〞的化归思想方法,化归的原那么就是将不熟悉的问题化归为比拟熟悉的问题,从而充分调动已有的知识和经验,用于解决新问题•基于这点认识,本课按照“身边的数学问题引入一寻求一元一次方程的解法一探索二元一次方程组的代入消元法一典型例题一归纳代入法的一般步骤〞的思路进行设计•在教学过程中,充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用,坚持启发式教学•教师创设有趣的情境,引发学生自觉参与学习活动的积极性,使知识发现过程融于有趣的活动中•重视知识的发生过程•将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比拟,从而得到二元一次方程组的代入(消元)解法,这种比拟,可使学生在复习旧知识的同时,使新知识得以掌握,这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的.
作业:
教科书第111页第1题、第112页第2题
8.2消元
(二)
教学目标
知识与技能
通过探索,领会并总结解二元一次方程组的方法。
根据方程组的情况,能恰当地应用“代入消元法〞和“加减消元法〞解方程组;
会借助二元一次方程组解简单的实际问题;
提高逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。
过程与方法
通过大量练习来学习和稳固这两种解二元一次方程组的方法。
情感态度价值观
体会解二元一次方程组中的“消元〞思想,即通过消元把解二元一次方程组转化成解两个一元一次方程。
由此感受“划归〞思想的广泛应用。
教学重点难点
重点是用加减法和代入法解二元一次方程组;
难点是代入法的灵活运用,并能正确地选择恰当方法〔代入法,加减法〕解二元一次方程组。
教学过程
一、创设情境,导入新课
七年级〔3〕班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上〔如下表〕.
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进球的人数
1
2
7
•
•
2
同时,进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4?
个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?
二、师生互动,课堂探究
〔一〕指岀问题,引发讨论
你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢?
〔学生思考、讨论、交流〕
〔二〕导入知识,解释疑难
1.例题讲解〔见P109〕
分析:
如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷,?
那么2台大收割机和5台小收割机1小时收
割小麦公顷,3台大收割机和2?
台小收割机1小时收割小麦公顷.
解:
设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.?
根据两种工作方式中的相等关系,得方程组
2〔2x5y〕3.6
5〔3x2y〕8
去括号,得4X10y①
15x10y8②
2-①,得11x=4.4
解这个方程,得x=0.4
把x=0.4代入①,得y=0.2
x0.4
这个方程组的解是
y0.2
答:
1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.
2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:
元
次方程组
y=0-2
「=0.4
f解得x
2
两方程相减、消去未知数y
_①次元次次方程
3.做次做
为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1?
号电池和5号电池每节分别重多少克?
分析:
如果1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,那么4克1号电池和5节5?
号电池总重量为4x+5y克,2节1号电池和3节5号电池总重量为2x+3y克.
解:
设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得
4x5y460①
2x3y240—
②
②X2-①,得y=20
把y=20代入②,得2x+3X20=240,x=90
所以这个方程组的解为x90
y20
答:
1号电池每节重90克,5号电池每节重20克.
4.练一练:
P111练习第2、3题.
〔三〕归纳总结,知识回忆
作业:
1.王大伯承包了25亩土地,?
今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,?
用去了44000元,其中种茄子每亩用了1700元,
获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,?
获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元?
2.一旅游者从下午2时步行到晚上7时,他先走平路,然后登山,?
到山顶后又沿原路下山回到岀发点,他走平路时每小
时走4千米,爬山时每小时走3千米,?
下坡时每小时走6千米,问旅游者一共走了多少路?
8.2消元〔三〕
一、教学目标知识与技能
1.用代入法、加减法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组时的“消元思想〞,“化未知为〞的化归思想.
3.会用二元一次方程组解决实际问题.
4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.
过程与方法
1.通过探索二元一次方程组的解法的过程,?
了解二元一次方程组的“消元〞思想,培养学生良好的探索习惯
2.通过对具体实际问题分解,组织学生自主交流、探索,去发现列方程建模的过程,培养学生用数学的意识情感态度与价值观
1.在学生了解二元一次方程组的“消元〞思想,从而初步理解化“未知〞为“〞和化复杂问题为简单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信息。
2.培养学生合作交流,自主探索的良好习惯。
教学过程:
一、创设情境,导入新课
甲、乙、丙三位同学是好朋友,平时互相帮助。
甲借给乙10元钱,?
乙借给丙8元钱,丙又给甲12元钱,如果允许转帐,
最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱,欠多少?
二、师生互动,课堂探究
(1)提高问题,弓I发讨论
①
我们知道,对于方程组xy22①可以用代入消元法求解。
2xy40②
这个方程组的两个方程中,y的系数有什么关系?
?
利用这种关系你能发现新的消元方法吗?
(2)导入知识,解释疑难
1.问题的解决
上面的两个方程中未知数y的系数相同,②—①可消去未知数y,得(2x+y)-(x+y)=40-22即x=18,把x=18代入①得y=4
另外,由①—②也能消去未知数y,?
得(x+y)-(2x+y)=22-40即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.
2.想一想:
联系上面的解法,想一想应怎样解方程组x10y3.6①
15x10y8②
分析:
这两个方程中未知数y的系数互为相反数,?
因此由①+②可消去未知数y,从而求出未知数x的值。
解:
由①+②得19x=11.6x=58
95
COq
把x=代入①得y=-_
•••这个方程组的解为
9595
58
x
95
9
x—
95
用加减法解方程组
3x4y16
5x6y33
分析:
这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同,直接加减两个方程不能消元,试一试,能否对方程变形,使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
解:
①X3,得9x+12y=48③
2X2,得10x-12y=66④
3+④,得19x=114
x=6
把x=6代入①,得3X6+4y=16
4y=-2,y=-
所以,这个方程组的解是
y
议一议:
此题如果用加减法消去
1
2
x应如何解?
解得结果与上面一样吗?
解:
①X5,得15x+20y=80③
2X3,得15x-18=99④
3-④,得38y=-19
y=-
把y=-1代入①,得3x+4X〔-丄〕=16
22
3x=18
x=6
所以,这个方程组的解为
11
如果求出y=-后,把y=代入②也可以求出未知数x的值。
22
5.做一做
2x
3y
2x
3
y
解方程组4
3
2x
3y
2x
3
y
3
2
7
8
分析:
此题不能直接运用加减法求解,要进行化简整理后再求解。
解:
化简方程组,得14x3y84①
10x3y48
②
③—④,得4x=36
x=9
把x=9代入④(也可代入③,但不佳),得
10X9-3y=48
-3y=-42
y=14
这个方程组的解为x
y14
点评:
当方程组比拟复杂时
应先化简,并整理成标准形式.此题还可以把2x+?
3y和2x-3y当成两个整体
用换元法,设
2x+3y=A,2x-3y=B,
转化为以AB?
为未知数的二元一次方程组
消去一
⑴3x2y15,①消元方法
5x4y23②
8.3实际问题与二元一次方程组〔1〕
知识目标
经历和体验列方程组解决实际问题的过程,进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学
模型。
教学
数学思考
在运用二元一次方程组解决实际问题过程中进一步体会数学建模思想,培养学生的数学应
用意识。
目标
能力目标
培养学生的思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力,增强列方程组解决现实问题的应用数学意识。
情感目标
1.培养学生实事求是的科学精神,认识数学的科学价值和人文价值。
2.方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,提高数学学习的兴趣。
重点
1让学生经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。
2进一步体会方程〔组〕是刻画现实世界的有效数学模型。
难点
确立等量关系,列岀正确的二元一次方程组。
一、复习解法,直奔主题
1、问:
二元一次方程组的解法,有几种?
2、这节课我们学习用二元一次方程组解决较复杂的应用题。
二、师生互动、课堂探究
活动1:
养牛场原有30只母牛和15只小牛,1天约需用饲料675kg;—周后又购进12只母牛和5只小牛,这时1天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18〜20kg,每只小牛1天约需饲料7〜8kg.你能否通过计算检验他的估计?
问:
这题要计算哪些量才能检验李大叔的估计?
活动2:
1、动手试一试:
如何把下面这个长方形分为面积比为3:
4的两个长方形?
问:
为什么在长或宽上七等分,一边取3份,一边取4份就能使长方形的面积比为3:
4?
2、动脑想一想:
〔1〕在面积比为3:
4的两块长方形土地上分别种植单位面积产量比为1:
1的甲乙两种作物,甲、乙两种作物的总产量比为多少?
〔2〕在面积比为3:
4的两块长方形土地上分别种植单位面积产量比为1:
1.5的甲乙两种作物,甲、乙两种作物的总产量比为多少?
现在我们再深入研究这类问题:
活动3:
据以往的统计资料,甲,乙两种作物的单位面积产量的比是1:
1.5,现要在一块200m,宽100m的长方形土地上种植这两种作物
怎样把这块地分为两个长方形,使甲乙两种作物的总产量的比是3:
4?
〔结果取整数〕
问:
这两块地怎样分?
满足什么条件
活动4:
你能谈谈你的收获吗?
活动5、练习:
,共90本,每本数学书厚0.8cm,每本语文书厚1.2cm,你知道这层书架上
〔1〕一个书架宽88cm,某一层上摆满了数学书和语文书数学书和语文书各有多少本吗?
〔2〕如图,8块相同的长方形地砖
拼成长方形,每块长方形地砖的长和宽分别是多少?
〔3〕活动3变式:
把怎样把这块地分为两个长方形"改为怎样把这块地分为两块〞,应如何解决?
8.3实际问题与二元一次方程组〔2〕
知识技能
学会探索事物之间的数量,通过方程〔组〕这个数学模型解决简单的实际问题。
教
数学思考
通过应用题教学进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系,体会代数方法的优越
学
性,体会列方程组比列一元一次方程容易。
目
解决问题
通过探究活动,挖掘实际背景中的数量关系,体会数学知识的应用性。
标
情感态度
进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力。
重点
根据题意找岀等量关系;列二元一次方程组;运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题。
难点
正确找岀问题中的两个等量关系
教学过程
〔一〕创设情景,导入新课
据以往的统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:
1.5,现要在一块长200m宽100m的厂方形土地上种
植这两种作物,怎样把这块地分为两个长方形,使甲、乙两种作物的总产量的比是3:
4〔结果取整数〕交流在这个题目中,
你认为有哪些问题。
〔二〕合作交流,解读探究问题1、“甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:
1.5"是什么意思?
2、“甲、乙两种作物的总产量的比是3:
4"是什么意思?
3、此题中有哪些等量关系?
〔点拨:
假设甲种作物单位产量是a,那么乙种作物单位产量是多少?
思考:
这块地还可以怎么分?
练一练
某农场300名职工更种51公顷土地,方案种植水稻、棉花和蔬菜,种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表:
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
该农作物方案在设备上投入67万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职工都有工作,而且投入的资金
正好够用?
问题:
题中有几个量?
题中求什么?
分别安排多少公顷种水稻、棉花和蔬菜?
〔三〕应用迁移,稳固提高
例1两种枕木共300根,甲种枕木的总量比乙种枕木的总重量轻1吨。
如果每根枕木甲种量46千克,乙种量28千克,两种
枕木各多少根?
分析:
量:
枕木总根数300,甲种枕木每根重46千克,乙种枕木每根重28千克,未知量:
甲种枕木根数乙种枕木根数
等量关系:
甲种枕木数+乙种枕木数=枕木总数300,乙种枕木总重量-甲种枕木总重量=1000
例2蔬菜批发站有一批青菜分给两个学校的食堂,甲校的食堂的5倍比乙校食堂分得的6倍少10千克;甲校食堂分得的
3倍与乙校食堂分得的2倍的和是470千克。
甲、乙两校食堂各分得青菜多少?
〔四〕总结反思,拓展升华
小结:
用二元一次方程组解实际问题的步骤是什么?
拓展:
为了解决农民工子女入学难的问题,重庆市建立了一套进城农民子女就学的保障机制,其中一项就是免交“借读费"。
据统计,2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习,预测2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女比
2004年有所增加,其中小学增加20%中学增加30%这样,2005年秋季将新增1160名农民子女在主城区中小学学习。
〔1〕如果安小学每生每nia年收“借读费〞500元,中学每生每年收“借读费〞1000元计算,求2005年新增的1160名中小学生共免收多少“借读费〞
〔2〕如果小学每40名学生配备2名教师,中学每40名学生配备3名教师,假设按2005年秋季入学后,农民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算,一共需要配备多少名中小学教师?
作业:
P108,5、6、7
8.3实际问题与二元一次方程组〔3〕
教
知识技能
学会探索事物之间的数量,通过方程〔组〕这个数学模型解决简单的实际问题。
学
数学思考
通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系,体会代数方
目
法的优越性,体会列方程组比列一元一次方程容易。
标
解决问题
通过探究活动,挖掘实际背景中的数量关系,体会数学知识的应用性。
情感态度
进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力。
重点
能根据题意列二元一次方程组;根据题意找岀等量关系;运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题。
难点
正确找岀问题中的两个等量关系
教学过程
〔一〕创设情景,导入新课
七年级〔1〕班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体
育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上〔如下表〕
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进球的人数
1
2
7
•
•
2
同时,进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?
交流你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢?
〔引入新课〕
〔二〕合作交流,解读探究自主探索学生讨论交流
练一练
两台大收割机和五台小收,两小时收割3.6公顷,三台大收割机和两台小收割机,五小时收割8公顷,1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷?
〔三〕应用迁移,稳固提高
例1、为了保护环境,某校环保小组成员
收集费电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1号电池和5号电池每节分别重多少克?
例2A,B两地相距20千米,甲乙两人分别从A,B两地同时相向而行,两小时后在途中相距,然后甲返回A地,乙仍继续前
进,当甲回到A地时,乙离A还有2千米,求甲、乙的速度。
分析:
这个问题时直线行驶中的相
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- 81 二元 一次 方程组