高中数学知识点总结.pdf
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最新整理数学知识点总结引言1.课程内容:
必修课程由5个模块组成:
必修1:
集合、函数概念与基本初等函数(指、对、嘉函数)必修2:
立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3:
算法初步、统计、概率。
必修4:
基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。
必修5:
解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列:
系列1:
由2个模块组成。
选修1一1:
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修12:
统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2:
由3个模块组成。
选修21:
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
选修22:
导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数选修23;计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。
系列3:
由6个专题组成。
选修31:
数学史选讲。
选修32:
信息安全与密码。
选修33:
球面上的几何。
选修34:
对称与群。
选修35:
欧拉公式与闭曲面分类。
选修36:
三等分角与数域扩充。
系列4:
由10个专题组成。
选修4一1:
几何证明选讲。
选修4一2:
矩阵与变换。
选修43:
数列与差分。
选修44:
坐标系与参数方程。
选修4一5:
不等式选讲。
选修46:
初等数论初步。
选修4一7:
优选法与试验设计初步。
选修48:
统筹法与图论初步。
选修49:
风险与决策。
选修410:
开关电路与布尔代数。
2.重难点及考点:
重点:
函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数难点:
函数、圆锥曲线高考相关考点:
集合与简易逻辑:
集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数:
映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列:
数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数:
有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量:
有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式:
概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程:
直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程:
椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体:
空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率:
排列、组合应用题、二项式定理及其应用(11)概率与统计:
概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数:
导数的概念、求导、导数的应用复数:
复数的概念与运算高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念K1.13集合1.1.11集合的含义与表示
(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
(2)常用数集及其记法N表示自然数集,N*或N+表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象。
与集合M的关系是aeM,或者aeM,两者必居其一.(4)集合的表示法自然语言法:
用文字叙述的形式来描述集合.列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.描述法:
xlx具有的性质,其中x为集合的代表元素.图示法:
用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集(0).(6)子集、真子集、集合相等1.1.2集合间的基本关系名称记号意义性质示意图子集AcB(或5)A中的任一元素都属于B(l)AcA0=A(3)若A=B且B=则A=C(4)若且BqA,则A=5(1或0真子集AuB*(或B=)A)Aq8,且B中至少有一元素不属于A
(1)0uA(A为非空子集)*
(2)若4uB且BuC,则AuC*H!
集合相等A=BA中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A(l)AoB
(2)B=A1(7)己知集合A有(21)个元素,则它有2个子集,它有2-1个真子集,它有2-1个非空子集,它有22非空真子集.1.1.3集合的基本运算(8)交集、并集、补集名称记号意义性质示意图3集(xxeA,S.xeB
(1)AA4=A
(2)AC|0=0(3)AQficACD并集AJBx|xeA,或X6B
(1)AU4=A
(2)AU0=A(3)AU83AAUB【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法补集且A14n(”)=0额AnB)=(0A)U(%B)覆AUB)=(精加24U&A)=UIO
(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集|x0)x-axa(a0)或xax+bc(c0)把or+b看成一个整体,化成|x|a(a0)型不等式来求解
(2)一元二次不等式的解法K1.23函数及其表示判别式A=Z?
2-4acA0A=0A0)的图象4十0X_%2一元二次方程ax2+bx+c-Q(a0)的根-by/b2-4acx,2=-2a(其中玉0(a0)的解集xx/x|x丰-laRax2+hx+c0)的解集x|Xjxx2001.2.1函数的概念
(1)函数的概念设A、8是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合A中任何一个数X,在集合6中都有唯一确定的数/(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到6的对应法则f)叫做集合A到8的一个函数,记作f8.函数的三要素:
定义域、值域和对应法则.只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
(2)区间的概念及表示法设是两个实数,且ab,满足aWxW的实数x的集合叫做闭区间,记做切;满足axa,xa,xb,xb的实数x的集合分别记做a,+co),(a,+oo),(-0,b,(-x,b).注意:
对于集合xax。
与区间(a,。
),前者。
可以大于或等于6,而后者必须ab,(前者可以不成立,为空集;而后者必须成立).(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
/(x)是整式时,定义域是全体实数./意)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数./(无)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于LJIy=tanx中,k7i+(kGZ).零(负)指数基的底数不能为零.若/(幻是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:
若己知/(x)的定义域为a,句,其复合函数/g(x)的定义域应由不等式ag(x)A解出.对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:
观察法:
对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.配方法:
将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.判别式法:
若函数y=f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程+8(y)x+c(y)=0,则在a(y)H0时,由于为实数,故必须有=(y)4a(y)-c(y)20,从而确定函数的值域或最值.不等式法:
利用基本不等式确定函数的值域或最值.换元法:
通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.反函数法:
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.数形结合法:
利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.函数的单调性法.1.2.2函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:
就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:
就是用图象表示两个变量之间的对应关系.(6)映射的概念设A、8是两个集合,如果按照某种对应法则/,对于集合A中任何一个元素,在集合8中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到8的对应法则/)叫做集合A到6的映射,记作/:
A78.给定一个集合A到集合B的映射,且“GA/68.如果元素a和元素b对应,那么我们把元素人叫做元素a的象,元素。
叫做元素b的原象.K1.32函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值XI、X2,当个X2时,都有f(Xl)f(X?
),那么就说f(x)在这个区间上是增国数.y*y=f(x)/f(X,)
(1)利用定义
(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象上升为增)(4)利用复合函数0X,x,X如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值Xi、X2,当X1f(X2),那么就说f(x)在这个区间上是诚函数.yy=f(x)f(x.)x.
(1)利用定义
(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减)(4)利用复合函数0Xix,X在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.对于复合函数y=/g(x),令=g(x),若y=/()为增,=g(x)为增,则y=/g(x)为增;若=/()为减,”=8(%)为减,则y=/g(x)为增;若y=/()为增,”=g(x)为减,则y=/g(x)为减;若y=/()为减,=g(x)为增,则y=/g(x)为减.
(2)打“J”函数/(x)=x+(a0)的图象与性质X/(尤)分别在(fO,JZ、JZ,a)上为增函数,分别在-V,o)s(o,JZ上为减函数.(3)最大(小)值定义一般地,设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数满足:
(1)对于任意的xe/,都有存在XG/,使得/(%)=M.那么,我们称M是函数f(x)的最大值,记作/1rax(x)=M.一般地,设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数力满足:
(1)对于任意的xe/,都有
(2)存在不/,使得=那么,我们称血是函数/(X)的最小值,记作7max(X)=m-1.3.2奇偶性(4)函数的奇偶性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个X,都有*_.一g),那么函数f(x)叫做奇西藜.y-a(a,f(a)一
(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)
(2)利用图象(图象关于原点对称)J(a,f(-a)oax如果对于函数f(x)定义域内任意一个X,都有f(x)=f(X),那么函数f(x)叫做假西教.y(-a.f(-a)(a,f(a)
(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)
(2)利用图象(图象关于y轴对称)-aoax若函数/(x)为奇函数,且在x=()处有定义,则/(0)=().奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.K补充知识函数的图象
(1)作图利用描点法作图:
确定函数的定义域:
化解函数解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性);画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图:
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、暴函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.平移变换y-力力00,右左移移个个单单位位)一f(x八i)v一J/Yr)%0,上移k个单位_+K后y=/M)y-/(x)畸4y=*a)对称变换y-fMy=-f(x)y=/(x)-y=.f(-x)y=.fMy=y=/(x)-直线尸X=尸1(尤)去朝,轴左边图象,v丫n-Jw保留轴右边图象,并作其关于y轴对称图象Jy=/(x)保留X轴上方图象_____!
”1将x轴下方图象翻折上去八切
(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系.(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数(I)K2.13指数函数2.1.1指数与指数黑的运算
(1)根式的概念如果x=a,aeR,xeR,l,且“eN,那么无叫做。
的次方根.当是奇数时,。
的次方根用符号后表示;当是偶数时,正数。
的正的次方根用符号标表示,负的次方根用符号-标表示;0的次方根是0;负数a没有次方根.式子布叫做根式,这里叫做根指数,。
叫做被开方数.当为奇数时,a为任意实数;当”为偶数时,a0.根式的性质:
(五)=a;当”为奇数时,丘=a;当为偶数时,=a=a.-a(a0,加,,且1).o的正分数指数基等于o.正数的负分数指数幕的意义是:
J=(-)=心门(aQ,m,neN*,且1).0的负分数指数幕aVa没有意义.注意口诀:
底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幕的运算性质优a=ar+s(a0,r,seR)(a)=ars(a0,r,seR)(ab)r=arbr(aQ,b0,rG/?
)2.1.2指数函数及其性质(4)指数函数函数名称指数函数定义函数y=a(a0且ax1)叫做指数函数图象a10a1(x0)ax=1(x=0)ax1(x0)a0)优=1(x=0)ax(x0,且“71),则尤叫做以。
为底N的对数,记作x=log“N,其中。
叫做底数,N叫做真数.负数和零没有对数.对数式与指数式的互化:
x=log“Noa,=N(aO,a羊l,N0).
(2)几个重要的对数恒等式logal=0,loga=l,ogaah=b.(3)常用对数与自然对数常用对数:
IgN,即logioN;自然对数:
InN,B|Jlog0,aHl,M0,N0,那么M加法:
log“M+logN=loga(MN)减法:
kg“M-logN=log“一N数乘:
log“M=logM(eR)4N=Nlog-Ar=ClogaMSwO,wR)换底公式:
log“N=gS0Wl)bloga(5)对数函数(2.2.2对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数y=log0且ar1)叫做对数函数图象al0。
0(xl)lognx=0(x=l)log“x0(0x1)log(,xl)log(,x=0(x=l)log“x0(0x1)。
变化对图象的影响在第一象限内,。
越大图象越靠低;在第四象限内,a越大图象越靠高.设函数y=/(x)的定义域为A,值域为C,从式子y=/(x)中解出X,得式子x=(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x=p(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x=(y)表示x是y的函数,函数x=(y)叫做函数y=/(x)的反函数,记作x=/T(y),习惯上改写成y=.(7)反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域;从原函数式y=/(x)中反解出x=/T(y);将x=f-(y)改写成y=f-(x),并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质原函数y=f(x)与反函数y=/T(X)的图象关于直线y=x对称.函数y=/(x)的定义域、值域分别是其反函数y=/T(x)的值域、定义域.若P(a,b)在原函数y=/(x)的图象上,则Pb,a)在反函数y=f-x)的图象上.一般地,函数y=/(x)要有反函数则它必须为单调函数.K2.33嘉函数
(1)幕函数的定义一般地,函数叫做事函数,其中x为自变量,a是常数.
(2)幕函数的图象(3)基函数的性质图象分布:
基函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.基函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.过定点:
所有的幕函数在(0,+8)都有定义,并且图象都通过点(1,1).单调性:
如果。
0,则基函数的图象过原点,并且在0,+o。
)上为增函数.如果。
l时,若0x1,其图象在直线y=x上方,当al时,若0x1,其图象在直线y=x下方.补充知识二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式一般式:
/(x)=ax2+6x+c(aH0)顶点式:
/(尤)=a(x-/?
)2+女(。
0)两根式:
f(x)=a(x-x)(x-x2)(a0)
(2)求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时,宜用一般式.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式.若已知抛物线与X轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求/(X)更方便.(3)二次函数图象的性质二次函数/(x)=ox2+bx+c(aw0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x=,顶点坐标是2ah4ac-b2,-:
-)2a4。
当0时抛物线开口向上,函数在(一8,上递减,在一,+8)上递增,当工=-时,2a2a2a4ucb2bhbfmin(x)=;当。
()时,图象与x轴有两个交点M(百,0),%(孙O),I以必|=|百-%|=|a|(4)一元二次方程4比2+云+,=0(7/0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程0%2+法+。
=0(。
中0)的两实根为工,%2,且占4.4f(x)=ax2+bx+c,从以下四个方面来分析此类问题:
开口方向:
a对称轴位置:
x=判别式:
A端点函数值符号.2axWxzk有且仅有一个根M(或M)满足(或X2)k。
/&)/仇)0,并同时考虑/(6=0或/优)=0这两种情况是否也符合ktxtk2pix2pi此结论可直接由推出.(5)二次函数/(x)=aV+bx+c(a#O)在闭区间p,q上的最值设/(x)在区间p,g上的最大值为M,最小值为?
,令/=;(+4).(I)当a0时(开口向上)hhb若-p,则加=/(p)若K-q,则加=/(?
)(II)当。
0时(开口向下)bhb若,则=/(,)若q,则Af=f(q)2a第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:
对于函数y=f(x)(xeD),把使/(x)=0成立的实数x叫做函数y=/(x)(xeD)的零点。
2、函数零点的意义:
函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0实数根,亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即:
方程/(=0有实数根o函数y=/(x)的图象与x轴有交点o函数y=/(x)有零点.3、函数零点的求法:
求函数y=/(x)的零点:
(代数法)求方程/(x)=0的实数根;
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=/(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点:
二次函数y=ax2+bx+c(a丰0).1)0,方程aV+灰+c=o有两不等实根,二次函数的图象与1轴有两个交点,二次函数有两个零点.2)=(),方程a?
+bx+c=O有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)几何特征:
两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义:
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:
用各顶点字母,如五棱锥尸-AgCDE几何特征:
侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:
定义:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:
用各顶点字母,如五棱台PAECDZ几何特征:
上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:
定义:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:
底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:
定义:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:
底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:
定义:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:
上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:
定义:
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:
球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2空间几何体的三视图和直观图1三视图:
正视图:
从前往后侧视图:
从左往右俯视图:
从上往下2画三视图的原则:
长对齐、高对齐、宽相等3直观图:
斜二测画法4斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;(3).画法要写好。
5用斜二测画法画出长方体的步骤:
(1)画轴
(2)画底面(3)画侧棱(4)成图1.3空间几何体的表面积与体积(-)空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积:
各个面面积之和2圆柱的表面积5=2勿7+224圆台的表面积S=/+2+成/+成2(-)空间几何体的体积I柱体的体积V=S底*3圆锥的表面积5=勿/+勿二5球的表面积S=4成22锥体的体积丫=;5底/?
3台体的体积3=;(5卜+)5卜5下+S下)x4球体的体积第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义:
平面是无限延展的2平面的画法及表示
(1)平面的画法:
水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成45,且横边画成邻边的2倍长(如图)
(2)平面通常用希腊字母a、8、丫等表示,如平面a、平面B等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。
3三个公理:
(1)公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内D,_C符号表示为/7AGaBGa公理1作用:
判断直线是否在平面内(
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