特殊平行四边形专题总结.docx
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特殊平行四边形专题总结.docx
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特殊平行四边形专题总结
特殊平行四边形专题总结
特殊平行四边形专题总结
一、菱形
(一)菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
(二)菱形的性质:
1、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,每条对角线所在的直线都是菱形的对称轴,两条对角线的交点是菱形的对称中心;
2
、菱形的四条边相等
3
、菱形的对角线相互垂直
(三)菱形的判定:
1、对角线相互垂直的平行四边形是菱形
2
、四条边相等的四边形是菱形
注意:
1、菱形是特殊的平行四边形,因此菱形具有平行四边形的所有性质
2、菱形的两个判定定理有着不同的适用范围,在应用是应要注意区分
题型一:
求与菱形有关的图形面积例1:
已知BD是ABC的角平分线,DE〃BC,交AB于点E.
(1)如图一,求证:
BED是等腰三角形;
(2)如图二,在线段BC上取一点F,使四边形BFDE是菱形,连结EF交BD于点0,在不添加任何辅助线的情况下,请写出与BEF面积一定相等的所有三角形(不包括BEF本身))
图一
1、如图,四边形ABCD是菱形,AC二8,DB=6,DH_AB与点H,()
a.24
B.12
C.12
D.24
题型二:
综合运用菱形的性质与判定解题
(1)试判断四边形ABCD的形状,并加以证明;
2、如图,已知E,F分别是平行四边形ABCD的边BC,AD的中点,且.BAC=90
(1)求证:
四边形AECF是菱形;
(2)若AB=5.3,BC=10,求菱形AECF的面积
题型三:
与菱形有关的图形变换问题
例3:
如图,在ABC和:
EDC中,AC=CE=CB=CD,ACB=/DCE=90,AB
与CE交于点F,ED与AB、BC分别交于M、H.
(1)求证:
CF二CH;
(2)如图2,ABC不动,将EDC绕点C旋转到.BCE=45时,试判断四边
(3)
形ACDM是什么四边形,并证明你的结论。
3、如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心0处,折痕
为EF,若菱形ABCD的边长为4cm,ZA=120:
则EF=cm.
D
二、矩形
(一)矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
(二)矩形的性质:
1、矩形是中心对称图形,两条对角线的交点是矩形的对称
中心;
2
、矩形的四个角都是直角
3
、矩形的对角线相等
4
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(三)矩形的判定:
1、对角线相等的平行四边形是矩形
2
、有三个角是直角的四边形是矩形
题型一:
综合运用矩形的性质与判定解题
例1:
如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD为BC边上的高,过点
A作AE〃BC,过点D作DE//AC,AE与DE交于点E,AB与DE交于点F,
连接BE。
求四边形
AEBD的面积。
题型二:
矩形与菱形等知识的综合例2:
如图,菱形ABCD中,分别延长DC,BC至点E,F,使CE二CD,CF=CB,
连结DB,BE,EF,FD.
(1)求证:
四边形DBEF是矩形;
(2)如果.A=60,菱形ABCD的面积为8、3,求DF的长
D
1、如图,菱形ABCD的对角线AC,BD,相交于点O,过点D作DE//AC,且
1DEAC,连结CE,OE.
2
(1)求证:
OE二CD;
(2)连结AE交OD于点F,若菱形ABCD的边长为2,ABC=60,求AE的长
题型三:
与矩形有关的动点问题
例3:
如图,在ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE_AB
于点E,PF_AC于点F,求EF的最小值。
三、正方形
(一)正方形的定义:
有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
(二)正方形的性质:
1、正方形的四个角都是直角,四条边相等
2
、正方形的对角线相等且互相垂直平分
(三)正方形的判定:
1、对角线相等的菱形是正方形
2
、有一个角是直角的菱形是正方形
3
、对角线相互垂直的矩形是正方形
4
、有一组邻边相等的矩形是正方形
题型一:
综合运用正方形的性质与判定解题
例1:
如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,DE平分.ADC,EF//CD交AD边于点F,连结BD.
(1)求证:
四边形EFCD是正方形;
(2)若BE=1,DE=2、2,求CD的值。
BC
题型二:
与正方形有关的开放性的问题
例2:
如图,在ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF二BD,连结BF.
(1)求证:
BD二CD;
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论;
(3)当ABC满足什么条件时,四边形AFBD为正方形?
题型三:
与正方形有关的图形变换问题例3:
正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角.DAG二「,其中0_「_180,连结DF,BF,如图。
(1)若-0,则DF二BF,请加以证明;
(2)试画一个图形(即反例),说明
(1)中命题的逆命题是假命题;
(3)对于
(1)中命题的逆命题,如果补充一个条件后能使该逆命题为真命题,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明理由。
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