2三角函数解三角形平面向量.docx
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2三角函数解三角形平面向量
二、小题专项,限时突破
2.三角函数、解三角形、平面向量
(时间:
40分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)
1.已知sin=,则cos=( )
A.-B.C.D.-
[解析] cos(x-)=cos(-x)=sin=sin=-sin(-π++x)=-sin=-.
[答案] A
2.如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a可用基底e1,e2表示为( )
A.e1+e2B.-2e1+e2
C.2e1-e2D.2e1+e2
[解析] 由题意可取e1=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),设a=xe1+ye2=x(1,0)+y(-1,1)=(x-y,y),则解得故a=-2e1+e2.
[答案] B
3.(2017·南昌三模)下列结论中错误的是( )
A.若0<α<,则sinα B.若α是第二象限角,则为第一象限或第三象限角 C.若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sinα= D.若扇形的周长为6,半径为2,则其中心角的大小为1弧度 [解析] 若0<α<,则sinα [答案] C 4.已知cos=-,则sin-cosα=( ) A.±B.-C.D.± [解析] sin(α+)-cosα=sinαcos+cosαsin-cosα=sin(α-),而cos(2α-)=1-2sin2(α-)=-,则sin(α-)=±,所以sin(α+)-cosα=±,故选D. [答案] D 5.(2017·洛阳一模)将函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象,若函数g(x)在区间上为增函数,则ω的最大值为( ) A.3B.2C.D. [解析] 由题意知,g(x)=2sin[ω(x-)+]=2sinωx,由对称性,得-(-)≤×,即ω≤,则ω的最大值为. [答案] C 6.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=( ) A.B. C.-D.- [解析] 设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,由题意可得a=csin=c,则a=c.在△ABC中,由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=c2+c2-3c2=c2,则b=c.由余弦定理,可得cosA===-,故选C. [答案] C 7.(2017·吉林三模)已知平面向量a,b的夹角为120°,且a·b=-1,则|a-b|的最小值为( ) A.B.C.D.1 [解析] 由题意可知-1=a·b=|a|·|b|cos120°,所以2=|a|·|b|≤,即|a|2+|b|2≥4,当且仅当|a|=|b|时等号成立.|a-b|2=a2-2a·b+b2=a2+b2+2≥4+2=6,所以|a-b|≥,所以|a-b|的最小值为. [答案] A 8.(2018·陕西省部分学校第一学期摸底检测)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0,|φ|≤)的部分图象如图所示,若方程f(x)=a在上有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( ) A.B. C.D. [解析] 由题中函数f(x)的部分图象可得,函数f(x)的最小正周期为π,最小值为-,所以A=,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),将点的坐标代入得,sin=-1,因为|φ|≤,所以φ=,所以f(x)=sin.若f(x)=a在上有两个不等的实根,即在上,函数f(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点,结合图象(略),得-≤a<,故选B. [答案] B 9.在△ABC中,三内角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,已知2acosB=c,sinAsinB(2-cosC)=sin2+,则△ABC为( ) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形 [解析] 由正弦定理,得2sinAcosB=sinC.在△ABC中,A+B+C=π,∴sinC=sin(A+B),∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,整理得sinAcosB=cosAsinB, ∴sin(A-B)=0.又A,B∈(0,π),∴A=B.∵sinAsinB·(2-cosC)=sin2+,∴sinAsinB·=sin2+,∴sinAsinB=,∴sinAsinB=.∵A=B,A,B∈(0,π),∴A=B=,∵A+B+C=π,∴C=,∴△ABC是等腰直角三角形. [答案] B 10.如图所示,AB是圆O的直径,P是上的点,M,N是直径AB上关于O对称的两点,且AB=6,MN=4,则·=( ) A.13B.7 C.5D.3 [解析] 连接AP,BP,则=+,=+=-,所以·=(+)·(-)=·-·+·-||2=-·+·-||2=·-||2=1×6-1=5. [答案] C 11.已知函数f(x)=sinωx-2cos2+(ω>0)满足f=-f(x),关于函数f(x)有下列结论: ①函数f(x)的值域为[-1,1];②f(x)的单调递增区间为(k∈Z);③当且仅当x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值2;④f(x)是以2π为最小正周期的周期函数. 其中正确结论的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 [解析] f(x)=sinωx-2cos2+=sinωx-cosωx=2sin.因为f=-f(x),则f(π+x)=-f=f(x),因而f(x)是以π为最小正周期的周期函数,④不正确;ω==2,f(x)=2sin,值域为[-2,2],①不正确;令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z),因而②不正确;令2x-=2kπ+(k∈Z),则x=kπ+(k∈Z),③正确,故选A. [答案] A 12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b=c,=.若点O是△ABC外一点,∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2,OB=1,如图所示,则四边形OACB面积的最大值是( ) A.B. C.3D. [解析] 由=及正弦定理得sinBcosA=sinA-sinAcosB,所以sin(A+B)=sinA,所以sinC=sinA,A,C∈(0,π),C=A,又b=c,所以A=B=C,△ABC为等边三角形.设△ABC的边长为k,则k2=12+22-2×1×2×cosθ=5-4cosθ,则S四边形OACB=×1×2sinθ+k2=sinθ+(5-4cosθ)=2sin+≤2+=,所以当θ-=,即θ=时,四边形OACB的面积取得最大值,且最大值为. [答案] B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分) 13.函数y=2tan的图象的对称中心是________. [解析] 对于函数y=2tan,令3x-=,k∈Z,得x=π,k∈Z,故函数的对称中心为,k∈Z. [答案] ,k∈Z 14.如图,⊙O与x轴的正半轴的交点为A,点B,C在⊙O上,且B,点C在第一象限,∠AOC=α,BC=1,则cos=________. [解析] 由B,得OB=OC=1,又BC=1, ∴∠BOC=,由三角函数的定义,得sin∠AOB=,cos∠AOB=,∴sinα=sin=sin·cos∠AOB-cossin∠AOB=×-×=,同理cosα=,∴cos=coscosα+sin·sinα=-×+×=-. [答案] - 15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积S=a2-(b-c)2,且b+c=8,则S的最大值为________. [解析] 由题意知bcsinA=a2-b2+2bc-c2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得bcsinA-2bc=2bccosA,因为bc≠0,所以sinA=4-4cosA,则1-cos2A=16(1-cosA)2,得cosA=,sinA=,b+c=8≥2,当且仅当b=c时取等号,因而bc≤16,那么S≤. [答案] 16.已知a=,=a-b,=a+b,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积为________. [解析] 因为⊥,所以·=(a-b)·(a+b)=0,化简得a2-b2=0,得|a|=|b|,又||=||,所以||2=||2,即(a-b)2=(a+b)2,得a⊥b,因为a=,所以|a|==1,所以|a|=|b|=1,可得a,b是相互垂直的单位向量,所以||=||=,所以△OAB的面积S=||·||=1. [答案] 1
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- 三角函数 三角形 平面 向量
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