七年级上册上册数学压轴题专题练习(解析版).doc
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七年级上册上册数学压轴题专题练习(解析版).doc
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七年级上册上册数学压轴题专题练习(解析版)
一、压轴题
1.已知M,N两点在数轴上所表示的数分别为m,n,且m,n满足:
|m﹣12|+(n+3)2=0
(1)则m= ,n= ;
(2)①情境:
有一个玩具火车AB如图所示,放置在数轴上,将火车沿数轴左右水平移动,当点A移动到点B时,点B所对应的数为m,当点B移动到点A时,点A所对应的数为n.则玩具火车的长为 个单位长度:
②应用:
一天,小明问奶奶的年龄,奶奶说:
“我若是你现在这么大,你还要40年才出生呢;你若是我现在这么大,我已是老寿星,116岁了!
”小明心想:
奶奶的年龄到底是多少岁呢?
聪明的你能帮小明求出来吗?
(3)在
(2)①的条件下,当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动,同时点P和点Q从N、M出发,分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动.记火车AB运动后对应的位置为A′B′.是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关?
若存在,请求出k和这个定值;若不存在,请说明理由.
2.一般情况下是不成立的,但有些数可以使得它成立,例如:
.我们称使得成立的一对数为“相伴数对”,记为.
(1)若为“相伴数对”,试求的值;
(2)请写出一个“相伴数对”,其中,且,并说明理由;
(3)已知是“相伴数对”,试说明也是“相伴数对”.
3.如图,点A、B是数轴上的两个点,它们分别表示的数是和1.点A与点B之间的距离表示为AB.
(1)AB=.
(2)点P是数轴上A点右侧的一个动点,它表示的数是,满足,求的值.
(3)点C为6.若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动.请问:
的值是否随着运动时间t(秒)的变化而改变?
若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
4.某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式:
甲超市:
全场均按八八折优惠;
乙超市:
购物不超过200元,不给于优惠;超过了200元而不超过500元一律打九折;超过500元时,其中的500元优惠10%,超过500元的部分打八折;
已知两家超市相同商品的标价都一样.
(1)当一次性购物总额是400元时,甲、乙两家超市实付款分别是多少?
(2)当购物总额是多少时,甲、乙两家超市实付款相同?
(3)某顾客在乙超市购物实际付款482元,试问该顾客的选择划算吗?
试说明理由.
5.如图,数轴上点,表示的有理数分别为,3,点是射线上的一个动点(不与点,重合),是线段靠近点的三等分点,是线段靠近点的三等分点.
(1)若点表示的有理数是0,那么的长为________;若点表示的有理数是6,那么的长为________;
(2)点在射线上运动(不与点,重合)的过程中,的长是否发生改变?
若不改变,请写出求的长的过程;若改变,请说明理由.
6.如图,数轴上,两点对应的数分别为,-
(1)求线段长度
(2)若点在数轴上,且,求点对应的数
(3)若点的速度为个单位长度/秒,点的速度为个单位长度/秒,点的速度为个单位长度/秒,点,,同时向右运动,几秒后,
7.如图,已知点、是数轴上两点,为原点,,点表示的数为4,点、分别从、同时出发,沿数轴向不同的方向运动,点速度为每秒1个单位.点速度为每秒2个单位,设运动时间为,当的长为5时,求的值及的长.
8.如图1,在数轴上A、B两点对应的数分别是6,-6,∠DCE=90°(C与O重合,D点在数轴的正半轴上)
(1)如图1,若CF平分∠ACE,则∠AOF=_______;
(2)如图2,将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t(0 ①当t=1时,α=_________; ②猜想∠BCE和α的数量关系,并证明; (3)如图3,开始∠D1C1E1与∠DCE重合,将∠DCE沿数轴正半轴向右平移t(0 9.如图①,已知线段,,线段在线段上运动,、分别是、的中点. (1)若,则______; (2)当线段在线段上运动时,试判断的长度是否发生变化? 如果不变请求出的长度,如果变化,请说明理由; (3)我们发现角的很多规律和线段一样,如图②已知在内部转动,、分别平分和,则、和有何数量关系,请直接写出结果不需证明. 10.如图,点O在直线AB上,OC⊥AB,△ODE中,∠ODE=90°,∠EOD=60°,先将△ODE一边OE与OC重合,然后绕点O顺时针方向旋转,当OE与OB重合时停止旋转. (1)当OD在OA与OC之间,且∠COD=20°时,则∠AOE=______; (2)试探索: 在△ODE旋转过程中,∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化? 若不变,请求出这个差值;若变化,请说明理由; (3)在△ODE的旋转过程中,若∠AOE=7∠COD,试求∠AOE的大小. 11.点A在数轴上对应的数为﹣3,点B对应的数为2. (1)如图1点C在数轴上对应的数为x,且x是方程2x+1=x﹣5的解,在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC+AB? 若存在,求出点P对应的数;若不存在,说明理由; (2)如图2,若P点是B点右侧一点,PA的中点为M,N为PB的三等分点且靠近于P点,当P在B的右侧运动时,有两个结论: ①PM﹣BN的值不变;②BN的值不变,其中只有一个结论正确,请判断正确的结论,并求出其值 12.一般地,个相同的因数相乘,记为,如,此时,3叫做以2为底8的对数,记为(即).一般地,若且,则叫做以为底的对数,记为(即).如,则4叫做以3为底81的对数,记为(即). (1)计算下列各对数的值: ;;. (2)观察 (1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式,之间又满足怎样的关系式; (3)由 (2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗? (4)根据幂的运算法则: 以及对数的含义说明上述结论. 【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除 一、压轴题 1. (1)m=12,n=﹣3; (2)①5;②应64岁;(3)k=6,15 【解析】 【分析】 (1)由非负性可求m,n的值; (2)①由题意可得3AB=m﹣n,即可求解;②由题意列出方程组,即可求解; (3)用参数t分别表示出PQ,B'A的长度,进而用参数t表示出3PQ﹣kB′A,即可求解. 【详解】 解: (1)∵|m﹣12|+(n+3)2=0, ∴m﹣12=0,n+3=0, ∴m=12,n=﹣3; 故答案为: 12,﹣3; (2)①由题意得: 3AB=m﹣n, ∴AB==5, ∴玩具火车的长为: 5个单位长度, 故答案为: 5; ②能帮小明求出来,设小明今年x岁,奶奶今年y岁, 根据题意可得方程组为: , 解得: , 答: 奶奶今年64岁; (3)由题意可得PQ=(12+3t)﹣(﹣3﹣t)=15+4t,B'A=5+2t, ∵3PQ﹣kB′A=3(15+4t)﹣k(5+2t)=45﹣5k+(12﹣2k)t,且3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关, ∴12﹣2k=0, ∴k=6 ∴3PQ﹣kB′A=45﹣30=15 【点睛】 本题主要考查数轴上的动点问题,关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离,体现了数形结合思想和方程思想. 2. (1); (2)(答案不唯一);(3)见解析 【解析】 【分析】 (1)根据“相伴数对”的定义,将代入,从而求算答案; (2)先根据“相伴数对”的定义算出a、b之间的关系为: ,满足条件即可; (3)将将代入得出,再将代入得到,分别去计算等式左右两边,看是否恒等即可. 【详解】 解: (1)∵为“相伴数对”,将代入得: ,去分母得: 解得: (2)化简得: 只要满足这个等量关系即可,例如: (答案不唯一) (3)∵是“相伴数对” 将代入: ∴,化简得: 将代入得到: 将: 代入 左边= 右边= ∴左边=右边 ∴当是“相伴数对”时,也是“相伴数对” 【点睛】 本题考查定义新运算,正确理解定义是解题关键. 3. (1)3. (2)存在.x的值为3.(3)不变,为2. 【解析】 【分析】 (1)根据非负数的性质和数轴上两点间距离即可求解; (2)分两种情况讨论,根据数轴上两点间的距离公式列方程即可求解; (3)先确定运动t秒后,A、B、C三点对应的数,再根据数轴上两点间的距离公式列方程即可求解. 【详解】 解: (1)∵点A、B是数轴上的两个点,它们分别表示的数是和1 ∴A,B两点之间的距离是1-(-2)=3. 故答案为3. (2)存在.理由如下: ①若P点在A、B之间, x+2+1-x=7,此方程不成立; ②若P点在B点右侧, x+2+x-1=7,解得x=3. 答: 存在.x的值为3. (3)的值不随运动时间t(秒)的变化而改变,为定值,是2.理由如下: 运动t秒后,A点表示的数为-2-t,B点表示的数为1+2t,C点表示的数为6+5t. 所以AB=1+2t-(-2-t)=3+3t. BC=6+5t-(1+2t)=5+3t. 所以BC-AB=5+3t-3-3t=2. 【点睛】 本题考查了一元一次方程、数轴、非负数、两点之间的距离,解决本题的关键是数轴上动点的运动情况. 4. (1)甲超市实付款352元,乙超市实付款360元; (2)购物总额是625元时,甲、乙两家超市实付款相同;(3)该顾客选择不划算. 【解析】 【分析】 (1)根据两超市的促销方案,即可分别求出: 当一次性购物标价总额是400元时,甲、乙两超市实付款; (2)设当标价总额是x元时,甲、乙超市实付款一样.根据两超市的促销方案结合两超市实付款相等,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论; (3)设购物总额是x元,根据题意列方程求出购物总额,然后计算若在甲超市购物应付款,比较即可得出结论. 【详解】 (1)甲超市实付款: 400×0.88=352元,乙超市实付款: 400×0.9=360元; (2)设购物总额是x元,由题意知x>500,列方程: 0.88x=500×0.9+0.8(x-500) ∴x=625 ∴购物总额是625元时,甲、乙两家超市实付款相同. (3)设购物总额是x元,购物总额刚好500元时,在乙超市应付款为: 500×0.9=450(元),482>450,故购物总额超过500元.根据题意得: 500×0.9+0.8(x-500)=482 ∴x=540 ∴0.88x=475.2<482 ∴该顾客选择不划算. 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是: (1)根据两超市的促销方案,列式计算; (2)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(3)求出购物总额. 5. (1)6;6; (2)不发生改变,MN为定值6,过程见解析 【解析】 【分析】 (1)由点P表示的有理数可得出AP、BP的长度,根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度,再由MN=MP+NP(或MN=MP-NP),即可求出MN的长度; (2)分-6<a<3及a>3两种情况考虑,由点P表示的有理数可得出AP、BP的长度(用含字母a的代数式表示),根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度(用含字母a的代数式表示),再由MN=MP+NP(或MN=MP-NP),即可求出MN=6为固定值. 【详解】 解: (1)若点P表示的有理数是0(如图1),则AP=6,BP=3. ∵M是线段AP靠近点A的三等分点,N是线段BP靠近点B的三等分点. ∴MP=AP=4,NP=BP=2, ∴MN=MP+NP=6; 若点P表示的有理数是6(如图2),则AP=12,BP=3. ∵M是线段AP靠近点A的三等分点,N是线段BP靠近点B的三等分点. ∴MP=AP=8,NP=BP=2, ∴MN=MP-NP=6. 故答案为: 6;6. (2)MN的长不会发生改变,理由如下: 设点P表示的有理数是a(a>-6且a≠3). 当-6<a<3时(如图1),AP=a+6,BP=3-a. ∵M是线段AP靠近点A的三等分点,N是线段BP靠近点B的三等分点. ∴MP=AP=(a+6),NP=BP=(3-a), ∴MN=MP+NP=6; 当a>3时(如图2),AP=a+6,BP=a-3. ∵M是线段AP靠近点A的三等分点,N是线段BP靠近点B的三等分点. ∴MP=AP=(a+6),NP=BP=(a-3), ∴MN=MP-NP=6. 综上所述: 点P在射线AB上运动(不与点A,B重合)的过程中,MN的长为定值6. 【点睛】 本题考查了两点间的距离,解题的关键是: (1)根据三点分点的定义找出MP、NP的长度; (2)分-6<a<3及a>3两种情况找出MP、NP的长度(用含字母a的代数式表示). 6. (1)3; (2)或;(3)秒或秒 【解析】 【分析】 (1)根据数轴上两点间距离即可求解; (2)设点D对应的数为x,可得方程,解之即可; (3)设t秒后,OA=3OB,根据题意可得,解之即可. 【详解】 解: (1)∵A、B两点对应的数分别为-4,-1, ∴线段AB的长度为: -1-(-4)=3; (2)设点D对应的数为x,∵DA=3DB, 则, 则或, 解得: x=或x=, ∴点D对应的数为或; (3)设t秒后,OA=3OB, 则有: , 则, 则或, 解得: t=或t=, ∴秒或秒后,OA=3OB. 【点睛】 本题考查了一元一次方程的运用,数轴的运用和绝对值的运用,解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法. 7.,或t=3,AP=11. 【解析】 【分析】 根据题意可以分两种情况: ①当向左、向右运动时,根据PQ=OP+OQ+BO列出关于t的方程求解,再求出AP的长;②当向右、向左运动时,根据PQ=OP+OQ-BO列出关于t的方程求解,再求出AP的长. 【详解】 解: ∵,,∴. 根据题意可知,OP=t,OQ=2t. ①当向左、向右运动时,则PQ=OP+OQ+BO, ∴,∴. 此时OP=,; ②当向右、向左运动时,PQ=OP+OQ-BO, ∴,∴. 此时,. 【点睛】 本题考查数轴、线段的计算以及一元一次方程的应用问题,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用分类讨论的数学思想解答. 8. (1)45°; (2)①30°;②∠BCE=2α,证明见解析;(3)α=45-15t,β=45+15t, 【解析】 【分析】 (1)根据角平分线的定义即可得出答案; (2)①首先由旋转得到∠ACE=120°,再由角平分线的定义求出∠ACF,再减去旋转角度即可得到∠DCF; ②先由补角的定义表示出∠BCE,再根据旋转和角平分线的定义表示出∠DCF,即可得出两者的数量关系; (3)根据α=∠FCA-∠DCA,β=∠AC1D1+∠AC1F1,可得到表达式,再根据|α-β|=45°建立方程求解. 【详解】 (1)∵∠ACE=90°,CF平分∠ACE ∴∠AOF=∠ACE=45° 故答案为: 45°; (2)①当t=1时,旋转角度为30° ∴∠ACE=90°+30°=120° ∵CF平分∠ACE ∴∠ACF=60°,α=∠DCF=∠ACF-30°=30° 故答案为: 30°; ②∠BCE=2α,证明如下: 旋转30t度后,∠ACE=(90+30t)度 ∴∠BCE=180-(90+30t)=(90-30t)度 ∵CF平分∠ACE ∴∠ACF=∠ACE=(45+15t)度 ∠DCF=∠ACF-30t=(45-15t)度 ∴2∠DCF=2(45-15t)=90-30t=∠BCE 即∠BCE=2α (3)α=∠FCA-∠DCA=(90+30t)-30t=45-15t β=∠AC1D1+∠AC1F1=30t+(90-30t)=45+15t |30t|=45° ∴ 【点睛】 本题考查了角平分线,角的旋转,角度的和差计算问题,熟练掌握角平分线的定义,找出图形中角度的关系是解题的关键. 9. (1); (2)的长度不变,;(3). 【解析】 【分析】 (1)根据已知条件求出BD=18cm,再利用、分别是、的中点, 分别求出AE、BF的长度,即可得到EF; (2)根据中点得到,,由推导得出EF=,将AB、CD的值代入即可求出结果; (3)由、分别平分和得到,,即可列得,通过推导得出. 【详解】 (1)∵,,, ∴cm, ∵、分别是、的中点, ∴cm,cm, ∴cm, 故; (2)的长度不变. ∵、分别是、的中点, ∴, ∴ (3)∵、分别平分和, ∴,, ∴, ∴. 【点睛】 此题考查线段的和差、角的和差计算,解题中会看图形,根据图中线段或角的大小关系得到和差关系,由此即可正确解题. 10. (1)130°; (2)∠AOD与∠COE的差不发生变化,为30°;(3)∠AOE=131.25°或175°. 【解析】 【分析】 (1)求出∠COE的度数,即可求出答案; (2)分为两种情况,根据∠AOC=90°和∠DOE=60°求出即可; (3)根据∠AOE=7∠COD、∠DOE=60°、∠AOC=90°求出即可. 【详解】 (1)∵OC⊥AB, ∴∠AOC=90°, ∵OD在OA和OC之间,∠COD=20°,∠EOD=60°, ∴∠COE=60°-20°=40°, ∴∠AOE=90°+40°=130°, 故答案为130°; (2)在△ODE旋转过程中,∠AOD与∠COE的差不发生变化, 有两种情况: ①如图1、∵∠AOD+∠COD=90°,∠COD+∠COE=60°, ∴∠AOD-∠COE=90°-60°=30°, ②如图2、∵∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+∠COD,∠COE=∠DOE+∠DOC=60°+∠DOC, ∴∠AOD-∠COE=(90°+∠COD)-(60°+∠COD)=30°, 即△ODE在旋转过程中,∠AOD与∠COE的差不发生变化,为30°; (3)如图1、∵∠AOE=7∠COD,∠AOC=90°,∠DOE=60°, ∴90°+60°-∠COD=7∠COD, 解得: ∠COD=18.75°, ∴∠AOE=7×18.75°=131.25°; 如图2、∵∠AOE=7∠COD,∠AOC=90°,∠DOE=60°, ∴90°+60°+∠COD=7∠COD, ∴∠COD=25°, ∴∠AOE=7×25°=175°, 即∠AOE=131.25°或175°. 【点睛】 本题考查了角的有关计算的应用,能根据题意求出各个角的度数是解此题的关键.注意分类思想的运用. 11. (1)存在满足条件的点P,对应的数为﹣和; (2)正确的结论是: PM﹣BN的值不变,且值为2.5. 【解析】 【分析】 (1)先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB的长,然后求得方程的解,得到C表示的点,由此求得BC+AB=8设点P在数轴上对应的数是a,分①当点P在点a的左侧时(a<﹣3)、②当点P在线段AB上时(﹣3≤a≤2)和③当点P在点B的右侧时(a>2)三种情况求点P所表示的数即可; (2)设P点所表示的数为n,就有PA=n+3,PB=n﹣2,根据已知条件表示出PM、BN的长,再分别代入①PM﹣BN和②PM+BN求出其值即可解答. 【详解】 (1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3,点B对应的数为2, ∴AB=5. 解方程2x+1=x﹣5得x=﹣4. 所以BC=2﹣(﹣4)=6. 所以. 设存在点P满足条件,且点P在数轴上对应的数为a, ①当点P在点a的左侧时,a<﹣3, PA=﹣3﹣a,PB=2﹣a,所以AP+PB=﹣2a﹣1=8, 解得a=﹣,﹣<﹣3满足条件; ②当点P在线段AB上时,﹣3≤a≤2,PA=a﹣(﹣3)=a+3,PB=2﹣a, 所以PA+PB=a+3+2﹣a=5≠8,不满足条件; ③当点P在点B的右侧时,a>2,PA=a﹣(﹣3)=a+3,PB=a﹣2., 所以PA+PB=a+3+a﹣2=2a+1=8,解得: a=,>2, 所以,存在满足条件的点P,对应的数为﹣和. (2)设P点所表示的数为n, ∴PA=n+3,PB=n﹣2. ∵PA的中点为M, ∴PM=PA=. N为PB的三等分点且靠近于P点, ∴BN=PB=×(n﹣2). ∴PM﹣BN=﹣××(n﹣2), =(不变). ②PM+BN=+××(n﹣2)=n﹣(随P点的变化而变化). ∴正确的结论是: PM﹣BN的值不变,且值为2.5. 【点睛】 本题考查了一元一次方程的解,数轴的运用,数轴上任意两点间的距离公式的运用,去绝对值的运用,解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键. 12. (1)2,4,6; (2)4×16=64,;(3);(4)见解析 【解析】 【分析】 (1)根据对数的定义求解可得; (2)观察三个数字及对应的结果,找出规律; (3)将找出的规律写成一般形式; (4)设,,利用转化可推导. 【详解】 (1)∵,, ∴2,4,6 (2)4、16、64的规律为: 4×16=64 ∵2+4=6,∴ (3)根据 (2)得出的规律,我们一般化,为: (4)设, 则, ∴ ∴ ∴,得证 【点睛】 本题考查指数运算的逆运算,解题关键是快速学习题干告知的运算法则,找出相应规律.
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