平行四边形与特殊的平行四边形Word版.docx
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平行四边形与特殊的平行四边形Word版
平行四边形的性质与判定
一、总结平行四边形的性质与判定原理:
性质原理
判定原理
边
1、两组对边分别平行;
2、两组对边分别相等;
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
角
3、对角相等;邻角互补;
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
线
4、对角线互相平分。
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【问题1】我们学习平行四边形的性质是从哪几个方面来研究的?
从“边、角、线”三个方面,其中“线”指的是对角线。
【问题2】判定一个四边形是平行四边形必须有几个条件?
必须具备两个条件;注意判定原理5“对角线互相平分”也是两个等量。
图P-01
二、总结与平行四边形相关的性质:
(注意,以下性质只可用来指导解证题,在填空、选择题中可直接使用,但在解答题中不可直接当作原理使用)
【平行四边形对角线相关性质】
1平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的
三角形;平行四边形的对角线将其分成四个面积
相等的小三角形;相对的两个小三角形全等;相
邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。
如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,则
ABO、
ADO、
CDO、
CBO的面积相等。
依据是每相邻两个三角形都是“等底同高”。
〖练习〗⒈如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,若S⊿ABO=2,则
S⊿ABD=;S
ABCD=
⒉如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,则图中共有对全等三角形。
⒊如图P-01,已知,ABCD的周长为28,点O是对角线AC、BD交点,
ABO的周长比
CBO的周长多4,则AB=,BC=
图P-02
⒋如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,已知AB=8,BC=6,⊿ABO的周长为17,则
CBO的周长=
2在平行四边形内,过对角线交点且两端点在
平行四边形边上的线段一定被对角线交点平分;
如图P-02,点O是对角线AC、BD交点,线段
EF过点O,则OE=OF;证
AEO≌
CFO即可
〖练习〗⒈如图P-02,
ABCD中,EF过对角线交点O,
若AB=5,BC=4,EO=3,则四边形CDEF的周长为
图P-03
⒉如图P-03,
ABCD中有圆O,请你画一条直线,
将此平行四边形及圆O的面积分成相等的
两部分。
③若设平行四边形两条对角线长分别为2
和2
(
>
),则此平行四边形每条边长
的取值范围为
<
<
〖练习〗⒈如图P-01,若AC=8,BD=12,则
AB的取值范围是
⒉三角形一边上的中线的取值范围为:
大于另两边之差,小于另两边之和。
图P-04
如图P-04,已知D为
ABC中BC边上的中点,
AB=5,AC=7,求AD的取值范围。
〖提示〗延长AD至E,使DE=AD,连结BE、EC,
易证得
ABEC;记住此法:
倍长中线法,是常
用的辅助线作法
【四边形四边中点连线性质】
④顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形;
如图P-05,连结AC,由三角形中位线原理可得:
HG、EF都平行且等于
AC,
∴HG平行且等于EF,得平行四边形
注:
此性质在学习了菱形、矩形后还有扩充。
【等腰三角形与平行线相关性质】
⑤从等腰三角形底边上任一点做两腰的平行线,
可得一平行四边形和两个小的等腰三角形,
且平行四边形的周长等于两腰长之和;
如图P-06,AB=AC,DE∥AC,DF∥AB
易得∠1=∠B,∠2=∠C,而∠B=∠C,
∴∠1=∠C,∠2=∠B
〖练习〗如图P-06,
ABC中,AB=AC=6,D是BC上
一点,DE∥AC,DF∥AB,求四边形AFDE的周长。
图P-07
⑥一条角平分线与平行线相交时常会出现等腰三角形;
如图P-07,AB∥CD,∠1=∠2,则易证
∠1=∠3,∴∠2=∠3,得等腰
AED
〖练习〗⒈如图P-08,在ABCD中,AB=7,AD=3,
∠DAB的的平分线交CD于E,交BC的延长线
于F,求CF长
⒉如图P-09,
ABC中,∠ABC与∠ACB的角
平分线交于点F,DE∥BC且过点F
求证:
DE=BD+EC
【中位线相关性质】
⑦三角形中位线原理:
三角形的中位线平行且等于第三边的一半;
三角形中位线原理推论:
过三角形一边中点且平行另一边的直线必平分第三边。
图P-10
如图P-10,D、E分别为AB、AC中点,则有:
DE∥BC,DE=
BC;若已知D为AB中点,
DE∥BC,则有:
AE=CE
〖练习〗证明三角形中位线原理推论
已知:
求证:
证明:
⑧三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三角形的全等,周长都等于原三角形周长的一半,面积都等于原三角形面积的1/4。
图P-11
如图P-11,D、E、F分别是
ABC三边中点,则图中
四个小三角形都全等,且面积都等于
ABC面积的1/4;
周长都等于
ABC周长的1/2;
图中共有3个平行四边形。
〖练习〗如图P-11,D、E、F分别是
ABC三边中点,
AB=6,AC=7,BC=10,则
DEF的周长为
图P-12
三、典型题例与解题思路
【例1】如图P-12,
ABCD中,E、F为AC上两点,
且AE=CF,求证:
四边形DEBF是平行四边形
〖思路分析〗
本类题型是在平行四边形中求证某四边形是平行
四边形,证题思路较有规律,都是先由原平行四边形得
到一些条件,再证得其它条件,或由全等三角形或由平
行四边形的判定原理得到所要求证的四边形是平行四边形。
在证本类题型时,首先要想清楚自己要选用哪种方法(原理)来证。
几何证明题的方法往往有多种,不一定要是最简单的,但在找条件时不能乱,不要所有能用的不用的都写上去。
以本题为例,我们要证
BFDE,可以选用的方法有“两组对边分别相等”、“两组对边分别平行”、“一组对边平行且相等”、“对角线互相平分”等方法,选定一种后,就找对应的条件。
我们先看第一种方法:
两组对边分别相等。
要证DE=BF,BE=DF,我们可以用全等来证,先用
AEB≌
CFD得BE=DF,再同理得DE=BF。
〖解题格式〗
证:
∵有
ABCD(已知)
∴AB=CD,AB∥CD(平行四边形性质)
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
又∵AE=CF(已知)
在
AEB和
CFD中:
AB=CD∠1=∠2AE=CF
∴
AEB≌
CFD(SAS)
∴BE=DF(全等性质)
同理:
DE=BF
∴有
DEBF(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
〖同题练习〗
⒈用“一组对边平行且相等”来证:
⒉用“对角线互相平分”来证:
〖同类练习〗
⒈如图P-13,
ABCD中,E、F分别为AB、CD中点,AF、DE相交于G,CE、BF相交于H。
求证:
四边形EHFG是平行四边形
〖思路分析〗可以先用来证
DEBF,从而得DE∥BF;
再同理证得∥;最终用的原理来证得。
图P-13
〖解题过程〗
⒉如图P-14,
ABCD中,E、F分别为AB、CD上的点,且DF=BE,
图P-14
求证:
AF=CE
〖思路分析〗可以用全等的方法证,也可以
直接证
AECF,从而得对边相等。
〖解题过程〗
方法一:
用全等的方法
方法二:
先证
AECF
⒊求证:
平行四边形一条对角线的两个个端点到另一条对角线的距离相等。
(要求画图,写出已知、求证并证明)
图P-15
【例2】如图P-15,O是
ABC内一点,D、
E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点
求证:
四边形DEFG是平行四边形
〖思路分析〗
此类题型是利用中位线原理来证题,要
证DEFG,只要证一组对边平行且相等就
可以了;我们可以选定DE与FG
〖解题过程〗
证:
∵在
ABC中,D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC,DE=1/2BC(三角形中位线性质)
同理:
FG∥BC,FG=1/2BC
∴FG=DE(等量代换)FG∥DE
∴有
DEFG(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
〖练习〗求证:
三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
(写出已知、求证并证明)
菱形的性质与判定
一、菱形的性质与平行四边形的性质比较
平行四边形
菱形
变化情况
边
1、对边平行
1、对边平行
不变
2、对边相等
2、四边相等
升级
角
3、对角相等
3、对角相等
不变
线
4、对角线互相平分
4、对角线互相平分且垂直
升级
5、每条对角线平分每一组对角
新性质
二、菱形的性质与判定比较
性质
判定
边
1、对边平行
2、四边相等
1、四条边都相等的四边形是菱形
2、一组邻边相等的平行四边形是菱形
角
3、对角相等
线
4、对角线互相平分且垂直
3、对角线互相垂直平分的四边形是菱形
4、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5、每条对角线平分每一组对角
三、观察上表,你能发现什么特点?
除了上表中的四种判定法之外,你还能找出哪些判定菱形的方法?
所有这些方法,你能发现它们的共同点吗?
你能不能用一句话说明,到底怎样判定菱形的?
上表的特点是:
判定菱形,只用到了边与线,而且用边来判定时只用到了“四边相等”的性质;用“线”来判定时只用到了“互相垂直平分”的性质。
另外,如果已知的是四边形,就必须要有三个条件才能证得菱形,如果已知的是平行四边形,那么就只要再有一个条件就可以了。
除了表中的四种方法,还可以这样判定菱形:
例如,先用“两组对边分别平行”来证一个四边形是平行四边形,再证它的一组邻边相等,或证它的对角线互相垂直……这样就有很多的方法了。
如果用一句话来总结,那就是:
只要能先证它是平行四边形,再证它一组邻边相等或对角线互相垂直就可以了!
四、菱形中的重要解题性质
【菱形的面积与对角线关系原理】菱形的面积等于对角线乘积的一半
图L-01
如图L-01,菱形ABCD对角线相交于O,则
S菱形ABCD=
AC
BD
【含60o或120o内角的菱形相关性质】菱形中若有一
内角为60o或120o,则菱形被较短的对角线分成两个
等边三角形;较长的对角线等于边长的
倍。
如图L-01,∠BAD=60o,则有:
等边
ABD,等边
BDC,AC=
BD=
AB
【菱形的一些基本性质】
⒈菱形的四条边都相等,周长=边长
4;
⒉如图L-01,菱形被两条对角线分成的四个小直角三角形都全等;
图L-02
⒊如图L-02,菱形四边中点连线所得四边形是矩形;
证明:
连结AC、BD,交点为O,AC交HE于P,
BD交HG于Q
由中位线原理可得HG和EF都平行且等于1/2AC,
∴HG与EF平行且相等,∴有
EFGH
又∵AC⊥BD,AC∥HG,∴HG⊥BD
(垂直于平行线中的一条,必垂直另一条)
∴∠HQO=90o,同理∠HPO=90o,
又∵∠POQ=90o,∴∠QHE=90o,
∴有矩形EFGH
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