《最优化方法》最优化方法概述.ppt
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2024/3/2最优化方法1最优化方法2024/3/2最优化方法2研究内容:
在有限种或无限种可行方案中挑选最优方案,构造寻求最优解的计算方法研究目的:
主要解决最优计划、最优分配、最优决策、最佳设计、最佳管理等最优化问题。
应用领域:
科学工程、国防、交通、管理、经济、金融、计算机等。
最优化方法概述最优化方法概述2024/3/2最优化方法3p最优化方法(OptimizationTechniques)隶属于运筹学.p运筹学(OperationsResearch)是用数学方法研究各种系统的最优化问题,应用数学模型求得合理利用各种资源的最佳方案,为决策者提供科学决策的依据。
p数学规划又包括线性规划,整数规划,非线性规划,目标规划和动态规划等,是运筹学的主要内容.背景知识背景知识2024/3/2最优化方法4运筹学这一名词最早出现于运筹学这一名词最早出现于19381938年。
当时英,年。
当时英,美等国盟军在与德国的战争中遇到了许多错综美等国盟军在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以解决,比如复杂的战略和战术问题难以解决,比如p防空雷达的布置问题防空雷达的布置问题p护航舰队的编队问题护航舰队的编队问题为了应付上述各种复杂问题,英美等国逐为了应付上述各种复杂问题,英美等国逐批召集不同专业背景的科学家,在三军组织了批召集不同专业背景的科学家,在三军组织了各种研究小组,研究的问题都是军事性质的,各种研究小组,研究的问题都是军事性质的,这些研究小组运用系统优化的思想,应用数学这些研究小组运用系统优化的思想,应用数学技术分析军事问题,取得了非常理想的效果。
技术分析军事问题,取得了非常理想的效果。
2024/3/2最优化方法5二次大战以后,在军事运筹小组中工作过的一部分科二次大战以后,在军事运筹小组中工作过的一部分科学家开始转入民用部门,他们把对军事系统最优化的研究学家开始转入民用部门,他们把对军事系统最优化的研究成果拓展到各种民用系统的研究上。
成果拓展到各种民用系统的研究上。
19471947年美国数学家年美国数学家G.B.DantzigG.B.Dantzig在研究在研究美国空军资源美国空军资源配置配置时时,提出了求解线性规划的有效方法提出了求解线性规划的有效方法单纯形法单纯形法。
二。
二十世纪五十年代初,应用计算机求解线性规划获得成功。
十世纪五十年代初,应用计算机求解线性规划获得成功。
至五十年代末,一些工业先进国家的大型企业已经较至五十年代末,一些工业先进国家的大型企业已经较普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际问题,并取得了良好的效果,至六十年代中期,运筹学开问题,并取得了良好的效果,至六十年代中期,运筹学开始应用于一些服务性行业和公用事业。
始应用于一些服务性行业和公用事业。
2024/3/2最优化方法6我国运筹学的研究始于五十年代中期我国运筹学的研究始于五十年代中期,当时由,当时由钱学森钱学森教教授将运筹学从西方国家引入我国,以授将运筹学从西方国家引入我国,以华罗庚华罗庚教授为首的一大教授为首的一大批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法,在批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法,在建筑,纺织,交通运输,水利建设和邮电等行业都有不少应建筑,纺织,交通运输,水利建设和邮电等行业都有不少应用。
关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学用。
关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学家家管梅谷管梅谷于于19621962年首先提出的,在国际上统称为中国邮递员年首先提出的,在国际上统称为中国邮递员问题。
我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世问题。
我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世界水平。
界水平。
2024/3/2最优化方法7学习本课程所需的数学知识学习本课程所需的数学知识向量、向量的模(范数)、向量的运算、线性相关与无关、基.矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。
向量函数、连续性、可微性、梯度、向量函数(多元函数)的Taylor定理2024/3/2最优化方法8课程基本内容p线性规划线性规划p无约束最优化方法无约束最优化方法p约束最优化方法约束最优化方法p多目标最优化方法多目标最优化方法2024/3/2最优化方法9学习要求及考评学习要求及考评p掌握主要的优化模型的数学计算方法,可掌握主要的优化模型的数学计算方法,可以以应用数学软件解决最优化问题。
应用数学软件解决最优化问题。
p考评:
考评:
大作业(作业大作业(作业+小论文)小论文)2024/3/2最优化方法10参考书目参考书目主要参考书目:
主要参考书目:
理论方面:
理论方面:
(1)解可新、韩健,解可新、韩健,最优化方法最优化方法,天津大学出版社,天津大学出版社,2004
(2)何坚勇,何坚勇,最优化方法最优化方法,清华大学出版社,清华大学出版社,2007计算方面:
计算方面:
(3)曹卫华,郭正,曹卫华,郭正,最优化技术方法及最优化技术方法及MATLAB的实现的实现,化学工业出版社,化学工业出版社,2005(4)朱德通,朱德通,最优化模型与实验最优化模型与实验,同济大学出版社,同济大学出版社,2003其它参考书:
其它参考书:
(5)卢名高、刘庆吉编著,卢名高、刘庆吉编著,最优化应用技术最优化应用技术,石油工业出版社,石油工业出版社,2002(6)唐焕文,秦学志唐焕文,秦学志,实用最优化方法实用最优化方法,大连理工大学出版社,大连理工大学出版社,2004(7)钱颂迪,钱颂迪,运筹学运筹学,清华大学出版社,清华大学出版社,1990(8)袁亚湘、孙文瑜著,袁亚湘、孙文瑜著,最优化理论与方法最优化理论与方法,科学出版社,科学出版社,20052024/3/2最优化方法11线性规划的基本概念线性规划的基本概念p线性规划问题及其数学模型线性规划问题及其数学模型p线性规划的图解法线性规划的图解法p线性规划问题的标准型线性规划问题的标准型p标准型线性规划的解标准型线性规划的解p线性规划的基本原理线性规划的基本原理2024/3/2最优化方法12问题的提出:
问题的提出:
在生产管理的经营活动中,通常需要对在生产管理的经营活动中,通常需要对“有有限的资源限的资源”寻求寻求“最佳最佳”的利用或分配方式。
的利用或分配方式。
l有限资源:
劳动力、原材料、设备或资金等有限资源:
劳动力、原材料、设备或资金等l最最佳佳:
有有一一个个标标准准或或目目标标,使使利利润润达达到到最最大大或或成成本本达达到最小。
到最小。
有限资源的合理配置有有限资源的合理配置有两类两类问题问题l如何合理的使用有限的资源,使生产经营的如何合理的使用有限的资源,使生产经营的效益达到效益达到最大最大;l在生产或经营的任务确定的条件下,合理的组织生产,在生产或经营的任务确定的条件下,合理的组织生产,安排经营活动,使所安排经营活动,使所消耗的资源数最少消耗的资源数最少。
线性规划问题及其数学模型线性规划问题及其数学模型2024/3/2最优化方法13有一正方形铁皮,如何截取有一正方形铁皮,如何截取xx使容积为最大?
使容积为最大?
xa此为无约束极值问题此为无约束极值问题问题的提出问题的提出2024/3/2最优化方法14为了完成一项任务或达到一定为了完成一项任务或达到一定的目的,怎样用最少的人力、物力的目的,怎样用最少的人力、物力去完成或者用最少的资源去完成较去完成或者用最少的资源去完成较多的任务或达到一定的目的,这个多的任务或达到一定的目的,这个过程就是过程就是规划规划。
2024/3/2最优化方法15规规划划确定型确定型随机型随机型静态规划静态规划动态规划动态规划线性规划线性规划非线性规划非线性规划整数规划整数规划非整数规划非整数规划整数规划整数规划非整数规划非整数规划规划类型规划类型2024/3/2最优化方法16例例:
某制药厂生产甲、乙两种药品,生产这两种药品要消某制药厂生产甲、乙两种药品,生产这两种药品要消耗某种维生素。
生产每吨药品所需要的维生素量,所占用的耗某种维生素。
生产每吨药品所需要的维生素量,所占用的设备时间,以及该厂每周可提供的资源总量如下表所示:
设备时间,以及该厂每周可提供的资源总量如下表所示:
每吨产品的消耗每吨产品的消耗每周资源总量每周资源总量甲甲乙乙维生素维生素(公斤)(公斤)30302020160160设备设备(台)(台)55111515已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为55万元和万元和22万万元。
但根据市场需求调查的结果,甲药品每周的产量不应超元。
但根据市场需求调查的结果,甲药品每周的产量不应超过过44吨。
问该厂应如何安排两种药品的产量才能使每周获得吨。
问该厂应如何安排两种药品的产量才能使每周获得的利润最大?
的利润最大?
2024/3/2最优化方法17定义定义:
x1为生产甲种药品的计划产量数,为生产甲种药品的计划产量数,x2为生产乙种药品的计划产量数。
为生产乙种药品的计划产量数。
目标:
目标:
要使总利润最大化要使总利润最大化maxz=5x1+2x2约束:
约束:
每周资源总量的限制,每周资源总量的限制,30x1+20x21605x1+x215甲种药品每周产量不应超过甲种药品每周产量不应超过4吨的限制吨的限制x14计划生产数不可能是负数,计划生产数不可能是负数,x10x20每吨产品的消耗每吨产品的消耗每周资源总量每周资源总量甲甲乙乙维生素维生素(公斤)(公斤)3020160设备设备(台)(台)5115单位利润单位利润(万元万元)52024/3/2最优化方法18数学模型为数学模型为每吨产品的消耗每吨产品的消耗每周资源总量每周资源总量甲甲乙乙维生素(公斤)维生素(公斤)3020160设备(台)设备(台)5115单位利润单位利润(万元万元)5这是一个如何合理的使用有限的资源,使生产经营的效益达到最这是一个如何合理的使用有限的资源,使生产经营的效益达到最大的数学规划问题。
大的数学规划问题。
在满足一组约束条件的限制下,寻求在满足一组约束条件的限制下,寻求决策变量决策变量x1,x2的决策值,的决策值,使目标函数达到最大值。
使目标函数达到最大值。
2024/3/2最优化方法19例例:
某某化化工工厂厂根根据据一一项项合合同同要要求求为为用用户户生生产产一一种种用用甲甲、乙乙两两种种原原料料混混合合配配制制而而成成的的特特种种产产品品。
已已知知甲甲、乙乙两两种种原原料料都都含含有有AA、BB、CC三三种种化化学学成成分分,两两种种原原料料分分别别所所含含三三种种化化学学成成分分的的百百分分比比含含量量,以以及及按按合合同规定的产品中三种化学成分的最低含量如下表所示:
同规定的产品中三种化学成分的最低含量如下表所示:
已已知知甲甲、乙乙两两种种原原料料的的成成本本分分别别是是每每公公斤斤33元元和和22元元,厂厂方方希希望望总成本达到最小,问如何配置该产品?
总成本达到最小,问如何配置该产品?
原料原料化学成分含量(化学成分含量(%)产品中化学成分的最低含量产品中化学成分的最低含量(%)甲甲乙乙AA12123344BB223322CC33151555化学成分化学成分2024/3/2最优化方法20定义定义x1,x2分别为每公斤产品中甲,乙两种原料的数量,分别为每公斤产品中甲,乙两种原料的数量,目标:
目标:
使总成本最小化使总成本最小化minz=3x1+2x2约束:
约束:
配料平衡条件,配料平衡条件,x1+x2=1产品中产品中A、B、C三种化学成分的最低含量三种化学成分的最低含量12x1+3x242x1+3x223x1+15x25非负性条件非负性条件x10,x20原料原料化学成分含量(化学成分含量(%)产品中化学成分的最低含量产品中化学成分的最低含量(%)甲甲乙乙AA12123344BB223322CC33151555单位成本(元)单位成本(元)化学成分化学成分2024/3/2最优化方法21数学模型:
数学模型:
原料原料化学成分含量(化学成分含量(%)产品中化学成分的最低含量产品中化学成分的最低含量(%)甲甲乙乙AA12123344BB223322CC33151555单位成本(元)单位成本(元)化学成分化学成分这这是是一一个个原原料料配配制制问问题题,是是在在生生产产任任务务确确定定的的条条件件下下,合合理的组织生产,使所消耗的资源数最少的数学规划问题。
理的组织生产,使所消耗的资源数最少的数学规划问题。
满满足足一一组组约约束束条条件件的的同同时时,寻寻求求变变量量x1和和x2的的值值使使目目标标函函数取得最小值。
数取得最小值。
2024/3/2最优化方法22例例:
某某铁铁器器加加工工厂厂要要制制作作100100套套钢钢架架,每每套套要要用用长长为为2.92.9米米,2.12.1米米和和1.51.5米米的的圆圆钢钢各各一一根根。
已已知知原原料料长长为为7.47.4米米,问问应应如如何何下下料料,可可使使材材料料最省?
最省?
分分析析:
在在长长度度确确定定的的原原料料上上截截取取三三种种不不同同规规格格的的圆圆钢钢,可可以以归归纳纳出出88种不同的下料方案:
种不同的下料方案:
圆钢(米)圆钢(米)229911220011001100002211000022221111330011553311220033110044料头(米)料头(米)000.10.10.20.20.30.30.80.80.90.91.1.1.41.4问题归纳为问题归纳为如何混合使用这如何混合使用这88种不同的下料方案,来制造种不同的下料方案,来制造100100套套钢架,且要使剩余的余料总长为最短。
钢架,且要使剩余的余料总长为最短。
2024/3/2最优化方法23设设表示用第表示用第j种下料方案下料的原料根数,种下料方案下料的原料根数,j=1,2,8,目标:
目标:
使余料总长度最小化使余料总长度最小化minz=0x1+0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5+0.9x6+1.1x7+1.4x8约束:
约束:
三种规格圆钢根数三种规格圆钢根数x1+2x2+x4+x6=1002x3+2x4+x5+x6+3x7=1003x1+x2+2x3+3x5+x6+4x8=100非负取整条件非负取整条件xj0(j=1,28)且取整数且取整数圆钢(米)圆钢(米)229911220011001100002211000022221111330011553311220033110044余料(米)余料(米)000.10.10.20.20.30.30.80.80.90.91.1.1.41.42024/3/2最优化方法24数学模型数学模型s.t.这是一个下料问题,是在生产任务确定的条件下,合理的组织生产,这是一个下料问题,是在生产任务确定的条件下,合理的组织生产,使所消耗的资源数最少的数学规划问题。
使所消耗的资源数最少的数学规划问题。
满足一组约束条件的同时,寻求变量满足一组约束条件的同时,寻求变量x1至至x8的值的值,使目标函数取得最使目标函数取得最小值。
小值。
圆钢(米)圆钢(米)229911220011001100002211000022221111330011553311220033110044料头(米)料头(米)000.10.10.20.20.30.30.80.80.90.91.11.11.41.4且为整数且为整数2024/3/2最优化方法25问题中总有未知的变量,需要我们去解决。
问题中总有未知的变量,需要我们去解决。
要求:
有目标函数及约束条件,一般有非负条件要求:
有目标函数及约束条件,一般有非负条件存在,由此组成规划数学模型。
存在,由此组成规划数学模型。
如果在规划问题的数学模型中,变量是连续的如果在规划问题的数学模型中,变量是连续的(数值取实数)其目标函数是有关线性函数(一次方)(数值取实数)其目标函数是有关线性函数(一次方),约束条件是有关变量的线性等式或不等式,这样,约束条件是有关变量的线性等式或不等式,这样,规划问题的数学模型是规划问题的数学模型是线性线性的。
反之,就是非线性的。
反之,就是非线性的规划问题。
的规划问题。
2024/3/2最优化方法26与规划问题有关的数学模型总有两部分组成:
与规划问题有关的数学模型总有两部分组成:
l约束条件:
约束条件:
反映了有限资源对生产经营活动的种种约束,反映了有限资源对生产经营活动的种种约束,或者生产经营必须完成的任务;或者生产经营必须完成的任务;l目标函数目标函数:
反映生产经营者在有限资源条件下希望达到:
反映生产经营者在有限资源条件下希望达到的生产或经营的目标。
的生产或经营的目标。
2024/3/2最优化方法272.2.线性规划的一般数学模型线性规划的一般数学模型线性规划模型的特征:
线性规划模型的特征:
(1)用一组)用一组决策变量决策变量x1,x2,,xn表示某一方案,且在一般情况下,表示某一方案,且在一般情况下,变量的取值是非负的。
变量的取值是非负的。
(2)有一个)有一个目标函数目标函数,这个目标函数可表示为这组变量的,这个目标函数可表示为这组变量的线性线性函数。
函数。
(3)存在若干个)存在若干个约束条件约束条件,约束条件用决策变量的线性等式或线,约束条件用决策变量的线性等式或线性不等式来表达。
性不等式来表达。
(4)要求目标函数)要求目标函数实现最大化实现最大化(max)或)或最小化最小化(min)。
)。
满足上述满足上述4个特征的规划问题称为个特征的规划问题称为线性规划问题。
线性规划问题。
2024/3/2最优化方法28通常称通常称为为决策变量决策变量,为为价值系数价值系数,为为消耗系数消耗系数,为为资源限制系数资源限制系数。
线性规划的模型的一般形式线性规划的模型的一般形式:
目标函数目标函数满足约束条件满足约束条件min(max)min(max)2024/3/2最优化方法29线性规划问题的求解方法线性规划问题的求解方法图图解解法法单纯形法单纯形法两个变量、直角坐标两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标三个变量、立体坐标适用于任意变量、但需将适用于任意变量、但需将一般形式变成标准形式一般形式变成标准形式求求解解方方法法2024/3/2最优化方法30线性规划图解法的基本步骤线性规划图解法的基本步骤
(1)建立以)建立以x1,x2为坐标轴的直角坐标系,画出线性规划问题为坐标轴的直角坐标系,画出线性规划问题的的可行域可行域,
(2)求目标函数)求目标函数z=C1x1+C2x2的的梯度梯度z=(c1,c2),(3)任取)任取等值线等值线C1x1+C2x2=z0,沿梯度沿梯度z正方向平移正方向平移,(若是极小化问题,则沿(若是极小化问题,则沿负梯度方向负梯度方向z平移),平移),求等直线将离未离可行域时与可行域的交点。
求等直线将离未离可行域时与可行域的交点。
(4)若交点存在,则该点坐标就是最优解)若交点存在,则该点坐标就是最优解X*。
2024/3/2最优化方法31例例2024/3/2最优化方法32012345678123456作作图图最最优优解:
解:
x1=4x2=2有唯一最优解,有唯一最优解,Z=14Z=14x2x1(42)z=(2,3)2024/3/2最优化方法33例例44:
利用例利用例11说明图解法的主要步骤,说明图解法的主要步骤,例例11的数学模型为的数学模型为2024/3/2最优化方法34O51015x1x1=4x2101AB(2,5)Cz5x1+x2=1530x1+20x2=1605x1+2x2=52024/3/2最优化方法35例5:
maxz=x1+3x2s.t.x1+x26-x1+2x28x10,x20可行域目标函数等值线最优解64-860x1x22024/3/2最优化方法362.2.图解法的几种可能结果图解法的几种可能结果(1
(1)有)有唯一最优解唯一最优解
(2)有)有无穷多最优解无穷多最优解(33)无界解无界解(或称无最优解)(或称无最优解)无界解是指线性规划问题的最优解无界。
无界解是指线性规划问题的最优解无界。
若是极大化问题,则可使目标函数值若是极大化问题,则可使目标函数值z+,z+,极小化问题极小化问题则可使目标函数值则可使目标函数值z-z-,有无界解的线性规划问题的可行域通常是有无界解的线性规划问题的可行域通常是无界区域,但反之则不必然。
无界区域,但反之则不必然。
2024/3/2最优化方法37例例例例无穷多最优解无穷多最优解无界解无界解x1x1x2x22024/3/2最优化方法38(4)无可行解无可行解某些线性规划问题的可行域是空集,既不存在满足所有约某些线性规划问题的可行域是空集,既不存在满足所有约束条件的点,这时问题无可行解,当然更谈不上最优解了。
束条件的点,这时问题无可行解,当然更谈不上最优解了。
在实际中出现这种情况可以认为资源条件无法满足人们的在实际中出现这种情况可以认为资源条件无法满足人们的要求,既不存在可行方案。
要求,既不存在可行方案。
(33)无界解无界解(或称无最优解)(或称无最优解)无界解是指线性规划问题的最优解无界。
无界解是指线性规划问题的最优解无界。
若是极大化问题,则可使目标函数值若是极大化问题,则可使目标函数值z+,z+,极小化问题极小化问题则可使目标函数值则可使目标函数值z-z-,有无界解的线性规划问题的可行域通常是有无界解的线性规划问题的可行域通常是无界区域,但反之则不必然。
无界区域,但反之则不必然。
2024/3/2最优化方法39复习规划-为了完成一项任务或达到一定的目的,怎样用最少的为了完成一项任务或达到一定的目的,怎样用最少的人力、物力去完成或者用最少的资源去完成较多的任务或达人力、物力去完成或者用最少的资源去完成较多的任务或达到一定的目的,这个过程就是到一定的目的,这个过程就是规划。
规划。
线性规划线性规划线性规划图解法的基本步骤线性规划图解法的基本步骤(11)建立以)建立以x1,x2x1,x2为坐标轴的直角坐标系,画出线性规划问为坐标轴的直角坐标系,画出线性规划问题的可行域题的可行域,(22)求目标函数)求目标函数z=C1x1+C2x2z=C1x1+C2x2的梯度的梯度z=z=(c1,c2c1,c2),(33)任取等值线)任取等值线C1x1+C2x2=z0,C1x1+C2x2=z0,沿梯度沿梯度zz正方向平移正方向平移,(若是极小化问题,则沿负梯度方向(若是极小化问题,则沿负梯度方向zz平移),平移),求等直线将离未离可行域时与可行域的交点。
求等直线将离未离可行域时与可行域的交点。
(44)若交点存在,则该点坐标就是最优解)若交点存在,则该点坐标就是最优解X*X*。
2024/3/2最优化方法401.1.标准线性规划模型标准线性规划模型
(1)线性规划问题的线性规划问题的标准形式标准形式:
其其中中(1.1)(1.1)为为目目标标函函数数,(1.2)(1.2)为为约约束束条条件件,(1.3)(1.3)为为非非负负条条件件,为称呼方便,有时将,为称呼方便,有时将(1.3)(1.3)也称为约束条件。
也称为约束条件。
(1.21.2)(1.31.3)线性规划的标准形式线性规划的标准形式(1.11.1)2024/3/2最优化方法41其其中中C=(c1,c2,cn)称为称为价值向量价值向量,X=(x1,x2,xn)T为为决策变量向量,决策变量向量,Pj=(a1j,a2j,amj)T为为决决策策变变量量xj所所对对应应的的消耗系数向量消耗系数向量,b=(b1,b2,bm)T为为资源向量资源向量。
(2)紧凑格式:
紧凑格式:
(3)向量格式:
向量格式:
2024/3/2最优化方法42其中其中为为mn阶矩阵阶矩阵(4)矩阵格式:
矩阵格式:
C=(c1,c2,cn),X=(x1,x2,xn)T,b=(b1,b2,bm)T。
202
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