九年级上册数学知识点总结.docx
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九年级上册数学知识点总结
九年级上册数学知识点总结
九年级上册数学知识点总结归纳第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数第二十三章旋转第二十四章圆第二十五章概率初步第二十一章一元二次方程知识点1:
一元二次方程的概念一元二次方程:
只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0)。
注意:
判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。
知识点2:
一元二次方程的解法1.直接开平方法:
对形如(x+a)2=b(b≥0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a==-a+=-a-2.配方法:
用配方法解一元二次方程:
ax2+bx+c=0(k≠0)的一般步骤是:
①化为一般形式;
②移项,将常数项移到方程的右边;
③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数;
④配方,即方程两边都加上一次项系数的一半的平方;
化原方程为(x+a)2=b的形式;
⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解;
如果b<0,则原方程无解.3.公式法:
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求根公式是(b2-4ac≥0)。
步骤:
①把方程转化为一般形式;
②确定a,b,c的值;
③求出b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法:
用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据:
若ab=0,则a=0或b=0。
步骤是:
①将方程右边化为0;
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积;
③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程乘积的形式,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.因式分解的方法:
提公因式、公式法、十字相乘法。
5.一元二次方程的注意事项:
⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0.因当a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:
①先化方程为一般形式再确定a,b,c的值;
②若b2-4ac<0,则方程无解.⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4)=3(x+4)中,不能随便约去x+4。
⑷注意:
解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是:
开平方法→因式分解法→公式法.6.一元二次方程解的情况⑴b2-4ac≥0方程有两个不相等的实数根;
⑵b2-4ac=0方程有两个相等的实数根;
⑶b2-4ac≤0方程没有实数根。
解题小诀窍:
当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时,往往首先考虑用b2-4ac解题。
主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。
知识点3:
根与系数的关系:
韦达定理对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说,x1+x2=—,x1●x2=。
利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形),如。
解题小诀窍:
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理。
知识点4:
一元二次方程的应用一、考点讲解:
1.构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下:
⑴与几何图形有关的应用:
如几何图形面积模型、勾股定理等;
⑵有关增长率的应用:
此类问题是在某个数据的基础上连续增长(降低)两次得到新数据,常见的等量关系是a(1±x)2=b,其中a表示增长(降低)前的数据,x表示增长率(降低率),b表示后来的数据。
注意:
所得解中,增长率不为负,降低率不超过1。
⑶经济利润问题:
总利润=(单件销售额-单件成本)×销售数量;
或者,总利润=总销售额-总成本。
⑷动点问题:
此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程。
2.注重解法的选择与验根:
在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性.一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题(单循环问题)
4、贺卡问题(双循环问题)
5、围栏问题6、几何图形(道路、做水箱)
7、增长率、降价率问题8、利润问题(注意减少库存、让顾客受惠等字样)
9、数字问题10、折扣问题第二十二章二次函数一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式:
的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质时,随的增大而;
时,随的增大而;
时,有最值.时,随的增大而;
时,随的增大而;
时,有最值.2.的性质:
上加下减。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质时,随的增大而;
时,随的增大而;
时,有最值.时,随的增大而;
时,随的增大而;
时,有最值.3.的性质:
左加右减。
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1
(1)二次函数的图像如图1,则点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论:
①a、b同号;
②当x=1和x=3时,函数值相等;
③4a+b=0;
④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
(1)
(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1 ①a ②2a+c>O; ③4a+c ④2a-b+1>O,其中正确结论的个数为()A1个B.2个C.3个D.4个会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知: 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为()A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)例4、如图(单位: m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2. (1)写出y与x的关系式; (2)当x=2,3.5时,y分别是多少? (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间? 求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=x2+x-. (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴. (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.【点评】本题 (1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第 (2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.例6.已知: 二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于,两点,交y轴负半轴于C点,且满足3AO=OB. (1)求二次函数的解析式; (2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠ACO? 若存在,请你求出M点的横坐标的取值范围; 若不存在,请你说明理由.例7、“已知函数的图象经过点A(c,-2),求证: 这个二次函数图象的对称轴是x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式? 若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象; 若不能,请说明理由。 (2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。 点评: 对于第 (1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,-2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。 对于第 (2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第 (1)小题中的解析式就可以了。 而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 用二次函数解决最值问题例1某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: x(元) 152030…y(件) 252022…若日销售量y是销售价x的一次函数. (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? 此时每日销售利润是多少元? 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点: (1)设未知数在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数; (2)问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.例2.你知道吗? 平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A.1.5mB.1.625m C.1.66mD.1.67m分析: 本题考查二次函数的应用第二十三章旋转一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。 2、性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等。 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。 2、性质 (1)关于中心对称的两个图形是全等形。 (2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。 (3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。 3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心。 考点五、坐标系中对称点的特征(3分) 1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y) 2、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y) 3、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y) 第二十四章圆一、知识回顾圆的周长: C=2πr或C=πd、圆的面积: S=πr²圆环面积计算方法: S=πR²-πr²或S=π(R²-r²)(R是大圆半径,r是小圆半径) 二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部: 可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部: 可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念: 1、圆: 到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 固定的端点O为圆心。 连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。 2、垂直平分线: 到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线; 3、角的平分线: 到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是: 平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是: 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系1、点在圆内点在圆内; 2、点在圆上点在圆上; 3、点在圆外点在圆外; 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点; 2、直线与圆相切有一个交点; 3、直线与圆相交有两个交点; 四、圆与圆的位置关系外离(图1) 无交点; 外切(图2) 有一个交点; 相交(图3) 有两个交点; 内切(图4) 有一个交点; 内含(图5) 无交点; 五、垂径定理垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理: 此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2: 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即: 在⊙中,∵∥∴弧弧六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角。 圆心角定理: 同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即: ①; ②; ③; ④弧弧七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角。 1、圆周角定理: 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即: ∵和是弧所对的圆心角和圆周角∴2、圆周角定理的推论: 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧; 即: 在⊙中,∵、都是所对的圆周角∴推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角; 圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。 即: 在⊙中,∵是直径或∵∴∴是直径推论3: 若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即: 在△中,∵∴△是直角三角形或注: 此推论实是初二年级几何中矩形的推论: 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形圆的内接四边形定理: 圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即: 在⊙中,∵四边形是内接四边形∴九、切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理: 过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件: 过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即: ∵且过半径外端∴是⊙的切线 (2)性质定理: 切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1: 过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2: 过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即: ①过圆心; ②过切点; ③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即: ∵、是的两条切线∴平分十一、圆幂定理 (1)相交弦定理: 圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即: 在⊙中,∵弦、相交于点,∴ (2)推论: 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即: 在⊙中,∵直径,∴(3)切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即: 在⊙中,∵是切线,是割线∴(4)割线定理: 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。 即: 在⊙中,∵、是割线∴十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理: 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图: 垂直平分。 即: ∵⊙、⊙相交于、两点∴垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式: (1)公切线长: 中,; (2)外公切线长: 是半径之差; 内公切线长: 是半径之和。 十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行: ; (2)正四边形同理,四边形的有关计算在中进行,: (3)正六边形同理,六边形的有关计算在中进行,.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形: (1)弧长公式: ; (2)扇形面积公式: : 圆心角: 扇形多对应的圆的半径: 扇形弧长: 扇形面积2、圆柱: (1)A圆柱侧面展开图=B圆柱的体积: (2)A圆锥侧面展开图=B圆锥的体积: 第二十五章概率初步一、概率的概念 某种事件在某一条件下可能发生,也可能不发生,但可以知道它发生的可能性的大小,我们把刻划(描述)事件发生的可能性的大小的量叫做概率. 2、事件类型: ①必然事件: 有些事情我们事先肯定它一定发生,这些事情称为必然事件. ②不可能事件: 有些事情我们事先肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件. ③不确定事件: 许多事情我们无法确定它会不会发生,这些事情称为不确定事件. 3、概率的计算一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m中结果,那么事件A发生的概率为 (1) 列表法求概率当一次试验要设计两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法。 (2) 树状图法求概率当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法求概率。 4、利用频率估计概率①利用频率估计概率: 在同样条件下,做大量的重复试验,利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数,可以估计这个事件发生的概率。 ②在统计学中,常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计,这样的试验称为模拟实验。 ③随机数: 在随机事件中,需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。 把这些随机产生的数据称为随机数。
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