最新中考数学考前复习第22课时矩形菱形正方形5年真题.docx
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最新中考数学考前复习第22课时矩形菱形正方形5年真题
第五章四边形
第22课时矩形、菱形、正方形
江苏近5年中考真题精选(2013~2017)
命题点1
(盐城4考,淮安2考,宿迁3考)
1.(2017淮安8题3分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是( )
A.3
B.6 C.4 D.5
第1题图第2题图
2.(2013宿迁12题3分)如图,一个平行四边形的活动框架,对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条对角线长度也在发生改变.当∠α为____度时,两条对角线长度相等.
3.(2017徐州17题3分)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上,且AQ=AD,连接DQ并延长,与边BC交于点P,则线段AP=________.
第3题图 第4题图
4.(2015无锡14题3分)如图,已知矩形ABCD的对角线长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH的周长等于________cm.
5.(2015淮安21题8分)已知:
如图,在矩形ABCD中,点E、F在边AD上,且AE=DF.求证:
BF=CE.
第5题图
6.(2016南通25题8分)如图,将▱ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB,连接DE,交边BC于点F.
(1)求证:
△BEF≌△CDF;
(2)连接BD、CE,若∠BFD=2∠A,求证:
四边形BECD是矩形.
第6题图
7.(2016扬州23题10分)如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.
(1)求证:
四边形AECF是平行四边形;
(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.
第7题图
命题点2
(盐城2考,淮安1考)
8.(2014徐州7题3分)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是( )
A.矩形
B.等腰梯形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形
9.(2015南京24
(2)题4分)如图,AB∥CD,点E、F分别在AB、CD上,连接EF.∠AEF、∠CFE的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.
第9题图
小明在证明四边形EGFH是矩形后继续进行了探索,过G作MN∥EF,分别交AB、CD于点M、N,过H作PQ∥EF,分别交AB、CD于点P、Q,得到四边形MNQP,此时,他猜想四边形MNQP是菱形,请在下列框图中补全他的证明思路.
小明的证明思路:
由AB∥CD,MN∥EF,PQ∥EF,易证四边形MNQP是平行四边形,要证▱MNQP是菱形,只要证NM=NQ.由已知条件________,MN∥EF,可证NG=NF,故只要证GM=FQ,即证△MGE≌△QFH,易证______,______,故只要证∠MGE=∠QFH,易证∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,______,即可得证.)
10.(2014淮安21题8分)如图,在三角形纸片ABC中,AD平分∠BAC,将△ABC折叠,使点A与点D重合,展开后折痕分别交AB、AC于点E、F,连接DE、DF.求证:
四边形AEDF是菱形.
第10题图
11.(2014镇江20题6分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点O,点E在AO上,且OE=OC.
(1)求证:
∠1=∠2;
(2)连接BE、DE,判断四边形BCDE的形状,并说明理由.
第11题图
12.(2013盐城23题10分)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE、BD且AE=AB.
(1)求证:
∠ABE=∠EAD;
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:
四边形ABCD是菱形.
第12题图
13.(2017盐城22题10分)如图,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.
(1)求证:
四边形BEDF为平行四边形;
(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?
请说明理由.
第13题图
命题点3
(盐城3考,淮安3考,宿迁2考)
14.(2016无锡8题3分)下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A.对角线相等B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直D.邻边互相垂直
第15题图
15.(2013扬州7题3分)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
16.(2013淮安17题3分)若菱形的两条对角线长分别为2和3,则此菱形的面积是________.
第17题图
17.(2016扬州15题3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E为AD的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长为________.
18.(2016淮安21题8分)已知:
如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为边CD、AD的中点,连接AE、CF,求证:
△ADE≌△CDF.
第18题图
19.(2014盐城25题10分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F,连接BE、DF.
(1)求证:
四边形BFDE是平行四边形;
(2)若EF⊥AB,垂足为M,tan∠MBO=
,求EM∶MF的值.
第19题图
20.(2015盐城26题10分)如图,把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中,使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上.已知EP=FP=4,EF=4
,∠BAD=60°,且AB>4
.
(1)求∠EPF的大小;
(2)若AP=6,求AE+AF的值;
(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.
第20题图
命题点4
(盐城1考,淮安1考,宿迁3考)
21.(2015连云港5题3分)已知四边形ABCD,下列说法正确的是( )
A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形
第22题图
22.(2013连云港8题3分)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为( )
A.1 B.
C.4-2
D.3
-4
23.(2016南京16题3分)如图,菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为________cm.
第23题图 第24题图
24.(2014泰州16题3分)如图,正方形ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点.∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q,若PQ=AE,则AP等于________cm.
25.(2016无锡21题8分)已知:
如图,正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为BA延长线上一点,且CE=AF,连接DE、DF.
求证:
DE=DF.
第25题图
26.(2013南京19题8分)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N.
(1)求证:
∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:
四边形MPND是正方形.
第26题图
27.(2017泰州22题10分)如图,正方形ABCD中,G为BC边上一点,BE⊥AG于E,DF⊥AG于F,连接DE.
(1)求证:
△ABE≌△DAF;
(2)若AF=1,四边形ABED的面积为6,求EF的长.
第27题图
28.(2015泰州25题12分)如图,正方形ABCD的边长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:
四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由;
(3)求四边形EFGH面积的最小值.
第28题图
答案
1.B 【解析】由折叠可知,∠BAE=∠EAC,∵∠EAC=∠ECA,∴∠BAC=2∠BCA,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,∴∠BAC+∠BCA=3∠ACB=90°,∴∠ACB=30°,∵AB=3,∴AC=2AB=6.
2.90 【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形,可以得到∠α=90°.
3.
【解析】∵AC=
=5,AQ=AD=3,∴CQ=2,又∵AD=AQ,∴∠ADQ=∠AQD.∵∠CQP=∠AQD,∴∠ADQ=∠CQP,∵AD∥BC,∴∠ADQ=∠CPQ,∴∠CQP=∠CPQ,∴CP=CQ=2,∴BP=3-2=1,∴AP=
=
=
.
4.16 【解析】如解图,连接AC、BD,∵在△ABC中,E、F分别为AB、BC的中点,∴EF=
AC=4,同理可得,HG=
AC=4,EH=FG=
BD=4,∴四边形EFGH的周长等于16cm.
第4题解图
5.证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠D=90°,(3分)
∵AE=DF,
∴AF=DE,(5分)
∴△ABF≌△DCE(SAS),(7分)
∴BF=CE.(8分)
6.证明:
(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,
∵BE=AB,BE在AB的延长线上,
∴BE∥CD,
∴∠BEF=∠CDF,∠FBE=∠FCD,
∴△BEF≌△CDF(ASA);(4分)
(2)由
(1)证得BE∥CD,
∴四边形BECD为平行四边形,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠FCD=∠A,
∵∠BFD=∠FCD+∠FDC,∠BFD=2∠A,
∴∠FDC=∠A,∴∠FDC=∠FCD,
∴FD=FC,(6分)
由
(1)知,△BEF≌△CDF,
∴BF=CF,EF=DF,
∴BC=DE,
∴四边形BECD是矩形.(8分)
7.
(1)证明:
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA,
由折叠的性质知,∠EAC=
∠BAC,∠FCA=
∠DCA,
∴∠EAC=∠FCA,
∴AE∥CF,
又∵AD∥BC,
∴四边形AECF为平行四边形;(5分)
(2)解:
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=∠D=90°,
∴在Rt△ABC中,AB=6,AC=10,由勾股定理得BC=
=8,
由折叠的性质知,∠ABC=∠AME=90°,BE=EM,(6分)
在Rt△CEM中,CM=AC-AM=10-6=4,(8分)
设CE=x,则BE=EM=8-x,
由勾股定理得ME2+CM2=EC2,
即(8-x)2+16=x2,
解得x=5,
∵由
(1)得,四边形AECF为平行四边形,
∴S四边形AECF=EC·CD=5×6=30.(10分)
8.C 【解析】如解图,根据题意得四边形EFGH是菱形,点E,F,G,H分别是边AD,AB,BC,CD的中点,∴EF=FG=GH=EH,BD=2EF,AC=2FG,∴BD=AC,∴原四边形一定是对角线相等的四边形.故选C.
第8题解图
9.FG平分∠CFE;GE=FH;∠GME=∠FQH;∠GEF=∠EFH(答案不唯一).
10.证明:
如解图,设EF与AD交于点O,
第10题解图
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAO=∠FAO,(2分)
由折叠性质可知AO=DO,EF⊥AD,
∴∠AOE=∠AOF=90°,(3分)
在△AEO和△AFO中,
,
∴△AEO≌△AFO(ASA),(5分)
∴EO=FO,
即EF、AD相互平分,
∴四边形AEDF是平行四边形,(7分)
又∵EF⊥AD,
∴平行四边形AEDF为菱形.(8分)
11.
(1)证明:
在△ABC与△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠1=∠2;(3分)
(2)解:
如解图,连接BE、DE,
四边形BCDE为菱形,理由如下:
第11题解图
∵BC=DC,∠1=∠2,OC=OC,
∴△COB≌△COD(SAS),
∴OD=OB,OC⊥BD,
又∵OE=OC,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∵OC⊥BD,
∴四边形BCDE是菱形.(6分)
12.证明:
(1)在平行四边形ABCD中,AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD,(2分)
∵AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB,
∴∠ABE=∠EAD;(4分)
(2)∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBE,
∵∠ABE=∠AEB,∠AEB=2∠ADB,
∴∠ABE=2∠ADB,
∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB,
∴AB=AD,(8分)
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.(10分)
13.
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC,
∴∠ABD=∠CDB,(2分)
∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,
∴∠EBD=
∠ABD,∠FDB=
∠CDB,
∴∠EBD=∠FDB,
∴DF∥EB,
又∵AD∥BC,
∴四边形BEDF是平行四边形;(5分)
(2)解:
当∠ABE=30°时,四边形BEDF是菱形,
∵BE平分∠ABD,
∴∠ABD=2∠ABE=60°,∠EBD=∠ABE=30°,(8分)
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∴∠EDB=90°-∠ABD=30°,
∴∠EDB=∠EBD=30°,
∴EB=ED,
又∵四边形BEDF是平行四边形,
∴四边形BEDF是菱形.(10分)
14.C 【解析】根据矩形的对角线互相平分且相等和菱形的对角线互相垂直平分、矩形的邻边互相垂直,即可得出答案.
选项
菱形
矩形
结论
A
不一定
一定
B
一定
一定
C
一定
不一定
√
D
不一定
一定
15.B 【解析】如解图,连接BF,在菱形ABCD中,∠BAC=
∠BAD=
×80°=40°,∠BCF=∠DCF,BC=CD,∠ABC=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∵EF是线段AB的垂直平分线,∴AF=BF,∠ABF=∠BAC=40°,∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=100°-40°=60°,∵在△BCF和△DCF中,
,∴△BCF≌△DCF(SAS),∴∠CDF=∠CBF=60°.
第15题解图
16.3 【解析】S菱形=
×2×3=3.
17.24 【解析】∵四边形ABCD为菱形,∴OA=OC,∵E为AD边中点,∴OE是△ACD的中位线,∵OE=
CD=3,∴CD=6,∴菱形ABCD的周长为24.
18.证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,(2分)
又∵F、E分别为边AD、CD中点,
∴DE=DF,(4分)
在△ADE和△CDF中,
,
∴△ADE≌△CDF(SAS).(8分)
19.
(1)证明:
在菱形ABCD中,AD∥BC,OA=OC,OB=OD,
∴∠AEO=∠CFO,
在△AEO和△CFO中,
,
∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴OE=OF,
又∵OB=OD,
∴四边形BFDE是平行四边形;(5分)
(2)解:
设OM=x,
∵EF⊥AB,tan∠MBO=
,
∴BM=2x,
又∵AC⊥BD,
∴∠M=∠M,∠OAM=∠BOM,
∴△AOM∽△OBM,(8分)
∴
=
,
∴AM=
=
x,
∵AD∥BC,
∴△AEM∽△BFM,
∴EM∶FM=AM∶BM=
x∶2x=1∶4.(10分)
20.解:
(1)如解图①,过点P作PG⊥EF于点G,
第20题解图①
∵EP=FP=4,EF=4
,
∴在Rt△PGF中,FG=EG=2
,PG=
=2,
∴PG=
PF,∠PEF=∠PFE=30°,
∴∠EPF=180°-2×30°=120°;(3分)
【一题多解】如解图①,过点P作PG⊥EF于点G,
∵PE=PF,
∴FG=EG=
EF=2
,
∴∠FPG=∠EPG=
∠EPF,
在△FPG中,sin∠FPG=
=
=
,
∴∠FPG=60°,
∴∠EPF=2∠FPG=120°.(3分)
(2)如解图①,作PM⊥AB于点M,PN⊥AD于点N,
在菱形ABCD中,AD=AB,DC=BC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠DAC=∠BAC,
∴点P到AB、AD两边距离相等,
即PM=PN.(4分)
在Rt△PME和Rt△PNF中,
∵PM=PN,PE=PE,
∴Rt△PME≌Rt△PNF,
∴FN=EM.
在Rt△PMA中,∠PMA=90°,∠PAM=
∠DAB=30°,
∴AM=AP·cos30°=3
,
同理AN=3
.
∴AE+AF=(AM-EM)+(AN+NF)=AM+AN=6
;(6分)
(3)如解图②,当EF⊥AC,点P在EF的右侧时,AP有最大值,
第20题解图②
当EF⊥AC,点P在EF的左侧时,AP有最小值,
设AC与EF交于点O,
∵PE=PF,
∴OF=
EF=2
,(8分)
∵∠FPA=60°,
∴OP=2,
∵∠BAD=60°,
∴∠FAO=30°,
在Rt△AOE中,OF=2
,∠FAO=30°,
∴AO=6,
∴AP=AO+PO=8,
同理AP′=AO-OP′=4,
∴AP的最大值是8,最小值是4.(10分)
21.B
选项
逐项分析
正误
A
一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形
×
B
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
√
C
只有两条对角线相等且互相平分的四边形才是矩形
×
D
只有两条对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形
×
22.C 【解析】在正方形ABCD中,∠ABD=∠ADB=45°,∵∠BAE=22.5°,∴∠DAE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,在△ADE中,∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°,∴∠DAE=∠AED,∴AD=DE=4,在Rt△BAD中,根据勾股定理得BD=
=4
,∴BE=BD-DE=4
-4,∵EF⊥AB,∠ABD=45°,∴△BEF是等腰直角三角形,∴EF=BE·cos45°=
×(4
-4)=4-2
.
23.13 【解析】如解图,连接AC,BD,∵菱形的面积等于对角线乘积的一半,∴S菱形ABCD=
AC·BD=120,∴AC·BD=240,又∵菱形对角线互相垂直平分,∴2OA·2OB=240,∴OA·OB=60,∵正方形AECF的面积等于边长的平方,∴AE2=50,又∵OA2+OE2=AE2,OA=OE,∴OA=5,∴OB=12,∴AB=
=
=13.
第23题解图
24.1或2 【解析】根据题意画出图形,过点P作PN⊥BC,交BC于点N,如解图,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC=PN,在Rt△ADE中,∠DAE=30°,AD=3cm,∴tan30°=
,∴DE=
cm,根据勾股定理得AE=
=2
cm,∵M为AE的中点,∴AM=
AE=
cm,在Rt△ADE和Rt△PNQ中,
,∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL),∴DE=NQ,∠DAE=∠NPQ=30°,∵PN∥DC,∴∠PFA=∠DEA=60°,∴∠PMF=90°,即PM⊥AF,在Rt△AMP中,∠MAP=30°,cos30°=
,∴AP=
=
=2cm;由对称性得到AP′=DP=AD-AP=3-2=1cm,综上,AP等于1cm或2cm.
第24题解图
25.证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠DAB=∠DCE=90°,
∴∠DAF=∠DCE=90°,
在△DAF和△DCE中,(3分)
∴△DAF≌△DCE(SAS),(6分)
∴DE=DF.(8分)
26.证明:
(1)∵对角线BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
,
∴△ABD≌△CBD(SAS),(3分)
∴∠ADB=∠CDB;(4分)
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°,
又∵∠ADC=90°,
∴四边形MPND是矩形,(6分)
由
(1)知,∠ADB=∠CDB,
∴PM=PN,
∴四边形MPND是正方形.(8分)
27.
(1)证明:
在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,(2分)
∴∠BAE+∠DAF=90°,
∵BE⊥AG,DF⊥AG,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠DAF=∠ABE,(4分)
在△ABE和△DAF中,
,
∴△ABE≌△DAF(AAS);(5分)
(2)解:
∵△ABE≌△DAF,
∴BE=AF=1,AE=DF,(7分)
∵S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=6,
即
BE·AE+
AE·DF=6,
∴
AE+
AE2=6,(9分)
解得AE=3或AE=-4(不合题意,舍去),
∴EF=AE-AF=2.(10分)
28.
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,
∵AE=DH=CG,
∴AH=DG,
∵∠A=∠D,
∴△AHE≌△DGH(SAS),(2分)
∴EH=GH,∠AHE=∠DGH,
∵∠DGH+∠DHG=90°,
∴∠AHE+∠DHG=90°,
∴∠EHG=90°,
同理EH=EF=FG,
则EH=GH=GF=FE,
∴四边形EFGH是正方形;(4分)
(2)解:
是,直线EG经过正方形ABCD的中心.理由如下:
如解图,连接BD,EG,DE,BG,
第28题解图
∵BE=DG,BE∥DG,
∴四边形BGDE是平行四边形,
∴OB=OD,OE=OG,
∴点O为正方形ABCD的对角线AC、BD的交点,即O为正方形ABCD的中心,
∴直线EG经过正方形ABCD的中心;(8分)
(3)解:
设四边形EFGH的面积为y,AE=x,则AH=8-x,
在Rt△AEH中,由勾股定理得EH2=AE2+AH2,而四边形EFGH的面积y=EH2,
∴y=x2+(8-x)2=2(x-4)2+32,
∴当x=4时,y有最小值为32.
即四边形EFGH面积的最小值是32cm2.(12分)
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