一次函数中的存在性问题讲义.docx
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一次函数中的存在性问题讲义
一次函数之存在性问题(讲义)
一、知识点睛
存在性问题:
通常是在变化的过程中,根据已知条件,探索某种状态是否存
在的题目,主要考查.
一次函数背景下解决存在性问题的思考方向:
1.把函数信息()转化为几何信息;
2.分析特殊状态的形成因素,画出;
3.结合图形(基本图形和特殊状态下的图形相结合)的
建立等式来解决问题.
二、精讲精练
1.如图,直线y33x3与x轴、y轴分别交于点A,点B,已知点P是第3
一象限内的点,由点P,O,B组成了一个含60°角的直角三角形,则点P的坐标为.
2.如图,直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B,C两点,且OC4.
OB3
(1)求点B的坐标和k的值.
(2)若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点,则当点A运动到什么位置时,△AOB的面积是6?
(3)在
(2)成立的情况下,x轴上是否存在一点P,使△POA是等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC,OA分别与x轴、y轴重合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=62,点C的坐标为(-9,0).
(1)求点B的坐标.
(2)若直线BD交y轴于点D,且OD=3,求直线BD的表达式.
(3)若点P是
(2)中直线BD上的一个动点,是否存在点
P,使以O,D,P为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
线y=kx+3上与A,B不重合的动点.过点C的另一直线CD与y轴相交于点D,是否存在点C使△BCD与△AOB全等?
若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
0),P(x,y)是直线y1x2上的一个动点
2
(点P不与点A重合).
(1)在点P的运动过程中,试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式.
2)当点P运动到什么位置时,△OPC的面积为27?
求出
8
此时点P的坐标.
3)过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E,F两点,是否存在这样的点P,使△EOF≌△BOA?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案】
、知识点睛
存在性问题:
通常是在变化的过程中,根据已知条件,探索某种状态是否存在的题目,主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向:
4.把函数信息(坐标或表达式)转化为几何信息;
5.分析特殊状态的形成因素,画出符合题意的图形;
6.结合图形(基本图形和特殊状态下的图形相结合)的几何特征建立等式来解决问题.
二、精讲精练
1.(1,3)或(3,3)或(3,3)或(3,33)
44444
2.
(1)B(3,0),k3
(2)A(6,4)
13
(3)P1(213,0)或P2(-213,0)或P3(12,0)或P4(,0)
3
3.
(1)B(-3,6)
(2)y=-x+3
(3)P1(3,0)或P2(2,332)或P3(32,332)或P4(3,3)
222222
1261224
4.(12,6)或(12,24)或(4,6)
5555
3
x3(x4)
5.
(1)
34x3(x4)
3x3(x4)
17919
2)P1(17,9)或P2(1,9)
2424
一次函数之存在性问题(随堂测试)
(1)求点B的坐标和k的值.
(2)若点A(x,y)是第一象限内直线y=kx-1上的一个动点,则当点A运动到什么位置时,△AOB的面积是2?
(3)在
(2)成立的情况下,x轴上是否存在点P,使△POA是等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【参考答案】
1
1.
(1)B(2,0),k1
2
(2)A(6,2)
(3)P1(210,0)或P2(-210,0)或P3(12,0)或P4(10,0)
一次函数之存在性问题(作业)
7.如图,将Rt△AOB放入平面直角坐标系中,点
x轴上,点B在y轴上,OB=23,∠BAO=30°,将△AOB沿直线BE折叠,
使得边OB落在AB上,点O与点D重合.
1)求直线BE的解析式.
2)求点D的坐标.
3)x轴上是否存在点P,使△PAD是等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图,直线AB与x轴、y轴分别交于点A,点B,已知A(2,0),B(0,4),线段CD的两端点在坐标轴上滑动(点C在y轴上,点D在x轴上),且CD=AB.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当点C在y轴负半轴上,且△COD和△AOB全等时,求点D的坐标.
9.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A,点B,点P(x,y)是直线AB上一动点(点P不与点A重合),点C的坐标为(6,0),O是坐标原点,设△PCO的面积为S.
(1)求S与x之间的函数关系式.
(2)当点P运动到什么位置时,△PCO的面积为15?
(3)过点P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于点E,点F,是否存在这样的点P,使△EOF≌△BOA?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案】
1.
(1,3)或(-3,3)或(4,43)或(4,43)3
2.
(1)y3x23
(2)D(-3,3)
(3)P1(4,0)或P2(623,0)或P3(623,0)或P4(0,0)3.
(1)y=-2x+4
(2)D1(4,0)或D2(-2,0)或D3(2,0)或D4(4,0)
3x24(x8)
4.
(1)S
3x24(x8)
(2)(3,5)或(13,-5)(3)(0,8)
一次函数之动点问题(讲义)
一、知识点睛
动点问题的特征是,主要考查运动的.
1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向:
1把函数信息()转化为基本图形的信息;
2分析运动过程,注意,确定对应的;
3画出符合题意的图形,研究几何特征,设计解决方案.
2.解决具体问题时会涉及,需要注意两点:
①路程即线段
长,可根据s=vt直接表达或;
②根据研究几何特征的需求进行表达,既要利用
,又要结合.
二、精讲精练
3
1.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线yx3与x轴、y
4
轴分别交于A,B两点.点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动,设点P的运动时间为
t秒.
(1)求OA,OB的长.
(2)过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E,在点P的运动过程中,是否存在这样的点P,使△EOP≌△AOB?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
2.如图,直线y=3x+43与x轴、y轴分别交于A,B两点,直线BC与x轴交于点C,∠ABC=60°.
(1)求直线BC的解析式.
(2)若动点P从点A出发沿AC方向向点C运动(点P不与点A,C重合),同时动点Q从点C出发沿折线CB—BA向点A运动(点Q不与点A,C重合),动点P的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S,运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
(3)当t=4时,y轴上是否存在一点M,使得以A,Q,M为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,11),C(0,5),点D为线段BC的中点.动点P从点O出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OA—AB—BD的路线运动,至点D停止,设运动时间为t秒.
(1)求直线BC的解析式.
(2)若动点P在线段OA上运动,当t为何值时,四边形
1
OPDC的面积是梯形COAB面积的?
4
3)在动点P的运动过程中,设△OPD的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
4.如图,直线y3x43与x轴交于点A,与直线y3x交于点P.
3
(1)求点P的坐标.
(2)求△OPA的面积.
(3)动点E从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿OA方向向终点A运动,过点E作EF⊥x轴交线段OP或线段PA于点F,FB⊥y轴于点B.设运动时间为t秒,矩形OEFB
速度运动,它与x轴、y轴分别交于M,N两点,设运动时间为t秒(0 <4). (1)求A,B两点的坐标; (2)用含t的代数式表示△MON的面积S1; (3)以MN为对角线作矩形OMPN,记△MPN和△OAB重 三、回顾与思考 【参考答案】 一、知识点睛 速度已知,过程. 1.①坐标或表达式; ②状态转折,时间范围. 2.线段长的表达; ①已走路程,未走路程; ②动点的运动情况,基本图形信息.二、精讲精练1. (1)OA=4,OB=3; (2) 2. (1) (2) (3) 3. (1) (2) (3) 4. (1) (2) (3) 5. (1) (2) (3) t=1或t=7 y3x43 M1(0,438)或M2(0,438)或M3(0,43) 或M4(0, 3 yx5 4 t3 2 4t (0t≤8) S2t48 (8t≤19) 2t48 (19t24) P(3,3) 23 3t2 S6 53t2163t243 2 A(4,0),B(0,4) S11t2 2 12t2 S22 3t28t8 2 (0t≤2) (2t4) (0t≤3) (3t4) 一次函数之动点问题(随堂测试) 1.如图,直线l1: y3x23与x轴、y轴分别交于A,B两点,直线l2: y3x63与x轴交于点C,与直线l1交于点P. (1)求点P的坐标. (2)动点M从点C出发,以每秒2个单位的速度沿折线CP-PB向点B匀速运动(点M不与点C重合),设△OMC的面积为S,运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围. 1 (3)当t为何值时,△OMC的面积是△APC面积的? 4 参考答案】 1. (1)P(2,43) 3) 一次函数之动点问题(作业) 1.如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A,B两点,直线y=-x+b过点B且与x轴交于点C. (1)求直线BC的表达式. (2)若动点P从点C出发沿CA方向向点A运动(点P不与点A,C重合),同时动点Q从点A出发沿折线AB-BC向点C运动(点Q不与点A,C重合),动点P的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q的运动速度是每秒2个单位长度,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.设△CPQ的面积为S,运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围. 2.已知: 如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,∠AOC=90°,AB=4,AO=8,OC=10,以O为原点建立平面直角坐标系,点D为线段BC的中点.动点P从点A出发,以每秒4个单位的速度,沿折线AO-OC-CD向终点D运动,设运动时间为t秒. (1)求点D的坐标; (2)在动点P的运动过程中,设△OPD的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围. y 3.如图,直线yx42与x轴交于点A,与直线yx交于点B. (1)求点B的坐标. (2)判断△OAB的形状并说明理由. (3)动点D从原点O出发,以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动(点 D不与点O,A重合),过点D作DC⊥x轴,交线段OB或线段BA于点C,CE⊥y轴于点E.设运动t秒时,矩形ODCE与△OAB重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式. 参考答案】 1. (1)yx4 12 t2(0t≤4) 2)S2 12 t24t(4t8) 2 14t28 2)S8t16 2. (1)D(4,7) (0≤t2) 9 (2t≤) 2 923 (t) 24 3. (1)B(22,22) 2)△OAB是等腰直角三角形 3)St22 3t216t16 (0t≤2) (2t4) 一次函数应用题(讲义) 一、知识点睛 1.理解题意: 结合图象依次分析的实际意义,把函数图象与 对应起来,可借助示意图(如线段图)等梳理信息. 2.利用解决问题: 把所求问题转化为函数元素,利用表达式进 行求解;另外当实际场景发生变化时,要分析 或者. 3.结合实际场景验证所求结果. 二、精讲精练 1.一辆快车和一辆慢车分别从A,B两站同时出发,相向而行.快车到达B站后,停留1小时,然后原路原速返回A站,慢车到达A站即停运休息.如图表示的是两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数图象.请结合图象信息,解答下列问题: (1)直接写出快车、慢车的速度及A,B两站间的距离; (2)求快车从B站返回A站时,y与x之间的函数关系式; (3)出发几小时,两车相距200千米? 请直接写出答案. 距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题: (1)写出A,B两地之间的距离; (2)求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义; (3)若两人之间保持的距离不超过3km时,能够用无线对 讲机保持联系,请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围. 3.2013年夏,某地发生特大暴雨灾害,受其影响,某药品的需求量急增.如图所示,平常对某种药品的需求量y1(万件)、供应量y2(万件)与价格x(元/件)分别近似满足下列函数关系式: y1=-x+70,y2=2x-38,需求量为0时,即停止供应.当y1=y2时,该药品的价格称为稳定价格,需求量称为稳定需求量. (1)求该药品的稳定价格与稳定需求量. (2)价格在什么范围内,该药品的需求量低于供应量? (3)由于灾情严重,政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格,以提高供应量.根据调查统计,需将稳定需求量增加6万件,政府应对每件药品提供多少元补贴,才能使供应量等于需求量? 4.甲船从A港出发顺流匀速驶向B港,行至某处,发现船上一救生圈不知何时落入水中,立刻原路返回,找到救生圈后,继续顺流驶向B港.乙船从B港出发逆流匀速驶向A港.已知救生圈漂流的速度和水流速度相同,甲、乙两船在静水中的速度相同,甲、乙两船到A港的距离y1,y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示. (1)乙船在逆流中行驶的速度为; (2)求甲船在逆流中行驶的路程; (3)求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式; (4)救生圈落入水中时,甲船到A港的距离是多少? 22.53.54x/h 槽,甲、乙两个水槽中水的深度y(厘米)与注水时间x(分钟)之间的关系如图2所示.根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)图2中折线AB—BC表示槽中水的深度与注水 时间之间的关系,线段DE表示槽中水的深度与注 水时间之间的关系(以上两空选填“甲”或“乙”),点B的纵坐标表示的实际意义是 2)注水多长时间时,甲、乙两个水槽中水的深度相同? 3)若乙槽的底面积为36平方厘米(壁厚不计),求乙槽中铁块的体积. 4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米(壁厚不计),求甲槽的底面积(直图2接写出结果). 三、回顾与思考 参考答案】 一、知识点睛 1.轴、点、线,实际场景 2.函数图象,函数图象的变化,构造函数图象二、精讲精练 1)快车的速度是120km/h;慢车的速度是80km/h;A,B两地之间的距离是1200km. 40x1320(11≤x≤15) y 120x2520(15x≤21) 5小时,7小时,58小时. 3 A,B两地之间的距离是30km;22 M(2,20),两车出发2小时后相遇,此时距离B地20km;33 311 515 该商品的稳定价格是36元,稳定需求量是34万件.36 1. 2. 3. 4. 5. 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 4) 3≤x≤11或9≤x≤2. 5 9x 6x30 15 9x 2 (0≤x≤2) (2x≤2.5) (2.5x≤3.5) 27 km 2 乙,甲,乙槽中铁块的高度是14厘米;注水2分钟时,甲乙两个水槽中水的深度相同;84立方厘米; 60立方厘米. 一次函数应用题(随堂测试) 1.甲、乙两个港口相距72千米,一艘轮船从甲港出发,顺流航行3小时到达乙港,休息1小时后立即返回;一艘快艇在轮船出发2小时后从乙港出发,逆流航行2小时到达甲港,并立即返回(掉头时间忽略不计).已知水流速度是2千米/时,下图表示轮船和快艇距甲港的距离y(千米)与轮船出发时间x(小时)之间的函数关系式,结合图象解答下列问题: (顺流速度=船在静水中速度+水流速度;逆流速度=船在静水中速度-水流速度) (1)轮船在静水中的速度是千米/时,快艇在静水中的 速度是千米/时; (2)求快艇返回时的解析式,并写出自变量的取值范围; (3)快艇出发多长时间,轮船和快艇在返回途中相距12 千米? 【参考答案】 1. (1)22;38. (2)y=40x-160(4≤x≤5.8). (3)3或3.4. 一次函数应用题(作业) 1.甲、乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行,并以各自的速度匀速行驶.甲车途经C地时休息一小时,然后按原速度继续前进到达B地;乙车从B地直接到达A地,如图是甲、乙两车离B地的距离y(千米)与甲车出发时间x(小时)的函数图象. (1)直接写出a,m,n的值; (2)求出甲车离B地的距离y(千米)与甲车出发时间x(小时)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)当两车相距120千米时,乙车行驶了多长时间? 2.某地区一种商品的需求量y1(万件)、供应量y2(万件)与价格x(元/件)分别近似满足下列函数关系式: y1=-x+60,y2=2x-36.当需求量为0时,即停止供应.当y1=y2时,该商品的价格称为稳定价格,需求量称为稳定需求量. (1)求该商品的稳定价格与稳定需求量. (2)当价格在什么范围时,该商品的需求量低于供应量? (3)当需求量高于供应量时,政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格,以提高供应量.现若要使稳定需求量增加4万件,政府应对每件商品提供多少元补贴,才能使供应量等于需求量? 3.一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发.设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示y与 x之间的函数关系. 根据题中所给信息解答以下问题: (1)甲、乙两地之间的距离为;图中点C的 实际意义为 ;慢车的速度为 快车的速度为 . 2)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,以及自 变量x的取值范围. 参考答案】 1. (1)a=90;m=1.5;n=3.5; 120x300(0≤x≤1.5) (2)y120(1.5x≤2.5) 120x420(2.5x≤3.5) (3)1小时或3小时. 2. (1)该商品的稳定价格是32元,稳定需求量是28万件. (2)32 (3)6元. 3. (1)960km;当慢车行驶6个小时时,快车到达乙地;80km/h,160km/h. (2)y=240x-960(4≤x≤6).
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- 一次 函数 中的 存在 问题 讲义