11系统的稳定性分析Bode稳定判据.ppt
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7.6由伯德图判断系统的稳定性,一、乃奎斯特图与伯德图的对应关系,Nyquist图与Bode图,有如下对应关系:
Nyquist图上的以原点为圆心的单位圆Bode图上的0dB线,即对数幅频特性图的横坐标轴;,Nyquist图上的负实轴Bode图上的相频特性的-180线。
单位圆以外L()0的部分单位圆内部L()0的部分,幅相曲线(-1,j0)点左侧的负实轴对数幅频特性L()0(即零分贝线以上的区域)对数相频特性-180线,-1,截止频率,相位交界频率,一、乃奎斯特图与伯德图的对应关系,可见,同样可以利用伯德图来判别系统的稳定性。
这种方法称为对数频率稳定性判据,简称为对数判据或伯德判据,它实质上与乃奎斯特判据有密切联系。
一、乃奎斯特图与伯德图的对应关系,Bode图相频曲线图上,()从180线以下增加到180线以上,称为()对-180线的正穿越(相角增加);反之,称为负穿越(相角减少)。
Bode图相频曲线图上,()从180线开始往上称为半个正穿越,()从180线开始往下称为半个负穿越。
表述为:
如果开环系统在s平面的右半平面有p个极点,在对数幅频特性为正的所有频段内,相频特性曲线在-180线上的正负穿越之差为p/2时(p为系统开环右极点数),闭环系统稳定,否则,闭环系统不稳定。
如果开环系统稳定,即p0,则在对数幅频特性为正的所有频段内,相频特性曲线不穿越-180线,则闭环系统稳定,否则,闭环系统不稳定。
二、对数幅相频率特性的稳定性判据,此时需对对数频率特性曲线作修正:
在对数相频特性曲线=0+处,由下向上补画一条虚线,该虚线通过的相位为90,计算正负穿越时,应将补画的虚线看成对数相频特性曲线的一部分。
开环传递函数含积分环节,二、对数幅相频率特性的稳定性判据,例5-11的伯德图,例1系统开环传递函数为试用对数稳定判据判断其稳定性。
解:
系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点,即P=0,而在L()0的频段内,相频特性()不穿越180线,故闭环系统必然稳定。
例2.判定下列图的稳定性,图(a):
p=0,穿越次数之差为零,闭环稳定;图(b):
p=1,为半次正穿越,闭环稳定;图(c):
p=2,穿越次数之差不等于p/2,闭环不稳定;图(d):
p=2,穿越次数之差等于p/2,闭环稳定。
根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。
但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工作,刚好满足稳定性条件是不够的,还必须留有余地。
稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度。
它包括相位裕度和幅值裕度。
7.7控制系统的相对稳定性,相对稳定性:
若系统开环传递函数没有右半平面的极点,且闭环系统是稳定的,那么乃氏曲线G(j)H(j)离(1,j0)点越远,则闭环系统的稳定程度越高;反之,G(j)H(j)离(1,j0)点越近,则闭环系统的稳定程度越低;如果G(j)H(j)穿过(1,j0)点,则闭环系统处于临界稳定状态。
稳定裕度:
衡量闭环稳定系统稳定程度的指标,常用的有相角裕度和幅值裕度Kg。
7.7控制系统的相对稳定性,1.相角裕度在频率特性上对应于幅值A()1(即L()=0)的角频率称为剪切频率(截止频率),以c表示,在剪切频率处,相频特性距180线的相位差叫做相角裕度。
即下图(a)表示的具有正相角裕度的系统不仅稳定,而且还有相当的稳定储备,它可以在c的频率下,允许相角再增加(迟后)度才达到临界稳定状态。
相角裕度也叫相位稳定性储备。
相角裕度和增益裕度,对于稳定的系统,(c)必在伯德图180线以上,这时称为正相角裕度,或者有正相角裕度,如图(c)所示。
对于不稳定系统,(c)必在180线以下,这时称为负相角裕度,如图(d)所示;相应地,在乃氏图中,即为乃氏曲线与单位圆的交点A对负实轴的相位差值。
对于稳定系统,A点必在负实轴以下。
如图(a)所示。
反之,对于不稳定系统,A点必在负实轴以上,如图(b)所示。
1.相角裕度,2.增益裕度Kg在相频特性等于180的频率g(穿越频率)处,开环幅频特性A(g)的倒数,称为增益裕度,记做Kg。
即在Bode图上,增益裕度改以分贝(dB)表示,相角裕度和增益裕度,对于稳定的系统,L(g)必在Bode图0dB线以下,这时称为正增益裕度,如图(c)所示。
对于不稳定系统,L(g)必在0dB线以上,这时称为负增益裕度,如图(d)所示。
以上表明,在图(c)中,对数幅频特性还可上移Kg,即开环系统的增益增加Kg倍,则闭环系统达到稳定的临界状态。
在乃氏图中,乃氏曲线与负实轴的交点到原点的距离即为1/Kg,它代表在频率g处开环频率特性的模。
显然,对于稳定系统,1/Kg1,如图(a)所示;对于不稳定系统有1/Kg1,如图(b)所示。
几点说明:
对于一个稳定的最小相位系统,其相角裕度应为正值,增益裕度应大于1;严格地讲,应当同时给出相角裕度和增益裕度,才能确定系统的相对稳定性。
但在粗略估计系统的暂态响应指标时,主要对相角裕度提出要求。
为使系统有满意的稳定储备,以及得到较满意的暂态响应,在工程实践中,一般希望,对于最小相位系统,开环幅频特性和相频特性之间存在唯一的对应关系。
上述相角裕度意味着,系统开环对数幅频特性在剪切频率处的斜率应大于40dB/dec,且有一定宽度。
在实际中常取20dB/dec。
在闭环稳定条件下,稳定裕度越大,反映系统稳定程度越高。
稳定裕度也间接反映了系统动态过程的平稳性,裕度大意味着超调小、振荡弱,阻尼大。
例单位反馈系统开环传递函数为分别求取K1=10及K1=100时的相角裕度和增益裕度。
解:
相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。
K1=10时1=1,2=5。
20lgK=20lg2=6dB。
画出对数幅频特性曲线,由图可知,伯德图幅频特性,所以K110时,剪切频率和相角裕度为当K1从10变到100时,幅频特性上移20dB,如上图中虚线所示,此时,欲求增益裕度,则须先求出g,K110,K1100,可用MATLAB计算增益裕度的值.sys=tf(10,conv(conv(10,11),15);margin(sys);figuresys=tf(100,conv(conv(10,11),15);margin(sys);,
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