1014 概率的基本性质.docx
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1014概率的基本性质
10.1.4 概率的基本性质
课标要求
素养要求
通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.
通过具体实例,抽象出概率的性质,掌握概率的运算方法,发展数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
甲、乙两人下棋,甲不输的概率是0.6,两人下成平局的概率是0.3.
问题 甲获胜的概率是多少?
提示 甲、乙两人下棋,甲不输的概率是0.6,两人下成平局的概率是0.3,则甲胜的概率是p=0.6-0.3=0.3.
概率的基本性质一般地,概率有如下性质:
概率的基本性质是解决与概率问题有关问题的重要依据,望同学们一定要牢记
性质1:
对任意的事件A,都有P(A)≥0;
性质2:
必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(∅)=0.
性质3:
如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4:
如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
性质5:
如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).
性质6:
设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
教材拓展补遗
[微判断]
1.任一事件的概率总在(0,1)内.(×)
2.不可能事件的概率不一定为0.(×)
3.必然事件的概率一定为1.(√)
4.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级属于次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一件,恰好是正品的概率为0.96.(√)
5.掷一枚均匀的正六面体骰子,设A表示事件“出现2点”,B表示“出现奇数点”,则P(A∪B)等于
.(√)
提示 任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,故1、2错.
[微训练]
1.在掷骰子的游戏中,向上的数字是5或6的概率是( )
A.
B.
C.
D.1
解析 事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件,且二者发生的概率都是
,所以“向上的数字是5或6”的概率是
+
=
.
答案 B
2.事件A与B是对立事件,且P(A)=0.2,则P(B)=________.
解析 因A与B是对立事件,所以P(A)+P(B)=1,即P(B)=1-P(A)=0.8.
答案 0.8
3.事件A与B是互斥事件,P(A)=0.2,P(B)=0.5,求P(A∪B).
解 因为A与B互斥,故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.5=0.7.
[微思考]
1.在同一试验中,设A,B是两个随机事件,若A∩B=∅,则称A与B是两个对立事件,此说法对吗?
提示 不对,若A∩B=∅,仅能说明A与B的关系是互斥的,只有A∪B为必然事件,A∩B为不可能事件时,A与B才互为对立事件.
2.在同一试验中,对任意两个事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)一定成立吗?
提示 不一定.只有A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.
题型一 互斥事件概率公式的应用
应用公式时要首先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和
【例1】
(1)抛掷一个骰子,观察出现的点,设事件A为“出现1点”,B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=
,求出现1点或2点的概率.
(2)盒子里装有6只红球,4只白球,从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球,2只白球”,事件B表示“3只球中有2只红球,1只白球”.已知P(A)=
,P(B)=
,求这3只球中既有红球又有白球的概率.
解
(1)设事件C为“出现1点或2点”,因为事件A、B是互斥事件,由C=A∪B可得P(C)=P(A)+P(B)=
+
=
,所以出现1点或出现2点的概率是
.
(2)因为A、B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=
+
=
,所以这3只球中既有红球又有白球的概率是
.
规律方法
(1)公式P(A∪B)=P(A)+P(B),只有当A、B两事件互斥时才能使用,如果A、B不互斥,就不能应用这一公式;
(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.
【训练1】 在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表:
年最高水位(单位:
m)
[8,10)
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18)
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内,这条河流这一处的年最高水位(单位:
m)在下列范围内的概率:
(1)[10,16);
(2)[8,12);(3)[14,18).
解 记该河流这一处的年最高水位(单位:
m)在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18)分别为事件A,B,C,D,E,且彼此互斥.
(1)P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82.
(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38.
(3)P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.
所以年最高水位(单位:
m)在[10,16),[8,12),[14,18)的概率分别为0.82,0.38,0.24.
题型二 对立事件概率公式的应用
若题中含有“至多”“至少”等字眼时,通常考虑用对立事件公式求解概率
【例2】 甲、乙两人下棋,和棋的概率为
,乙获胜的概率为
,求:
(1)甲获胜的概率;
(2)甲不输的概率.
解
(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件,所以“甲获胜”的概率p=1-
-
=
.
即甲获胜的概率是
.
(2)法一 设事件A为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=
+
=
.
法二 设事件A为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P(A)=1-
=
.
即甲不输的概率是
.
规律方法 对立事件也是比较重要的事件,利用对立事件的概率公式求解时,必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.
【训练2】 某战士射击一次,未中靶的概率为0.05,求中靶的概率.
解 某战士射击一次,要么中靶,要么未中靶,因此,设某战士射击一次,“中靶”为事件A,则其对立事件B为“未中靶”,于是P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95.
所以某战士射击一次,中靶的概率是0.95.
题型三 概率性质的综合应用
【例3】 某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:
七年级
八年级
九年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率为0.19.
(1)求x的值;
(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生,问:
应在九年级中抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求九年级中女生比男生少的概率.
解
(1)∵
=0.19,∴x=380.
(2)九年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500,现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生,应在九年级抽取的人数为
×48=12.
(3)设九年级女生比男生少为事件A,则
为九年级女生比男生多或九年级男生和女生同样多.九年级女生数、男生数记为(y,z),由
(2)知y+z=500,y,z∈N.满足题意的所有样本点是(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245),共11个,事件
包含的样本点是(250,250),(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245),共6个.∴P(
)=
.
因此,P(A)=1-
=
.
规律方法 求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法:
一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率,再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.
【训练3】 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;
(2)求他不乘轮船去的概率;
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘哪种交通工具?
解
(1)记“他乘火车”为事件A,“他乘轮船”为事件B,“他乘汽车”为事件C,“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生,故它们彼此互斥,所以P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为p,则
p=1-P(B)=1-0.2=0.8,
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5,
P(C)+P(D)=0.1+0.4=0.5,
故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.
一、素养落地
1.通过学习概率的基本性质提升数学抽象素养.通过随机事件概率的运算培养数学运算素养.
2.互斥事件概率的加法公式是一个基本的计算公式,解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B).
3.求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件;
(2)先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率.
二、素养训练
1.若A,B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,则P(B)等于( )
A.0.3B.0.7C.0.1D.1
解析 ∵A,B是互斥事件,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5,
∵P(A)=0.2,∴P(B)=0.5-0.2=0.3.故选A.
答案 A
2.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则( )
A.A⊆B
B.A=B
C.A+B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
解析 A+B表示A与B的和事件,即A+B表示向上的点数是1或2或3,故选C.
答案 C
3.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=( )
A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8
解析 因为A与B互斥,B与C对立,所以P(B)=1-P(C)=0.4,P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7.
答案 C
4.小明需要从甲城市编号为1~14的14个工厂或乙城市编号为15~32的18个工厂中选择一个去实习,设“小明在甲城市实习”为事件A,“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B,则P(A+B)=( )
A.
B.
C.
D.
解析 P(A+B)=P(A)+P(B)=
+
=
.
答案 B
基础达标
一、选择题
1.若A,B是互斥事件,则( )
A.P(A∪B)<1B.P(A∪B)=1
C.P(A∪B)>1D.P(A∪B)≤1
解析 ∵A,B互斥,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1(当A,B对立时,P(A∪B)=1).
答案 D
2.某射手在一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )
A.0.5B.0.3C.0.6D.0.9
解析 此射手在一次射击中不超过8环的概率为1-0.2-0.3=0.5,故选A.
答案 A
3.从1,2,3,4中选取两个不同数字组成两位数,则这个两位数能被4整除的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 从1,2,3,4中选取两个不同数字组成所有两位数为:
12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共12个样本点,其中能被4整除的有:
12,24,32,共3个样本点,所以这个两位数能被4整除的概率为p=
=
.
答案 B
4.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,有16种不同的选法,周六、周日都有同学参加公益活动有16-2=14(种)不同的选法,所以所求的概率为
=
.
答案 D
5.下列四种说法:
①对立事件一定是互斥事件;
②若A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B);
③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;
④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.
其中错误的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解析 对立事件一定是互斥事件,故①对;
只有A,B为互斥事件时才有P(A+B)=P(A)+P(B),故②错;
因A,B,C并不一定包括随机试验中的全部样本点,
故P(A)+P(B)+P(C)并不一定等于1,故③错;
若A,B不互斥,尽管P(A)+P(B)=1,
但A,B不是对立事件,故④错.
答案 D
二、填空题
6.口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球,随机摸出一球,是红球的概率为0.45,是红球或黄球的概率为0.64,则摸出是红球或蓝球的概率是________.
解析 由题意,得摸出是黄球的概率为0.64-0.45=0.19,
∴摸出是红球或蓝球的概率为:
1-0.19=0.81.
答案 0.81
7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为
,乙夺得冠军的概率为
,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
解析 由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥,故所求事件的概率为
+
=
.
答案
8.向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,炸中第二、三个军火库的概率均为0.1,只要炸中一个,另两个也会发生爆炸,三个军火库都爆炸的概率为________.
解析 设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件,D表示三个军火库都爆炸,则P(A)=0.025,P(B)=0.1,P(C)=0.1.其中A、B、C互斥,故P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.
答案 0.225
三、解答题
9.一名射击运动员在一次射击中射中10环,9环,8环,7环,7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这名射击运动员在一次射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)至少射中7环的概率;
(3)射中环数小于8环的概率.
解 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A,B,C,D,E,可知它们彼此之间互斥,且P(A)=0.24,P(B)=0.28,P(C)=0.19,P(D)=0.16,P(E)=0.13.
(1)P(射中10环或9环)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件,则P(至少射中7环)=1-P(E)=1-0.13=0.87.
所以至少射中7环的概率为0.87.
(3)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件,
则P(射中环数小于8环)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29.
10.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球,取到红球的概率是
,取到黑球或黄球的概率是
,取到黄球或绿球的概率是
.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.
解 从袋中任取一球,记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A,B,C,D,则事件A,B,C,D显然是两两互斥的.
由题意得
则
解得
故取到黑球的概率是
,取到黄球的概率是
,取到绿球的概率是
.
能力提升
11.设事件A的对立事件为B,已知事件B的概率是事件A的概率的2倍,则事件A的概率是________.
解析 由题意得
解得P(A)=
,P(B)=
.
答案
12.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:
派出人数
≤2
3
4
5
≥6
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率;
(2)求至少有3人外出家访的概率.
解
(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,
P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下,所以由对立事件的概率可知,p=1-P(A)=1-0.1=0.9.
创新猜想
13.(多填题)掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率为
,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件
的概率为P(
)=________,事件A+
(
表示事件B的对立事件)发生的概率为________.
解析 由题意知,
表示“大于或等于5的点数出现”,则P(
)=
=
,事件A与事件
互斥,由概率的加法计算公式可得P(A+
)=P(A)+P(
)=
+
=
=
.
答案
14.(多填题)围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为
,从中取出2粒都是白子的概率是
.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________,任取出2粒恰好不同色的概率是________.
解析 易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件,故所求的概率为
+
=
.不同色的概率为1-
=
.
答案
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