时间最优控制.ppt
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极小值原理的应用:
时间,燃料最优控制问题目录u一.Bang-Bang控制原理u二.线性定常系统的时间最优控制u三.燃料最优控制u四.时间-燃料最优控制u五.习题u六.总结时间最优控制时间最优控制问题,是可以运用极小值求解的一个常见的工程实际问题。
如果把系统由初始状态转移到目标集的时间作为性能指标,则使转移时间为最短的控制称为最短时间控制,亦称最速控制。
一、Bang-Bang控制原理1.移动目标集的时间最优控制问题已知受控系统的状态方程为:
寻找满足不等式约束的r维容许控制向量u(t),使系统从初始状态出发,在末态时刻,首次达到目标集其中g是p维向量函数,且使最小值的最优控制u(t).上述问题用极小值原理求解,构造哈密顿函数为:
规范方程、边界及横截条件分别为:
极值条件为:
可得式中sgn(*)为符号函数,令则最优控制分量应取在最优轨线末端,哈密顿函数应满足由以上条件知:
若,则可以运用极小值原理确定,此时称为正常情况。
若不确定,可取满足约束条件的任意值,此时称为奇异情况。
2.正常和奇异控制问题设在区间内,存在时间可数集合,使有在时间最优控制是正常的在区间,至少存在一个子区间,使得对所有,至少有一个函数则时间最优控制是奇异的,称为奇异区间。
3.Bang-Bang控制原理设u*(t)是上述问题的时间最优控制,x*(t)和是相应的状态向量和协态向量。
若问题正常,则最优控制为:
定理表明,每个控制分量恰好在自己的两个边界值之间来回切换,满足的各个点正好是切换点。
这是一种继电型控制或开关控制,故有邦-邦控制之称。
线性定常系统的时间最优控制设线性定常系统是完全可控的,求满足下列约束的容许控制向量u(t):
使系统从已知状态x(0)=x0转移到状态空间原点x(tf)=0的时间最短,性能指标为在解决上述问题之前,应该先判断它是否正常。
定理1令式中,当且仅当m个矩阵中,至少有一个是奇异矩阵时,它则是奇异的。
定理2当且仅当式中,上述问题是正常的。
定理3若上述系统是正常的,且时间最优控制存在,则最优控制必定唯一。
定理4有限切换(开关次数)定理设线性定常系统是正常的,nxn系统矩阵A的全部特征值均为实数,时间最优控制存在,其分量为。
令表示的切换时刻,则在两个边界值之间的切换次数Nn-1.(n为系统的维数)定理5当系统正常是,存在最优解的必要条件为:
正则方程式中哈密顿函数为边界条件极小值条件若A有全部实特征值,则的切换次数为Nn-1.H函数变化率燃料最优控制在工程实际中,常常需要考虑是控制过程中所消耗的能量最小。
此时控制作用表现为推力或力矩的大小和方向。
若以非负量表示燃料的瞬时消耗率,则控制过程中所消耗的的燃料总量为,仅考虑如下形式的关系:
式中是m维控制向量u(t)的第j个分量,CJ为比例系数,称为比耗。
为了保证控制过程中最省燃料,选择燃料消耗总量作为性能指标二次积分模型的状态方程:
求满足约束条件的最优控制,是系统有任意初态,转移到状态空间原点(0.0)且使性能指标为最小。
设末端时刻tf自由。
正则方程,哈密顿函数则有边界条件极小值条件函数变化律H函数的最优控制取极小值时,等价于函数对最优控制取极小值。
引入死区函数记号dez,其意义为a=dezb,表示为以及由以上关系能否完全确定,取决于函数的性质。
与时间最优控制问题类似,也可以分为正常与奇异两种情况:
若在时间区间0,tf内,值在有限点成立,则属正常情况,最优控制可取-1、0、+1三个值,随时间的增长,在这三个值上转换,称为三位控制或开关控制。
若至少存在一段时间间隔,在其上有则问题属于奇异情况。
对协态方程积分可得:
式中为协态初始条件。
根据的数值情况,为奇异控制或为正常控制.
(1)奇异情况若为满足,应有。
此时,只能决定的符号,而无法确定其数值。
(2)正常情况若,则是时间t的线性函数。
这是,至多在两个孤立的时刻成立,因而燃料最优控制函数是正常的,为三位控制,且最多有两次切换。
对系统进行相平面分析,当u=+1和u=-1时,系统由初态转移到坐标原点的两条轨线为,如下图所示,点集表达式为:
A.初始点在上,为唯一最优控制。
B.初始点在上,为唯一最优控制。
C.初始点在R4区,u(t)有无穷多组解,但u=01所用时间最短.初始点在R2区,u(t)有无穷多组解,但u=0-1所用时间最短.D.初始点在R1,R3区,u(t)无解,但存在一个燃料最优问题.综上所述,燃料最优控制律:
时间-燃料最优问题单纯以节省燃料为目标的燃料最优控制问题,往往使得系统的响应太慢,不满足实际的使用要求。
若将缩短时间与节省燃料加以综合考虑,设计的控制系统既能节约燃料又不至于响应缓慢,因而产生了时间-燃料最优控制问题。
一种好的处理方法是在燃料最优控制性能指标中增加时间的加权项,得到式中,为时间加权系数,表示设计者对响应时间的重视程度。
若取,表示不计时间长短,只考虑节省燃料。
若取,表示不计燃料消耗,只求时间最短。
已知系统的状态方程求满足下列约束条件:
的最优控制u*(t),使系统由任意初态转移到空间原点(0,0),且使性能指标为最小。
设末端时刻tf自由。
令哈密顿函数与上节类似,由极小值条件可得根据协态方程假定初始协态为,解得最优轨线应满足通过分析,如下六种控制序列为候选最优控制序列+1,-1,+1,0,+1,0,-1,+1,0,-1,-1,0,+1,通过相平面法讨论得相轨迹图如下:
除为开关曲线外,也为开关曲线.是u由-1切到0的开关曲线,且有整个相平面分成4个区域,且起于各区初始状态的相应控制为:
可得时间-燃料最优控制律为:
例题设人造卫星姿态控制系统方程为:
控制约束要求确定,使性能指标极小,并求出切换时间ts和最短时间构造哈密顿函数:
最优控制由协态方程解得因为协态向量为非零向量,故不能同时为零。
根据的不同组合,的可能形状如下图所示。
因而候选控制序列为:
+1,-1,+1,-1,-1,+1,令,由状态方程有消去t得轨迹方程为:
满足末态相轨迹为:
曲线和组合成曲线,表达式为曲线将相平面分割为两个区域。
作为状态集合,可表示为:
相轨迹图为:
相平面上的开关曲线对于一般的二次积分模型的时间最优控制问题,其最优控制律为:
本例,故最优控制律为了具体求出切换时间ts,需要求解最优轨线方程。
总结p最短时间控制系统,是依据所谓砰-砰原理构成的,它只有+1和-1两种工作状态。
p最少燃料控制问题,其哈密尔顿函数对控制u(t)及其是一次的。
它包含+1,0,-1三种工作状态。
和最短时间控制系统相比,最少燃料控制系统的最大特点,是多了一个u=0的控制方式,这意味着在工作过程的某些阶段,可以借助于系统中积存的能量来维持工作,不用消耗燃料。
p时间-燃料综合最优控制是比单纯的最短时间控制最少燃料更为广泛的一类控制。
当时间-燃料综合最优控制的性能指标中的加权系数时,开关曲线重合,可得时间最优控制;而当加权系数时,可得燃料最优控制。
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