第五章-隧道结构计算5.ppt

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第五章隧道结构设计计算方法,学习本章学习目的：

（1）要求了解地下工程与地面工程的特性、设计原则的区别。

（2）要求掌握有关公路隧道、铁路隧道的设计及有关计算方法。

第5章隧道结构计算,5.1概述5.2隧道衬砌上的荷载类型及其组合5.3围岩压力确定方法5.4隧道结构计算方法5.5衬砌截面强度验算5.6隧道结构计算实战,5.1概述,1、地下工程与地面工程的区别2、隧道结构计算理论发展3、隧道结构体系计算模型,1、地下工程与地面工程的区别地下结构工程特性、设计原则和方法与地面结构完全不同。

（1）荷载大小与类别

（2）材料物理力学参数（3）承载结构体系不同,隧道结构是由周边围岩和支护结构两者共同组成并相互作用的结构体系周边围岩在很大程度上是隧道结构承载的主体。

隧道衬砌的设计计算必须结合围岩自承能力进行。

对不同型式的衬砌结构物应用不同方法进行强度计算,2、隧道结构计算理论的发展,如何确定作用在地下结构上的荷载？

如何考虑围岩的承载能力？

（1）刚性结构阶段在十九世纪末，隧道衬砌结构是作为静定弹性三铰拱计算，但仅考虑作用在衬砌上的围岩压力，忽视了围岩对衬砌的约束作用。

弹性结构阶段,弹性抗力：

衬砌在受力过程中的变形，一部分结构有离开围岩形成“脱离区”的趋势，另一部分压紧围岩形成所谓“抗力区”，在抗力区内，约束着衬砌变形的围岩相应地产生被动抵抗力.,隧道衬砌结构是作为超静定弹性连续拱形框架，超静定结构力学方法计算，不仅考虑作用在衬砌上的围岩主动压力，并考虑了地层对衬砌的弹性反力约束作用。

弹性抗力大小，目前以温克尔（E.Winkler）假定为基础的局部变形理论，它认为应力和变形之间呈线性关系，即为围岩弹性抗力系数,式中围岩边面上任意一点i的压缩变形（m）;围岩在同一点所产生的弹性抗力（MPa）;比例系数，称为围岩的弹性抗力系数（MPa/m）。

施加荷载后,计算模型图,弯矩图,变形图,变形前,变形后,（3）连续介质阶段,二者相互作用与岩体的初始应力状态、岩体的特性、支护结构的特性、支护结构与围岩的接触条件以及参与工作的时间、施工技术等因素有关。

以岩体力学理论为基础，视隧道结构与围岩为受力整体，共同承受围岩形变压力。

（4）数值分析与信息反馈阶段,随着岩土本构关系进步以及有限元法及离散元法等数值解法发展，连续介质力学的计算应用范围得到扩大。

计算参数难以准确获得。

例如：

岩体原始应力、岩体力学参数及施工因素等。

以新奥法理论为基础，采用监控量测技术，将支护与围岩共同作用、信息反馈原理应用在地下工程中，形成现代信息化支护与技术。

3、隧道结构体系的计算模型计算模型的如何建立？

隧道结构计算如何简化？

不同简化计算结果差异大！

目前采用的地下结构设计常用方法可以归纳为以下3种设计模型：

以工程类比为主的经验设计法；荷载结构模型方法岩体力学模型方法，包括解析法和数值法。

数值计算法目前主要是有限单元法。

从各国的地下结构设计实践看，目前主要采用两类计算模型：

一类是以支护结构作为承载主体，围岩作为荷载同时考虑其对支护结构的变形约束作用的模型，即结构力学模型，又称为荷载结构模型；另一类则相反，视围岩为承载主体，支护结构则为约束围岩变形的模型，即岩体力学模型或称为围岩（地层）结构模型。

天府广场地下综合体三维实体模型,近接上下交叉隧道整体三维模型,上部管线隧道,下部贯穿隧道,侧开窗洞门,基坑开挖后初始模型,计算5000步,计算25000步,计算5000步,计算25000,盾构开挖初始模型,基坑开挖后初始模型,破坏,5.2隧道衬砌上的荷载类型及其组合1、隧道结构上的基本荷载2、隧道结构上的荷载及其类型,1、基本荷载

（1）围岩压力

（2）结构自重力,2、隧道结构上的荷载及其类型作用在衬砌上的荷载，按其性质可以区分为主动荷载与被动荷载两大类。

主动荷载是主动作用于结构、并引起结构变形的荷载；被动荷载是因结构变形压缩围岩而引起的围岩被动抵抗力，即弹性抗力，它对结构变形起限制作用。

2、隧道结构上的荷载及其类型公路隧道设计规范JTGD70-2004将隧道结构上荷载仿照桥规分为：

永久荷载可变荷载偶然荷载,隧规P28：

作用在隧道结构上的荷载,荷载组合：

结构自重围岩压力附加恒载（基本）结构自重土压力公路荷载附加恒载结构自重土压力附加恒载施工荷载温度作用力结构自重土压力附加恒载地震作用附加恒载：

伴随隧道运营的各种设备设施的荷载等。

5.3围岩压力的确定,1、围岩压力的概念围岩压力：

指引起地下开挖空间周围岩体和支护变形或破坏的作用力。

它包括由地应力引起的围岩应力以及围岩变形受阻而作用在支护结构上的作用力。

从狭义上来理解，围岩压力是指围岩作用在支护结构上的压力。

在工程中一般研究狭义的围岩压力。

围岩压力按作用力发生形态分为：

松散压力：

形变压力：

膨胀压力：

冲击压力：

常通过下列三种情况发生：

在整体稳定的岩体中，可能出现个别松动掉块的岩石；在松散软弱的岩体中，坑道顶部和两侧片帮冒落；在节理发育的裂隙岩体中，围岩某些部位沿弱面发生剪切破坏或拉坏等局部塌落。

松散压力：

是指由于开挖而松动或坍塌的岩体以重力形式直接作用在支护结构的压力。

跨度11m,组合跨度14m,组合跨度14m,III级围岩自稳性,跨度5m,组合跨度6m,组合跨度7m,V级围岩自稳性,III级围岩自稳性,V级围岩自稳性,形变压力：

是指由于围岩变形受到与之密贴的支护如锚喷支护等的抑制，而使围岩与支护结构共同变形过程中，围岩对支护结构施加的接触压力。

形变压力除与围岩应力状态有关外，还与支护时间和支护刚度有关。

膨胀压力：

是指由于围岩吸水而膨胀崩解所引起的压力。

它与形变压力的基本区别在于它是由吸水膨胀引起的。

冲击压力：

是指围岩中积累了大量的弹性变性能之后，由于隧道的开挖，围岩的约束被解除，能量突然释放所产生的压力。

冲击压力是岩体能量的积累与释放问题，所以它与弹性模量直接相关。

弹性模量较大的岩体，在高地应力作用下，易于积累大量的弹性变形能，一旦遇到适宜条件，就会突然猛烈的大量释放。

2、围岩松散压力的产生开挖隧道所引起的围岩松动和破坏的范围有大有小，对于一般裂隙岩体中的深埋隧道，其波及范围仅局限在隧道周围一定深度，作用在支护结构上的围岩松散压力远远小于其上覆岩层自重所造成的压力，这可用围岩的“成拱作用”来解释。

2、围岩松散压力的产生过程隧道开挖后，在围岩应力重分布过程中，顶板开始沉陷，并出现拉断裂纹，可视为变形阶段；顶板的裂纹继续发展并且张开，由于结构面切割等原因，逐渐转变为松动，可视为松动阶段；顶板岩体视其强度的不同而逐步坍塌，可视为坍塌阶段；顶板塌落停止，达到新的平衡，此时其界面形成一近似的拱形，可视为成拱阶段。

自然拱的范围的大小除受上述的围岩地质条件、支护结构架设时间、刚度以及它与围岩的接触状态外，还取决于以下诸因素：

隧道的形状和尺寸：

隧道拱圈越平坦，跨度越大，则自然拱越高，围岩松散压力也越大；隧道的埋深：

实践证明，只有当隧道埋深超过某一临界值时，才有可能形成自然拱。

习惯上称这种隧道为深埋隧道，否则为浅埋隧道。

施工因素：

爆破震动,分部开挖多次扰动围岩，引起围岩失稳，加大自然拱范围。

3、围岩压力的确定方法围岩压力的确定目前常用有下列三种方法：

直接量测法经验法或工程类比法理论估算法,直接量测法：

是一种切合实际的方法，对隧道工程而言，也是研究发展的方向；但由于受量测设备和技术水平的制约，目前还不能普遍常用。

接触压力量测布置图,经验法或工程类比法：

是根据大量以前工程的实际资料的统计和总结，按不同围岩分级提出围岩压力的经验数值，作为后建隧道工程确定围岩压力的依据的方法。

是目前使用较多的方法。

理论估算法：

是在实践的基础上从理论上研究围岩压力的方法。

由于地质条件的不确定性，影响围岩压力的因素多，企图建立一种完善的和适合各种实际情况的通用围岩压力理论及计算方法是困难的。

深埋隧道围岩压力的确定（工程类比法）围岩竖向匀布压力q按下式计算：

q=0.452s-1（kN/m2）式中：

S围岩级别，如属II级，则S2；围岩容重，（kN/m3）；1+i（B-5）宽度影响系数；B隧道宽度，（m）；i以B5m为基准，B每增减1m时的围岩压力增减率。

当B5m,取i0.1。

深埋隧道围岩压力的确定（工程类比法）q=0.452s-1（kN/m2）适用条件H/B1.7，式中H为隧道高度；深埋隧道；不产生显著偏压力及膨胀力的一般隧道；采用钻爆法施工的隧道。

围岩的水平匀布压力e的确定，按下表中的经验公式计算,铁路新规范：

qhh=0.411.79S这是全国1046座铁路隧道得出的经验公式，其中S新规范围岩的分级。

围岩压力分布特征,深埋荷载分布,深埋荷载分布，考虑水压,竖向荷载分布,水平荷载分布,郑西客运专线黄土隧道,厦门翔安海底隧道,浅埋隧道围岩松散压力的计算深、浅埋隧道的判定原则隧道埋深不同，确定围岩压力的计算方法不同，应以隧道顶部覆盖层能否形成“自然拱”为原则。

深埋隧道围岩松散压力值是以施工坍方平均高度（等效荷载高度值）为根据，为了形成此高度值，隧道上覆岩体就有一定的厚度。

根据经验，这个深度通常为22.5倍的坍方平均高度值,深、浅埋隧道的判定原则Hp（22.5）hq式中:

Hp深浅埋隧道分界深度;hq荷载等效高度，按下式计算：

hqq/q深埋隧道竖向均布压力kNm2；围岩容重（kNm2）。

在矿山法施工的条件下I一III级围岩取Hp2hqIVVI级围岩取Hp2.5hq当隧道覆盖层厚度HHp时为深埋，HHp时为浅埋Hhq时为超浅埋,超浅埋隧道围岩压力的确定方法埋深（H）小于或等于等效荷载高度hq时，荷载视为均布竖向压力q=H式中:

q匀布竖向压力；深度上覆围岩容重；H隧道埋深，抬隧道顶至地面的距离。

超浅埋隧道围岩压力的确定方法侧向压力e，按匀布考虑时，其值为：

式中:

e侧向匀布压力；围岩容重，以kN/m3计；H隧道埋深，以m计；Ht隧道高度，以m计；c一围岩计算摩擦角，可查有关规范。

浅埋，埋深大于hq、小于等于Hp时,采用松散介质极限平衡理论进行分析，即：

围岩松动压力=滑动岩体重量滑面上的阻力。

围岩应力的现场量测实测围岩压力的方法很多，可归纳为两类：

直接量测间接量测,直接量测：

主要采用压力盒、压力传感器等，压力盒按工作原理分为机械作用式、电测式和液压式等，目前使用较多的是钢弦式压力盒。

间接量测：

利用量测隧道衬砌的应变、变形来推算作用在其上的围岩压力的方法，即间接量测法。

如电阻应变片、钢筋应变计、遥测应变计、混凝土应变砖等,3结构力学方法,隧道结构计算方法,参考书：

地下结构设计原理与方法,李志业曾艳华编著，西南交通大学出版社。

假定抗力图形法：

用于拱形衬砌和圆形衬砌。

计算特点：

假定抗力的分布范围和分布规律，如上、下零点和最大值的位置。

a.计算简图：

常用于级围岩；拱圈和曲边墙作为一个整体按无铰拱计算；施工时仰拱是在无铰拱业已受力之后修建的，不考虑仰拱对衬砌内力的影响；,计算假设在主动荷载作用下，顶部衬砌向隧道内变形而形成脱离区，两侧衬砌向围岩方向变形，引起围岩对衬砌的被动弹性抗力上零点b（即脱离区与抗力区的分界点）与衬砌垂直对称中线的夹角假定为40600下零点a在墙脚,最大抗力点h假定发生在最大跨度处附近，计算时一般取为简化计算可假定在分段的接缝上。

抗力图形的分布假定为二次抛物线,bh段：

ha段：

忽略衬砌与围岩之间的摩擦力墙脚支承在弹性岩体上，可发生转动和垂直位移（无水平位移）,b.基本结构与典型方程式：

式中：

由作用使基本结构在拱顶处沿作用方向产生的变位；,由主动外荷载作用使基本结构在拱顶处沿作用方向产生的变位；,由被动弹性抗力作用使基本结构在拱顶处沿作用方向产生的变位；,单位力矩作用于墙底时引起的墙底转角；,外荷载（包括弹性抗力）引起的墙底转角。

求得后，在主动荷载作用下，衬砌内力即可计算：

在具体进行计算时，还需进一步确定被动抗力的大小，这需要利用最大抗力点h处的变形协调条件。

3、最大抗力值的计算先求出和变位由两部分组成，即结构在荷载作用下的变位和因墙底变位（转角）而产生的变位之和,h点所对应的，则该点的径向位移约等于水平位移拱顶截面的垂直位移对h点径向位移的影响可以忽略不计按照结构力学方法，在h点加一单位力，可以求得和,4、在单位抗力作用下的内力将抗力图视为外荷载单独作用时，未知力及可以参照及的求法得出,4、在单位抗力作用下的内力,解出及后，即可求出衬砌在单位抗力图为荷载单独作用下任一截面内力：

5、衬砌最终内力计算及校核计算结果的正确性衬砌任一截面最终内力值可利用叠加原理求得：

校核计算结果正确性时，可以利用拱顶截面转角和水平位移为零条件和最大抗力点a的位移条件：

式中是墙底截面最终转角，,弹性地基梁法：

用于计算直墙拱形衬砌。

计算特点：

将拱圈和边墙分为两个单元分别进行计算，而在各自的计算中考虑相互影响。

计算中拱圈视为弹性固定无铰拱，边墙视为双向弹性地基梁。

a.计算简图：

b.拱圈的计算：

由拱顶切口相对变位为零的条件，列出力法典型方程式。

拱圈基本结构,c.边墙的计算：

边墙视为弹性地基梁，内力可由边墙为长梁、短梁、刚性梁分别按有关公式进行计算。

弹性支承法：

也称连杆法，是计算抗力图形解算衬砌内力的一种方法。

特点：

按照“局部变形”理论考虑衬砌与围岩共同作用，将弹性抗力范围内的连续围岩离散为彼此互不相干的独立岩柱，岩柱的一个边长是衬砌的纵向计算宽度，通常取单位长度，另一个边长是两个相邻的衬砌单元的长度和之半，岩柱的深度与传递轴力无关，故无须考虑。

无仰拱,有仰拱,在衬砌与围岩相互作用的范围内，以只能承受压力的弹性支承代替围岩的约束（抗力）作用；在脱离区域内，由于衬砌向内变形而不致受到弹性约束，可以在该范围内不设置弹性支承。

衬砌计算的基本结构图式,

（1）结构离散为有限个单元,计算模型图,

（2）弹性支承设置,施加荷载后,（3）均布荷载简化为等效节点荷载,（4）求解,弹性支承的方向（与弹性抗力方向一致）,径向的（不计衬砌与围岩间的摩擦力），只传递轴向压力，由于围岩与衬砌间存在粘结力，可传递少量轴向拉力；,b.和径向偏转一个角度（考虑摩擦力）,c.简化计算将连杆水平设置,d.若衬砌与围岩之间充填密实，接触良好，除设置径向连杆外，还可设置切向连杆。

用位移法求解的原理和步骤：

基本原理：

以每个节点的（分别为X方向、Y方向的位移及XY平面内的转角）三个位移为未知数，应用两个连续条件：

a.变形协调条件连接在同一节点的单元的节点位移应该相等，并等于该节点的结构节点位移；,b.静力平衡条件作用于结构上某一节点的荷载必须与该节点上作用的各单元的节点力相平衡。

首先进行单元分析，找出单元节点力与单元节点位移的关系单元刚度矩阵，然后进行整体分析，建立起以节点静力平衡为条件的结构刚度方程：

式中：

结构节点位移的单列矩阵；,结构节点荷载的单列矩阵。

其中：

分别为结构坐标系i节点的x、y方向的位移和xy平面内的转角；分别为结构坐标系i节点的x、y方向的荷载和xy平面内的转角；结构的刚度矩阵，它由两部分组成：

不考虑弹性连杆作用时结构本身的刚度矩阵；由于弹性连杆作用对结构刚度矩阵的影响。

引入边界条件，由上述方程解出未知的结构节点位移，也就是连接该节点的各单元的节点位移。

单元节点力与节点位移的方向取与坐标方向一致为正，力矩与转角以逆时针转动为正。

单元刚度矩阵及结构刚度,对于局部坐标系中的梁单元刚度方程为：

缩写为：

式中：

e单元在局部坐标系中的刚度其中：

e等截面直杆单元的编号；ie单元i端编号；je单元j端编号。

式中：

E、J、A、l分别为单元的材料弹性模量、截面惯性矩、截面面积、单元长度。

（r=i，j）（s=i，j）整体坐标系中，单元节点与节点位移之间有：

矩阵中的每一个子阵的通式为：

单元坐标与结构坐标系所成的角,由构成结构刚度矩阵,墙底弹性支座单元的刚度矩阵,结构的刚度矩阵及其特点直接刚度法计算衬砌内力的基本步骤：

a.将衬砌结构离散化；计算出各单元的面积、惯性矩、单元切向角及节点径向角和正弦、余弦。

b.将所有荷载转换成等效节点荷载；,c.组成结构刚度矩阵,d.求节点位移的第一次近似值；e.判断弹性链杆方向的位移是否大于零（即朝向地层）：

若则链杆存在，;若则撤消该链杆，；并修正结构的总刚度矩阵f.计算节点位移的第二次近似值，并重复e、f两步，直至相邻两次位移相等；g.求解各弹性链杆抗力，并计算各单元的单元节点力；h.如果需要的话可进而计算各节点截面偏心距、截面强度及安全系数。

用力法求解的原理列力法典型方程：

式中：

1、2项表示衬砌单元中的弯矩和轴力所作的虚功；第3项表示所有的侧向弹性支承的沉陷虚功；第4、5项表示墙脚弹性支座的沉陷和转动虚功。

5.4破损阶段法衬砌截面强度验算1、衬砌结构检算目前我国公路隧道设计规范规定，隧道衬砌和明洞应按破损阶段检算构件截面强度。

结构抗裂有要求时，对混凝土构件进行抗裂验算。

2、根据混凝土和石砌材料的极限强度，计算出偏心受压构件的极限承载能力与构件实际内力相比较，计算截面的抗压（或抗拉）强度安全系数K。

检查是否满足规范所要求的数值，即：

式中：

是截面的极限承载能力；为截面的实际内力（轴向力）;是规范所规定的强度安全系数，见下表,混凝土和砌体结构的强度安全系数,钢筋混凝土结构的强度安全系数,对隧道衬砌和明洞的混凝土偏心受压构件的轴向力偏心距限制为：

不宜大于0.45倍截面厚度；石料砌体偏心受压构件不宜大于0.3倍截面厚度；基底偏心距的限制为：

岩石地基不应大于0.25墙底厚度；土质地基不应大于1/6墙底厚度。

2、衬砌结构配筋计算,3、衬砌结构裂缝验算,4岩体力学方法,隧道结构计算方法,参考书：

地下结构设计原理与方法,李志业曾艳华编著，西南交通大学出版社。

考虑围岩与支护结构共同作用，研究围岩的三次应力场和支护结构中的内力和位移，采用整体复合模型（地层结构模型），其中围岩是主要承载单元，支护结构是镶嵌在围岩孔洞上的加劲环。

围岩的初始应力状态（一次应力状态）；开挖隧道后的围岩的二次应力状态和位移场；判断围岩二次应力状态和位移场是否符合稳定性条件（围岩稳定性准则）,一.岩体力学法分析的思路及基础知识：

设置支护结构后围岩的应力状态，亦称围岩的三次应力状态和位移场、以及支护结构的内力和位移、；判断支护结构安全度;,二、围岩的二次应力场和位移场的特征和影响因素：

初次应力场的影响自重应力场中：

垂直应力分量是最大主应力，水平应力很小；洞顶、洞底出现拉应力，边墙部分有很大的切向压应力。

水平构造应力：

水平应力分量是最大主应力；洞顶、洞底出现压应力，边墙部分可能出现拉应力。

开挖断面形式的影响随椭圆率的增大，洞顶拉应力区扩大，水平直径处应力集中现象严重,岩体结构特征的影响节理产状影响岩体力学性质对围岩二次应力场的影响弹性岩体：

线性应力应变关系；隧道开挖后，产生应力释放，洞周径向应力变为零切向应力集中。

非弹塑性岩体：

非线性应力应变关系。

洞室开挖后围岩应力的空间效应“空间效应”：

隧道端部开挖面对围岩的应力释放和变形发展都有很大的约束作用，使得沿隧道纵向各断面上的二次应力状态和变形都不相同。

时间效应的影响“时间效应”：

隧道开挖后围岩初始应力重分布以及围岩的变形都不是瞬间就达到其最终值，而是随时间的推移逐渐完成的。

三、确定围岩二次应力场和位移场的方法：

确定围岩二次应力场和位移场的弹性力学方法解析法假定：

围岩为均质的各向同性的连续介质；只考虑自重造成的初始应力场；隧道形状以规则的圆形为主；隧道位于地表下一定的深度。

为隧道中心点的埋深，m;围岩的侧压力系数，;自重应力场中的竖直应力；自重应力场中的水平应力。

无支护洞室围岩的应力和位移（基尔西公式）无支护洞室围岩的应力状态围岩中任一点的应力为：

径向应力：

切向应力：

深埋隧道：

假定围岩初始应力处处相等，等于隧道中心点的自重应力。

剪应力：

式中：

，为开挖洞室的半径；、围岩内任一点的极坐标；初始地应力，。

说明：

应力分量由两部分组成：

.初始应力产生的，数字上带“-”；.由洞周卸载引起的。

式中括弧内的前一项为初始应力产生，后一项由洞周卸载引起。

时，洞室周边（）的应力：

说明沿坑道周边只存在切向应力，径向应力和剪切应力均变为0；表明洞室的开挖使洞室周边的围岩从二向（或三向）应力状态变成单向（或二向）应力状态。

分析：

在轴对称条件下，=1时，洞室周围岩体的应力,不同的值（=0、1/3、1/2、1）时，则切向应力沿隧道周边的分布。

.水平直径处，说明水平直径处的切向应力较初始应力提高了倍，表现出应力集中现象。

.拱顶处，a.当,，即出现了拉应力，范围：

b.当时，拱顶最大切向拉应力,拉应力出现在与竖直轴成的范围内，向围岩内部延伸的范围为。

坑道拱顶（底）的拉应力区c.当时，拱顶处为0说明洞周切向应力全部变为压应力。

当水平系数变动在01之间变化时，水平直径处洞周的切向应力由减少到。

随着的增加，即离坑道周边愈远，都很快地接近初始应力状态，当超过5时，相差都在5%以内。

用应力系数k表示洞室周边切向应力的不均匀性：

当=01之间变化时，水平直径处，k在32之间变化；拱顶处，k在-12之间变化；,当切向拉应力超过其抗拉强度时，拱顶可能发生局部掉块和落石，但不会造成整个坑道的破坏；,当后，坑道则逐渐变得稳定。

洞室水平、竖直轴上的应布,无支护洞室围岩的位移状态,径向位移：

切向位移：

式中：

围岩的弹性模量；,泊松比。

说明：

位移分量已减去了开挖前存在的位移，为开挖所引起的位移；,径向位移以向隧道内为正，切向位移以顺时针为正。

分析：

在轴对称条件下，坑道周边位移（）：

时，坑道周边位移（）：

轴对称条件下围岩应力的弹塑性分析解题基本原理：

使塑性区满足塑性条件与塑性平衡方程，使弹性区满足平衡方程和弹性条件，在弹性区与塑性区交界处既满足弹性条件又满足塑性条件。

塑性区单元体的受力状态,在塑性区内：

极坐标平衡方程为：

（5）在塑性区边界上，还满足塑性条件（塑性判据）式中用表示，代入（5）得（6）当有支护时，支护与围岩边界上（）的应力即为支护阻力，即代入（6）,得塑性区的应力公式：

（7）结论：

围岩塑性区的应力值与初始应力状态无关，仅与围岩的强度参数和开挖半径及支护提供的阻力有关。

当无支护时（）：

或在支护阻力作用下的塑性区半径：

令塑性区半径为，当时，有,对于弹性区，支护阻力为时的应力有，,代入塑性判据，得处的应力代入（7），根据塑性条件，得或说明：

，的存在限制了塑性区域的发展。

若坑道开挖后，不修筑衬砌，=0时，,或这种情况下塑性最大。

若想使塑性区域不形成（），所需的支护阻力：

或这就是维持坑道处于弹性应力场所需的最小支护阻力。

轴对称条件下围岩位移的弹塑性分析塑性区位移表达式：

将含有的表达式代入：

说明：

塑性区形成后，位移不仅与岩体的特性、坑道尺寸、初始应力场有关，还与有关；随的增大而减小。

围岩稳定性判据:

围岩的二次应力状态与岩体强度的关系当围岩应力状态超过岩体的强度条件，才能造成岩体失稳的前兆。

因此，满足岩体的强度条件是围岩失稳和破坏的必要条件.围岩的位移状态和岩体变形能力的关系满足围岩的变形条件是造成围岩失稳破坏的充分条件。

围岩局部落石的稳定性。

具体的求解方法有数值法、剪切滑移破坏法和特征曲线法。

数值法（有限单无法）：

把围岩和支护结构都划分为单元，然后根据能量原理建立起整个系统的虚功方程，也称刚度方程，从而求出系统上各节点的位移以及单元的应力。

具体步骤：

计算范围的选取；,单元类型的选取；,开挖效果的模拟；,求单元应力；,支护结构强度校核。

剪切滑移破坏法：

锚喷柔性支护破坏形态主要是剪切破坏而不是挠曲破坏，且在剪切破坏前没有出现挠曲开裂。

剪切滑移体的形成：

剪切滑移破坏法的计算：

式中：

所提供的总支护抗力；,喷混凝土提供的支护阻力；,钢