高考全国2卷数学理科试题与答案详解.docx
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高考全国2卷数学理科试题与答案详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理科数学(全国二卷)
一、选择题
13i
1、复数=
1i
A2+iB2-iC1+2iD1-2i
2、已知集合A={1.3.m},B={1,m},AB=A,则m=
A0或3B0或3C1或3D1或3
3椭圆的中心在原点,焦距为4一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为
x2
+
y2
x2
y2
x2
y2
x2
y2
A
=1B
+
=1
C
+=1D
+
=1
16
12
12
8
8
4
12
4
4已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22E为CC1的中点,则直线AC1与平
面BED的距离为
A2B3C2D1
(5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列
1
的前100
项和为
anan1
1009999101
(A)(B)(C)(D)
101101100100
1
(6)△ABC中,AB边的高为CD,若
a,
b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则
CB
CA
AD
(A)
1a-1b
(B)
2a-2b
(C)
3a-3b
(D)
4a-4b
3
3
3
3
5
5
5
5
(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ=3,则cos2α=
3
(A)-
5
(B)-5
(C)
5
(D)
5
3
9
9
3
(8)已知F1、F2为双曲线C:
x2-y22的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则
cos∠F1PF2=
1334
(A)(B)(C)(D)
4545
1
(9)已知x=lnπ,y=log52,z=e2,则
(A)x<y<z(B)z<x<y(C)z<y<x(D)y<z<x
(10)已知函数y=x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=
(A)-2或2(B)-9或3(C)-1或1(D)-3或1
(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有
(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种
2
(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=7。
动点P从
3
E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为
(A)16(B)14(C)12(D)1
二。
填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。
x-y1
0,
(13)若x,y满足约束条件x
y-3
0,则z=3x-y的最小值为_________。
x
3y-3
0,
(14)当函数ysinx-3cosx0x2取得最大值时,x=___________。
(15)若x
1
x
n
的展开式中第
3项与第7项的二项式系数相等,
则该展开式中
1
的
2
x
系数为_________。
(16)三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,BAA1=CAA1=50°
则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。
(17)(本小题满分10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos
(A-C)+cosB=1,a=2c,求c.
3
(18)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,
AC=22,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.
(Ⅰ)证明:
PC⊥平面BED;
(Ⅱ)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小。
19.(本小题满分12分)乒乓球比赛规则规定:
一局比赛,双方比分在10平前,一方连续
发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换。
每次发球,胜方得1分,负方得0分。
设在
甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立。
甲、乙的一局比赛中,甲先发球。
4
(Ⅰ)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;
(Ⅱ)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望。
(20)(本小题满分12分)
设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.
5
21.(本小题满分12分)已知抛物线C:
y=(x+1)2与圆M:
(x-1)2+(y1
2
)2=r2(r>0)有
一个公共点,且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(Ⅰ)求r;
(Ⅱ)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距
离.
22(本小题满分
12分)函数
2
是过两点P(4,5)、
f(x)=x-2x-3,定义数列{xn}如下:
x1=2,xn+1
Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.
(Ⅰ)证明:
2xn<xn+1<3;(Ⅱ)求数列{xn}的通项公式.
6
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)复数=()
A.2+iB.2﹣iC.1+2iD.1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【专题】计算题.
【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数,得,由此利
用复数的代数形式的乘除运算,能求出结果.
【解答】解:
=
=
=1+2i.
故选C.
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
2.(5分)已知集合,B={1,m},A∪B=A,则m=()
A.0或B.0或3C.1或D.1或3
【考点】集合关系中的参数取值问题.
【专题】集合.
【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B?
A,由此判断出参数m可能的取值,
再进行验证即可得出答案选出正确选项.
【解答】解:
由题意A∪B=A,即B?
A,又,B={1,m},
∴m=3或m=,解得m=3或m=0及m=1,
验证知,m=1不满足集合的互异性,故m=0或m=3即为所求,故选:
B.
【点评】本题考查集合中参数取值问题,解题的关键是将条件A∪B=A转化为B?
A,再由
集合的包含关系得出参数所可能的取值.
3.(5分)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=﹣4,则该椭圆的方程为()
A.B.
C.D.
【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程.
7
【专题】计算题.
【分析】确定椭圆的焦点在x轴上,根据焦距为4,一条准线为x=﹣4,求出几何量,即可求得椭圆的方程.
【解答】解:
由题意,椭圆的焦点在x轴上,且
2
∴c=2,a=8
222
∴b=a﹣c=4
∴椭圆的方程为
故选C.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,属于基础题.
4.(5分)已知正四棱柱
ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2
,E为CC1的中点,则直
线AC1与平面BED的距离为(
)
A.2B.
C.
D.1
【考点】直线与平面所成的角.
【专题】计算题.
【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线
C1A∥平面BDE,再将线面距离转化为点面
距离,最后利用等体积法求点面距离即可
【解答】解:
如图:
连接AC,交BD于O,在三角形CC1A中,易证OE∥C1A,从而C1A∥
平面BDE,
∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离,设为h,
在三棱锥E﹣ABD中,VE﹣ABD=S△ABD×EC=××2×2×=
在三棱锥A﹣BDE中,BD=2
,BE=
,DE=
,∴S△EBD=
×2×
=2
∴VA﹣BDE=×S
△EBD
×h=
×2
×h=
∴h=1
故选D
【点评】本题主要考查了线面平行的判定,线面距离与点面距离的转化,三棱锥的体积计算方法,等体积法求点面距离的技巧,属基础题
8
5.(5分)已知等差数列
n
n,a5
5
,则数列
的前100
{a}的前n项和为
S=5
,S=15
项和为(
)
A.
B.C.D.
【考点】
数列的求和;等差数列的前
n项和.
【专题】
计算题.
【分析】由等差数列的通项公式及求和公式,结合已知可求
a1,d,进而可求an,代入可得
=
=
,裂项可求和
【解答】解:
设等差数列的公差为
d
由题意可得,
解方程可得,d=1,a1=1
由等差数列的通项公式可得,an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n
∴==
=1﹣=
故选A
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,及数列求和的裂项求和方法的应用,属于基础试题
6.(5分)△ABC中,AB边的高为CD,若=
,
=,?
=0,||=1,||=2,则=
(
)
A.
B.
C.
D.
【考点】平面向量的综合题.
【分析】由题意可得,CA⊥CB,CD⊥AB,由射影定理可得,AC2
=AD?
AB可求AD,进
而可求
,从而可求
与
的关系,进而可求
【解答】解:
∵?
=0,
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵||=1,||=2
∴AB=
2
由射影定理可得,AC=AD?
AB
9
∴
∴
∴==
故选D
【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用,向量的基本运算的应用,向量的数
量积的性质的应用.
7.(5分)已知α为第二象限角,,则cos2α=()
A.﹣B.﹣C.D.
【考点】二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系.
【专题】三角函数的求值.
【分析】由α为第二象限角,可知sinα>0,cosα<0,从而可求得sinα﹣cosα=,利用
cos2α=﹣(sinα﹣cosα)(sinα+cosα)可求得cos2α
【解答】解:
∵sinα+cosα=,两边平方得:
1+sin2α=,
∴sin2α=﹣,①
∴(sinα﹣cosα)2=1﹣sin2α=,
∵α为第二象限角,
∴sinα>0,cosα<0,
∴sinα﹣cosα=,②
∴cos2α=﹣(sinα﹣cosα)(sinα+cosα)
=(﹣)×
=﹣.
故选A.
【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系,突出二倍角的正弦与余弦的应用,求得sinα
﹣cosα=是关键,属于中档题.
10
8.(5分)已知F1、F2为双曲线C:
x2﹣y2
=2的左、右焦点,点
P在C上,|PF1|=2|PF2|,
则cos∠F1PF2=(
)
A.B.
C.D.
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题.
【分析】根据双曲线的定义,结合
|PF1
2
1
2的值.
|=2|PF|,利用余弦定理,即可求
cos∠FPF
【解答】解:
将双曲线方程x2﹣y2
=2化为标准方程
﹣=1,则a=
,b=
,c=2,
设|PF1|=2|PF2|=2m,则根据双曲线的定义,
|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2
,
∴|PF1
2
,
|=4
,|PF|=2
∵|F1F2|=2c=4,
∴cos∠F1PF2====.
故选C.
【点评】本题考查双曲线的性质,考查双曲线的定义,考查余弦定理的运用,属于中档题.
9.(5分)已知x=lnπ,y=log52,,则()
A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x
【考点】不等式比较大小.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】利用x=lnπ>1,0<y=log52<,1>z=>,即可得到答案.
【解答】解:
∵x=lnπ>lne=1,
0<log52<log5=,即y∈(0,);
0
>
=
,即z∈(
,1),
1=e>=
∴y<z<x.
故选:
D.
【点评】本题考查不等式比较大小,
掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键,
属
于基础题.
10.(5分)已知函数
y=x
3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则
c=(
)
A.﹣2或2B.﹣9或3C.﹣1或1D.﹣3或1
【考点】利用导数研究函数的极值;函数的零点与方程根的关系.
【专题】计算题.
11
【分析】求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数y=x3﹣3x+c的图象
与x轴恰有两个公共点,可得极大值等于0或极小值等于0,由此可求c的值.
【解答】解:
求导函数可得y′=3(x+1)(x﹣1),
令y′>0,可得x>1或x<﹣1;令y′<0,可得﹣1<x<1;∴函数在(﹣∞,﹣1),(1,+∞)上单调增,(﹣1,1)上单调减,
∴函数在x=﹣1处取得极大值,在x=1处取得极小值.
3
∵函数y=x﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,
∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0,
∴c=﹣2或2.
故选:
A.
【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0.
11.(5分)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字
母也互不相同,则不同的排列方法共有()
A.12种B.18种C.24种D.36种
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】由题意,可按分步原理计数,对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁.
【解答】解:
由题意,可按分步原理计数,
首先,对第一列进行排列,第一列为a,b,c的全排列,共有种,
再分析第二列的情况,当第一列确定时,第二列第一行只能有2种情况,
当第二列一行确定时,第二列第2,3行只能有1种情况;
所以排列方法共有:
×2×1×1=12种,
故选A
【点评】本题若讨论三行每一行的情况,讨论情况较繁琐,而对两列的情况进行分析会大大
简化解答过程.
12.(5分)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,,动
点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,
当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为()
A.16B.14C.12D.10
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程;直线的一般式方程.
【专题】作图题;压轴题.
【分析】通过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图象分析反射的次数即可.
【解答】解:
根据已知中的点E,F的位置,可知第一次碰撞点为F,在反射的过程中,直
线是平行的,利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G,且CG=,第二次碰
撞点为H,且DH=,作图,
12
可以得到回到E点时,需要碰撞14次即可.
故选B.
【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通过相似三角形,来确定反射
后的点的落的位置,结合图象分析反射的次数即可,属于难题.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.(注意:
在试题卷上作答无效)
13.(5分)若x,y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1.
【考点】简单线性规划.
【专题】计算题.
【分析】作出不等式组表示的平面区域,由z=3x﹣y可得y=3x﹣z,则﹣z表示直线3x﹣y
﹣z=0在y轴上的截距,截距越大z越小,结合图形可求
【解答】解:
作出不等式组表示的平面区域,如图所示
由z=3x﹣y可得y=3x﹣z,则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距,截距越大z越小结合图形可知,当直线z=3x﹣y过点C时z最小
由可得C(0,1),此时z=﹣1
故答案为:
﹣1
13
【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用,解题的关键是明确目标函数中z的几何意义,属于基础试题
14.(5分)当函数y=sinx﹣
cosx(0≤x<2π)取得最大值时,
x=
.
【考点】三角函数的最值;两角和与差的正弦函数.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】利用辅助角公式将
y=sinx﹣cosx化为y=2sin(x﹣
)(0≤x<2π),即可求得
y=sinx﹣
cosx(0≤x<2π)取得最大值时x的值.
【解答】解:
∵y=sinx﹣
cosx=2(sinx﹣
cosx)=2sin(x﹣
).
∵0≤x<2π,
∴﹣
≤x﹣
<
,
∴ymax=2,此时x﹣
=
,
∴x=
.
故答案为:
.
【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数,
着重考查辅助角公式的应用与
正弦函数的性质,将
y=sinx﹣
cosx(0≤x<2π)化为y=2sin(x﹣
)(0≤x<2π)是关键,
属于中档题.
14
15.(5分)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中
的系数为56.
【考点】二项式系数的性质.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式,求出n的值,根据通项可求满足条件的
系数
【解答】解:
由题意可得,
∴n=8
展开式的通项=
令8﹣2r=﹣2可得r=5
此时系数为=56
故答案为:
56
【点评】本题主要考查了二项式系数的性质,以及系数的求解,解题的关键是根据二项式定理写出通项公式,同时考查了计算能力.
16.(5分)三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,
则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
【考点】异面直线及其所成的角.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】先选一组基底,再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面
直线的方向向量用基底表示,最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即
可
【解答】解:
如图,设=,,,棱长均为1,
则=,=,=
∵,
∴=()?
()=﹣++﹣+
=﹣++=﹣1++1=1
||===
||===
15
∴cos<,>===
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用,空间向量基本定理,向量
数量积运算的性质及夹角公式的应用,有一定的运算量
三.解答题:
本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A﹣C)+cosB=1,
a=2c,求C.
【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用.
【专题】计算题.
【分析】由cos(A﹣C)+cosB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=1,可得sinAsinC=,由a=2c
及正弦定理可得sinA=
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