小升初分班数学教材50本.docx
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小升初分班数学教材50本
雷老师家教小升初
分班考试数学教材
第一讲分数运算的技巧3
第二讲比例的应用7
第三讲不定方程9
第四讲:
同余问题12
第五讲分数应用题15
第六讲:
小升初行程问题专训17
第七讲:
牛吃草问题19
第八讲工程问题22
第九讲:
(抽屉原理)24
第十讲简单的乘法原理25
第十一讲:
重难题、易错题型精选27
第十二讲图形的面积29
第十三讲浓度问题34
第14讲利润与折扣36
分班考试试模拟试题
(1)39
分班考试试模拟试题
(2)42
分班考试试模拟试题(3)45
第一讲分数运算的技巧
对于分数的混合运算,除了掌握常规的四则运算法则外,还应该掌握一些特殊的运算技巧,才能提高运算速度,解答较难的问题。
下面我们着重介绍五种常用的简算技巧。
(一)一般分数乘除法的计算:
(二)分数的简便计算
1.凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同,在分数运算中,充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律),使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。
例3、计算:
2.约分法:
例4、计算:
分析:
仔细观察可知,分子的每一项(每一个加数)都可以分解出1×2×3,分母的每一项都可以分解出1×3×5。
把它们作为公因数提出来后,括号的和是相等的。
例5、计算:
分析:
仔细观察分子、分母中各数的特点,就会发现分毋中的被减数362×548可以变形为:
(361+1)×548=361×548+548,同时发现548-186=362。
这样就可以把分母转化成与分子完全相同的式子,简化运算。
例6、计算:
例7、计算:
1、分组法
例8、计算:
分析:
利用加法交换律和结合律,先将同分母的分数相加。
4、代数法
例9、
练习:
×2005
第二讲比例的应用
一、基础知识
1、大、中、小三个圆共同部分的面积是大圆面积的
,是中圆面积的
,小圆面积的
,则三个圆的面积比是:
2、甲乙两个长方形,它们的周长相等,甲的长与宽之比是3:
2,乙的长与宽之比是7:
5,那么,甲与乙的面积之比是多少?
二、例题讲评
例1:
汽艇在静水中行驶一定的距离需12小时,顺流行驶同样的距离需10小时,已知这汽艇逆流行驶的速度是24千米/小时,求汽艇的顺流行驶速度。
例2:
猎犬发现离它10米远的前方有一只奔跑着的兔子,立即追赶。
猎犬的步子大,它跑2步的路程,兔子要跑3步;但是兔子的动作快,猎犬跑3步的时间,兔子能跑4步。
问猎犬至少要跑多少米才能追上兔子?
例3:
A、B、C是三个顺次咬合的齿轮,已知齿轮A旋转7圈时,齿轮C正好旋转了6圈。
1)如果A的齿数是42,那么C的齿数是多少?
2)如果B旋转了7圈时,C正好旋转了1圈,那么A旋转8圈时,B旋转了多少圈?
例4:
AB两地相距360米,前一半时间小华用速度A行走,后一半时间用速度B走完全程,已知A:
B=5:
4,前一半路程所用时间与后一半路程所用时间的比是多少?
例5:
两支蜡烛长度相等,粗蜡烛可以点5小时,细蜡烛可以点4小时,同时点燃一段时间后,粗蜡烛长度是细蜡烛长度的2倍,此时已经点燃了多少小时?
三、巩固练习
1、有甲、乙、丙三只水杯和一只空桶,用甲杯向桶舀水30次后,桶水的体积占全桶容量的2/5,再用乙杯向桶舀10次水后,水桶余下容量又缩小了1/2,再用丙杯向桶舀水30次,恰好使水桶装满。
问:
甲、乙、丙三只水杯的容积之比是多少?
2、一段路程分成上坡、平路、下坡三段,各段路程距离之比依次是1:
2:
3。
某人走各段路程所用时间之比依次是4:
5:
6。
已知他上坡的速度为每小时3千米,路程全长50千米。
问此人走完全程用了多少时间?
3、甲乙两人步行的速度比是7:
5,甲乙分别由A、B两地同时出发,如果相向而行,0.5小时相遇;如果他们同时同向而行,那么甲追上乙需要多少小时?
4、家和王家八月份收入的钱数之比是8:
5,八月份支出的钱数之比是8:
3,八月底家结余240元,王家结余270元,八月份两家各收入多少元?
第三讲不定方程
一、基础知识
1、列方程解应用题时,出现未知数多于所有方程的个数,称为不定方程。
不定方程往往有无数个解,但如果有条件限制,往往使解的个数变成有限,甚至唯一。
2、如果
求自然数A、B之和。
二、例题讲评
例1、把118分成两个整数的和,一个数是11的倍数,一个数是17的倍数,求这两个整数是多少?
例2、小聪要买一支49元的钢笔,他手上有两元和五元的纸币各10,请问他有几种付钱方法?
(不用找钱)
例3、一个同学把他的生日的月份乘以31,日期乘以12,然后加起来的和是170,你知道他出生何月何日吗?
例4、一个学生发现自己1998年的年龄正好等于他出生那一年的年份的末两位数字之和,请问这个学生1998年多少岁?
三、巩固练习
1、55人都去游园划船,小船每只坐4人,大船每只坐7人,问要租大、小船各多少只?
2、一天,明明问源源的生日,源源说:
“将我生日的月份乘以31,生日日期数乘以12,相加后得347。
”那么源源的生日是几月几日?
3、六年级甲、乙两班学生共109人,已知甲班男生占甲班人数的
,乙班女生占乙班人数的
,则两班共有男生多少人?
4、在长为158米的地段铺设水管,用的是长17米和8米的两种同样粗细的水管,问两种长度的水管各需多少根?
(不截断水管)
5、六年一班和二班植树总数相同,均为一百多棵。
已知两班人数不等,一班有1人植6棵,其他人每人植13棵;二班有1人植了5棵,其他人每人都植了10棵,问这两个班共有多少人?
第四讲:
同余问题
余数问题是数论知识板块中另一个容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题,并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了!
”
余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理),及中国剩余定理。
知识点拨:
一、带余除法的定义及性质:
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r,
0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里:
(1)当
时:
我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商
(2)当
时:
我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:
如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理:
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等
于4,即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:
a≡b(modm),左边的式子叫做同余式。
同余式读作:
a同余于b,模m。
由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:
若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除
用式子表示为:
如果有a≡b(modm),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)
练习题:
【例1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数
去除
,得到商是46,余数是
,求
和
.
【巩固】(清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是
,甲数除以乙数商
余
,求甲、乙两数.
【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。
【例2】(
年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是
,余数是
,已知被除数、除数、商与余数之和为
,则被除数是多少?
余数定理应用:
1、有一个大于1的整数,除
所得的余数相同,求这个数.
【巩固】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.
【巩固】在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?
(余数可以为0)
2、求
除以7的余数。
3、已知2001年的国庆节是星期一,求2010年的国庆节是星期几?
第五讲分数应用题
思路分析:
分数应用题是指用分数表示倍数关系的实际问题,分析解答时需要弄清量率
对应的关系,尤其当单位“1”确定之后,如何建立已知条件与所求问题的量率对应的关系,对解决问题更为重要。
在分析解答分数问题时,为了清晰地体现对应思想,常常采用画线段图的方法,使量率间的对应关系较为直观地反映出来,在解答逆向运用量率对应关系的分数问题时,常常将表示单位“1”的量设为“
”,列方程解答,以使化逆为顺。
典型例题精选:
1、足球赛门票15元一,降价后观众增加了一半,收入增加了五分之一,一门票降价是多少元?
2、、王、三人共有54元,用了自己钱数的
,王用了自己钱数的
,用了自己钱数的
,各买了一支相同的钢笔,那么和两人剩下的钱共有多少元?
课堂作业:
3、甲有若干本书,乙借走了一半加3本,剩下的书,丙借走了
加2本,再剩下的书,丁借走了
加1本,最后甲还有2本书,问甲原来有多少本书?
4、一条绳子第一次剪掉1米,第二次剪掉剩余部分的
,第三次剪掉1米,第四次剪掉剩余部分的
,第五次剪掉1米,第六次剪掉剩余部分的
,这条绳子还剩下1米,这条绳子原长多少米?
5、小明从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条的一半是上坡路,一半是下坡路,小明上学两条路所用时间一样,已知下坡的速度是平路的
倍,那么上坡的速度是平路速度的多少倍?
课堂作业:
6、同学们乘汽车外出春游,开始时上第一辆汽车的同学比上第二辆汽车的多8人,后来调走13个同学上第二辆汽车,这时第一辆汽车上的同学的人数是第二辆汽车上同学人数的
,参加这次春游活动的同学一共有多少人?
7、甲、乙、丙、丁合做一批零件,甲做的个数是其他三个人工作总量的一半,乙做的个数是其他三个人工作总量的
,丙做的个数是其他三人工作总量的
,丁做了390个,求四个人共做了多少个零件?
第六讲:
小升初行程问题专训
例题1、两辆汽车同时从某地出发,运送一批货物到距离165千米的工地。
甲车比乙车早到48分钟,当甲车到达时,乙车还距工地24千米。
甲车行完全程用了多少小时?
对应练习:
1、甲、乙两地之间的距离是420千米。
两辆汽车同时从甲地开往乙地。
第一辆汽车每小时行42千米,第二辆汽车每小时行28千米。
第一辆汽车到乙地立即返回。
两辆车从开出到相遇共用多少小时?
2、A、B两地相距900千米,甲车由A地到B地需15小时,乙车由B地到A地需10小时。
两车同时从两地开出,相遇时甲车距B地还有多千米?
例2、两辆汽车同时从东、西两站相向开出。
第一次在离东站60千米的地方相遇。
之后,两车继续以原来的速度前进。
各自到达对方车站后都立即返回。
又在距中点西侧30千米处相遇。
两站相距多少千米?
对应练习:
1、两辆汽车同时从南、北两站相向开出。
第一次在离南站55千米的地方相遇。
之后,两车继续以原来的速度前进。
各自到达对方车站后都立即返回。
又在距中点南侧15千米处相遇。
两站相距多少千米?
2、两辆汽车同时从甲、乙两站相向而行。
第一次在离甲站40千米的地方相遇。
之后,两车继续以原来的速度前进。
各自到达对方车站后都立即返回。
又在离乙站20千米处相遇。
两站相距多少千米?
3、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出。
第一次相遇时离A站有90千米。
之后,两车继续以原来的速度前进。
各自到达对方车站后都立即返回。
第二次相遇时离A地的距离占A、B两站间全程的65%。
A、B两站相距多少千米?
例3、A、B两地相距960千米。
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发。
若相向而行,6分钟相遇;若同向而行,80分钟甲可以追上乙。
甲从A地走到B地要用多少分钟?
对应练习:
1、一条笔直的马路通过A、B两地,甲、乙两人同时从A、B两地出发,若相向而行,12分钟相遇;若同向而行,8分钟甲就落在乙后面1864米。
已知A、B两地相距1800千米。
甲、乙每分钟各行多少米?
第七讲:
牛吃草问题
1、学法点拔:
“牛吃草”问题,也称“牛顿问题”。
这类问题往往给出不同头数的牛吃同一片草,吃完草的天数不同,求若干头牛吃这片草可吃多少天。
解这类问题必须通过求出草每天的生长量,再求草场上原有的草量(此量是不变的),问题就可以得到解决。
2、这类问题的基本数量关系是:
草每天的生长量=(牛的头数×吃的较多的天数—牛的头数×吃的较少的天数)÷天数的差
草的原有量=牛的头数×吃的天数-草每天生长量×吃的天数。
3、解决牛吃草问题的四个基本公式:
(1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
4、典例与实践
例1:
牧场上长满牧草,每天匀速生长,这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天。
问可供25头牛吃几天?
例2:
某火车站的检票口,在检票开始前已经有一些人排队,检票开始后每分钟有10人前来排队检票,一个检票口每分钟能让25人检票进站。
如果只有一个检票口,检票开始8分钟后就没有人排队,如果有两个检票口,那么检票开始后多少分钟就没有人排队?
例3:
一个水池装有一个进水管和三个同样的出水管。
先打开进水管,等水池存了一些水后,再打开出水管。
如果同时打开2个出水管,那么8分钟后水池空;如果时同打开3个出水管,那么5分钟后水池空。
那么出水管比进水管晚开多少分钟?
例4:
由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天。
照此计算,可供多少头牛吃10天?
例5、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶,两位性急的孩子要从扶梯上楼。
已知男孩每分钟走20级梯级,女孩每分钟走15级梯级,结果男孩用了5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上。
问:
该扶梯共有多少级?
例6、某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多。
从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟。
如果同时开7个检票口,那么需要多少分钟?
第八讲工程问题
顾名思义,工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实,这类题目的容已不仅仅是工程方面的问题,也括行路、水管注水等许多容。
在分析解答工程问题时,一般常用的数量关系式是:
工作量=工作效率×工作时间,工作时间=工作量÷工作效率,
工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用数1表示,也可
工作效率指的是干工作的快慢,其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取,根据题目需要,可以是天,也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位,表示成“工作量/天”,或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程,甲队需100天完成,乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后,剩下的工程乙队干还需多少天?
例2某项工程,甲单独做需36天完成,乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18天才完成任务。
问:
甲队干了多少天?
例3单独完成某工程,甲队需10天,乙队需15天,丙队需20天。
开始三个队一起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了6天完成这一工程。
问:
甲队实际工作了几天?
例4一批零件,师傅独做20时完成,王师傅独做30时完成。
如果两人同时做,那么完成任务时师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个?
例5一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管5时可将空池灌满,单开排水管7时可将满池水排完。
如果一开始是空池,打开放水管1时后又打开排水管,那么再过多长时间池将积有半池水?
例6甲、乙二人同时从两地出发,相向而行。
走完全程甲需60分钟,乙需40分钟。
出发后5分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽误了5分钟。
甲再出发后多长时间两人相遇?
第九讲:
(抽屉原理)
一、学法点拨:
抽屉原理1:
如果把
个物体放进
个抽屉里,那么至少有一个抽屉里放了两个或两个以上的物体。
抽屉原理2:
如果把
个物体放进
个抽屉里,那么至少有一个抽屉要放
个或更多个物体。
[解决问题的关键是建立合理的抽屉(分类)]。
二、方法归纳:
抽屉原理是一个重要的数学原理,应用它可以解决很多有趣的问题,并且常
常能起令人惊奇的作用,它的结论只是肯定了“存在”“总有”或“至少有”,而不能确切地说明在哪一个抽屉中有,解决问题的意义就更加广泛。
三、典例与实践:
例1、半步桥小学六年级(一班)有42人开展读书活动,他们从学校图书馆借了212本图书,那么其中至少有一人借本书。
例2、参加数学竞赛的210名同学中至少有名同学是同一个月出生的。
例3、某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同。
例4、在(2008年)出生的1000个孩子中,请你预测:
(1):
同在某月某日生的孩子至少有个。
(2):
至少有孩子将来不单独过生日。
例5、五个同学在一起练习投篮,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了个球。
例6、有红、黄、蓝、白色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出
个球,才能保证有2个小球是同色的。
例7、、有红、黄、蓝、白色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出
个球,才能保证有6个小球是同色的。
例8、布袋中有60个形状、大小相同的木块,每6块编上相同的,那么一次至少取出块,才能保证其中至少有三块相同。
例9、一副扑克牌共有54(包括大王、小王),至少从中取牌,才能保证其中必有3种花色。
例10、有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各2支,让一位小朋友随便抓2支,这位小朋友至少抓次才能确保至少有两次抓到的笔完全相同。
(每抓一次后又放回再抓另一次)。
第十讲简单的乘法原理
一、学法点拔:
乘法原理:
完成一件事,需要
个步骤,做第一步有
种不同的方法,做第二步有
种不同的方法
,做第
步有
种不同的方法,那么完成这件事共有:
种不同的方法。
二、典例与实践:
1、有5件不同的上衣,3条不同的裤子,4顶不同的帽子,从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束,最多有多少种不同的装束?
2、用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?
3、有5个同学排成一排,其中A、B两人不排在一起,共有多少种不同的排法?
4、有6卡片,分别写有2、3、4、5、6、7,现在从中取出3卡片,并排放在一起,形成一个三位数,那么共有多少个不同的三位奇数?
行程问题(追及)中的钟表问题上
一、学法点拔:
1、在一个钟面上,由于时针12小时旋转1周,所以时针1小时旋转的圆心角的度数是30度,1分钟旋转的圆心角度数为
度;分针1小时旋转1周,即分针1分钟旋转的圆心角度数为6度。
2、钟面一周平均分为60格,相邻两格刻度之间的时间间隔为1分钟,时针1分钟走
格,分针1分钟走1格。
二、典例与实践:
1、分针和时针每隔多少时间重合一次?
一个钟面上的分针和时针一昼夜重合多少次?
2、小明有一块手表,每分钟比标准时间快2秒钟,小明早晨8点整将手表对准,问当小明这块手表指示12点时,标准时间此时是几点几分?
3、3点到4点之间,分针与时针在什么时刻重合?
4、现在是2点15分,再过几分钟,时针和分针第一次重合?
第十一讲:
重难题、易错题型精选
1、甲、乙二人从A地到B地,甲的速度比乙快
,已知甲行这段路用42分钟,乙行这段路用()分钟。
A、30B、36C、49D、52
2、一本书已读的页数比未读的页数多
,已读了这本书的()
A、
B、
C、
D、
3、
加上一个数,
减去同一个数,两次计算的结果相等,那么这个相等的结果是()
4、有甲、乙两个数,如果把甲数的小数点向左移动两位就是乙数的
,那么,甲数是乙数的()倍。
5、如果A是B的
,则A比B少,B比A多(填分数)。
6、一种商品先提价10%,又降价10%,这时价格相当于原价的。
7、在下面的()中,填上不相同的自然数,使等式成立。
8、圆的周长缩小为原来的
,那么圆的面积是原来的()
9、有浓度为8%的盐水200克,需稀释成为浓度为5%的盐水,需加水()克。
10、若一个整数
被2,3,
9这8个自然数除,所得的余数都为1,则
的最小值是
。
11、一艘轮船从甲地到乙地每小时航行60千米,然后按原路返回,若想往返的平均速度为80千米/小时,则返回时每小时应航行120千米.
显示解析
12、一个长方体下底周长是28厘米,高是10厘米.这个长方体的棱长总和是。
13、两数相除的商是3,余数是1,如果把被除数、除数、商和余数相加,他们的和是193,则被除数是,除数是。
14.如图,三角形的周长是。
15、把一根10米长的绳子,剪成每段一样长的小段,共剪5次,每段为米.如果剪成每段需要3分钟,剪成5段共需要 12
分钟.
16、一个直角三角形的三条边分别长为5厘米、4厘米、3厘米,以一直角边为轴,旋转一周后,得到的图形的体积是立方厘米(结果中的π保留,不必取近似值计算)
12π或16π
17、在正方形里面画一个最大的圆,圆面积是正方形面积的,在圆里面画一个最大的正方形,正方形面积是圆面积的.(结果中的π
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- 小升初分班 数学 教材 50