《随机过程及其在金融领域中的应用》习题二答案.pdf
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第二章第二章习题习题21、设X为取非负整数值的随机变量,证明1=kEXPXk证明:
1111111)()1()1()1()1()1()()1()()()(kkkkkkkkxpkxpkpkxpkxpkkxkpkxpkXpkkxkpXE2、设随机变量X的概率密度为,00,0xexfxx,求0aXYea的数学期望。
答:
adeadxedxeedxxfeeEYExaaxxaxaxax1111)()()(0)1(0)1(03、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为26,01,01,0,xyxyfxy其他,求(X,Y)的协方差矩阵。
答:
边缘概率密度为:
1202,01,60,Xxxfxfxydyxydy其它21203,01,60,Yyyfyfxydxxydx其它因为,fxyfxfy所以X,Y独立。
故cov,cov,0XYYX120223EXxfxdxxdx1230122EXxdx130334EYyfydyydy1240335EYydy221cov,18XXEXEX223cov,80YYEYEY故(X,Y)的协方差矩阵为10cov,cov,18cov,cov,3080XXXYYXYY4、已知二维随机变量(X,Y)服从联合正态分布,且10,1,4,.2EXEYDXDYXY
(1)写出(X,Y)的联合密度函数。
(2)已知=ZaXY与Y独立,求a答:
(1)22121210,1,4,2。
将各参数代入二维正态分布密度函数,最终得:
221211,exp32423fxyxxyy
(2)cov,1cov,12varvarXYXYXYxYcov,1XYEXYEXEYEXY当Z与X独立时,有EZYEZEY0,0EZaEXEYEY22EZYEaXYYaEXYEY2404aEXYEYaa5、设X服从正态分布2,XNYe,求Y的概率密度函数。
答:
lnlnXXFYPYyPeyPXyFy当0y时,22ln2112yuYXfyFyfyeyy;当0y时,0Yfy。
6、设X和Y是相互独立的Poisson随机变量,其参数分别是1和2。
试求当给定XYn时,X=kkn的条件概率。
答:
121211,!
knknnkkPXYnPXkYnkeeknk121212121!
nnknkkenenknkn12121212121212!
knkknkknneePXkYnkknkPXkXYnCPXYnen7、已知二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为,0,0,yexyfxy其他,求条件密度|fxy及|fyx。
答:
公式,XYYfxyfxyfy和,XYXfxyfyxfx先求边缘概率密度:
(0xy),0yyxxXxfxfxydyedyeee,00,xXexfx其他00,yyyyyYfyfxydxedxxeye,00,yYyeyfy其他,1yXYyYfxyefxyfyyey,yXYxyxXfxyefyxefxe1,00,xyyfxy其他,00,xyexyfyx其他8、随机变量X服从参数为0的指数分布,求X的矩母函数,并根据其矩母函数计算X的数学期望和方差。
答:
依题意,可得:
X的矩母函数:
txtxXXtEeedFx0X服从参数为的指数分布0xfxexX的特征函数:
000001txtxXXtxtxxtxtxtedFxefxdxeedxedxedtxetttt120001XtttExttt123200022XtttExttt22222211DxExEx9、如果12,nXXX,是独立同分布的指数变量,参数为,证明1niiX具有参数为,n的分布,亦即证明1niiX的密度函数为1,01!
ntetfttn证明:
令1niiYX,则12nYXXXuuuu101iiuxxXiuueedxiu1nYiuu,Tn令是具有参数为的分布,则11001111001!
11nnttiutiutTnniuiunnttnetetuedtedtnniutiuedttedtnn
(1)11110011niutntniuiuntedttedt
(2)由
(1)
(2)得1nYiuu由此可知,TYuu10、试证明连续型随机变量X的特征函数Xu为实函数的充要条件是:
它的密度函数fx是对称的,即fxfx证明:
cossincossiniuxXuefxdxuxiuxfxdxuxfxdxiuxfxdx(a)充分性:
sinfxfxuxfx当时,为奇函数,sin0iuxfxdx则为即cosXuuxfxdx连续型随机变量X的特征函数Xu为实函数。
(b)必要性:
cosXuuxfxdx为实函数,由(a)得sin0iuxfxdx即00sinsin0uxfxdxuxfxdx00sinsin0uxfxdxuxfxdx令其中一式中的xt00sinsin0utftdtuxfxdx00sinsin0utftdtuxfxdx00sinsin0uxfxdxuxfxdx0sin0uxfxfxdx0fxfxfxfx11、考虑离散时间股票价格过程1,2,Snn,0S是初始价格,Sn是股票n周后的价格,假设价格过程/11SnSnn是独立同分布的对数正态随机变量,设参数0.0165,0.0730,求以下事件的概率:
(1)此后两周股票价格连续上升;
(2)两周后的股票价格高于今天的价格。
答:
(1)依题意,可得2ln0.0165,0.07301SnNSn由于两周价格连续上升,210PSSS2222212101,110212111ln0ln0101000.01650.2260.20.58940.34740.0730SSPSSSPSSSSSSPPPPSSSSPZPZ
(2)由于两周后的价格高于如今,20PSS22201ln0002121ln0lnln01010212lnln0.10.28280.6254105SSPSSPPSSSSSSPPSSSSSSPPSS12、考虑股价波动二项式模型。
若现在某股票的股价S,则过一个单位时间,它会以概率p变为uS或以概率1-p变为dS,设每个时间段的价格变化是独立的,试估计1000个单位时间后股价至少上升30%的概率,其中u=1.012,d=0.990,p=0.52.答:
设00SS,Sn表示经过n个单位时间后的股价,则1,1,2,1,1uSnPSnndSnP令,1,2,1nSnXnSn则,1nuPXdP,于是12112000110nnkkSSSnSnSSXXXSSSnSX11lnln0nnkkkkSnXXS所求的概率为:
1000100011100030%30%ln0.30nnnnSPPXPXS又因为4lnln1ln610nEXpupd2224lnln1ln3.99810nEXpupd224lnlnln3.99510nnnDXEXEX由题意知,1,2,nXn独立同分布,于是ln,1,2,nXn独立同分布,所以1000100011ln1000ln0.6ln1000ln0.3995nnnnnnEXEXDXDX根据中心极限定理可知,10001lnnnX近似服从正态分布0.6,0.3995N,故1000ln0.30.630%12.8540.997800.3995SPS13、设随机变量X的特征函数为1=1Xuiu,试求X的数学期望E(X)与方差Var(X)。
答:
由特征函数与矩母函数关系知:
11XMuu2001,2,1XXuuEXMuEXMuDX14、设随机变量,1,kXkn相互独立,且均服从相同的两点分布,其概率分布为01,1,1,01kkPXpPXpknp试利用其特征函数与分布函数的唯一性,证明1nkkYX服从二项分布,Bnp证明:
1,nXX均互相独立,1nXXXuuu其中1nkkXX又1,nXX均同分布于两点分布,120111niuiuiuXXXuuuepepppe1niuXuppe与二项分布特征函数一致。
由于特征函数具有唯一性,故题设成立。
15、设n个随机变量1,nXX相互独立,且1,kXkn是具有参数k的指数分布。
(1)求kX的特征函数;
(2)设1nZXX,试求Z的特征函数。
答:
(1)根据特征函数与矩母函数关系,再由第8题结论知:
kkXkuiu
(2)1,nXX相互独立,11kkzXknknkuuiu16、若1,nXX的特征函数为1,nuu,则1nkkkYaXb的特征函数为1,iubYnueauau其中,1,naab为常数。
答:
11nnkkkkkkiuabbiuabiubYuEeeEe由条件知:
1,nXX的特征函数为1,nuu,即:
11,1,nniXuiXuXunuuEeEe令kkuau则,原式变为111,nniaXuaXunauauEe代入
(1)式,即得:
1,iubYnueauau
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- 随机过程及其在金融领域中的应用 随机 过程 及其 金融 领域 中的 应用 习题 答案