新教材北师大版高中数学选择性必修第一册6.1随机事件的条件概率-精品教学课件.ppt
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11随机事件的条件概率随机事件的条件概率1.21.2乘法公式与事件的独立性乘法公式与事件的独立性1.11.1条件概率的概念条件概率的概念1.31.3全概率公式全概率公式1三券中只有一能中,分由张奖张奖现别3位同不放回地抽学取,那第二位同抽到中券的率是多少?
比第一位同中么学奖奖概学奖的率小?
概吗2如果已知第一位同未抽到中券,那第二位同抽到学奖奖么学中券率又是多少?
奖奖概3上述有何不同?
两个问题1条件概率
(1)条件概率的定义在事件A发生的条件下事件B发生的概率,称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率,记作_
(2)条件概率公式当P(A)0时,有P(B|A)PABPAP(B|A)1如何集合角度看件率公式?
从条概提示若事件A已生,使事件发则为B也生,果必发试验结须是在既A中又在B中的本点,即此点必于样属AB由于已知A已经生,故发A成算件率为计条概P(B|A)新的本空,因此,有样间P(B|A)PABPA2条件概率的性质
(1)P(B|A)_
(2)如果B与C是两个互斥事件,则P(BC|A)_0,1P(B|A)P(C|A)2P(B|A)与P(B)有何大小系?
关提示P(B|A)P(B)113322441思考辨析(正确的画“”,错误的画“”)
(1)P(A|B)P(B|A)()
(2)P(B|A)P(B)()(3)P(BC|A)P(B|A)P(C|A)()(4)对于古典概型,P(A|B)nABnB()答案
(1)
(2)(3)(4)113322442已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们大小形状完全相同甲每次从中任取一个不放回,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为()A310B13C38D29B设“第一次拿到白球”事件为A,“第二次拿到球红”事件为B,依意题P(A)21015,P(AB)23109115,故P(B|A)PABPA13113322443某人一周值班2次,在已知他周日一定值班的条件下,他在周六值班的概率为_16法一:
事件设A为“周日班值”,事件B为“周六班值”,则P(A)C16C27,P(AB)1C27,故P(B|A)PABPA16法二:
事件设A为“周日班值”,事件B为“周六班值”,则n(AB)1,n(A)C166,故P(B|A)nABnA16113322444从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A“取到的2个数之和为偶数”,事件B“取到的2个数均为偶数”,求P(B|A)解法一:
P(A)C23C22C2541025,P(AB)P(B)C22C25110由件率算公式,得条概计P(B|A)PABPA110251411332244法二:
事件A包括的基本事件:
(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4个事件AB生的果只有发结(2,4)一情形,即种n(AB)1故由古典型率概概P(B|A)nABnA14类型1利用定义求条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球,如果不放回地抽取两个球,记事件“第一次抽到黑球”为A;事件“第二次抽到黑球”为B
(1)分别求事件A,B,AB发生的概率;
(2)求P(B|A)合作探究释疑难思路点拨可先求P(A),P(B),P(AB),再用公式P(B|A)PABPA求率概解由古典概型的概率公式可知
(1)P(A)25,P(B)21325482025,P(AB)2154110
(2)P(B|A)PABPA1102514用定法求件率义条概PB|A的步是:
骤1分析意,弄率模型;题清概2算计PA,PAB;3代入公式求PB|APABPA.跟进训练1本例条件不变,如何求P(A|B)解P(A|B)PABPB1102514类型2利用基本事件个数求条件概率【例2】现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率思路点拨第
(1)、
(2)古典型,可利用古典型的问属概问题概概率算公式求解;第计(3)件率,可以利用定问为条概义P(B|A)PABPA求解,也可以利用公式P(B|A)nABnA求解解设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n()A2630,根据分步计数原理n(A)A14A1520,于是P(A)nAn203023
(2)因为n(AB)A2412,于是P(AB)nABn123025(3)法一:
由
(1)
(2)可得,在第1次抽到舞蹈目的件下,第节条2次抽到舞蹈目的率节概为P(B|A)PABPA252335法二:
因为n(AB)12,n(A)20,所以P(B|A)nABnA122035如果机于古典型,可采用随试验属概缩基本事件的法减总数办来算,计PB|AnABnA,其中nAB表示事件包含的基本事件,个数nA表示事件A包含的基本事件个数.跟进训练2某个班级有学生40人,其中有共青团员15人全班分成四个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人现在要在班内任选一名共青团员当团员代表,求这个代表恰好在第一组内的概率解把40名学生看成40个基本事件,其中第一小组所包含的基本事件个数为10个,第一小组的团员所包含的基本事件个数为4个记“班内任选一名学生是共青团员”为事件A记“任选一名团员代表在第一小组”为事件BP(A)154038,P(AB)440110,P(B|A)nABnA11038415故这个团员代表恰好在第一组内的概率为415类型3条件概率的性质及应用探究问题1一枚地均的骰子,有多少基本事件?
之有什掷质匀个它们间系?
机事件出么关随现“大于4的点”包含些基本事件?
哪提示一枚地均的骰子,可能出的基本事件有掷质匀现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”,共6,彼此个它们互斥“大于4的点”包含“5点”“6点”基本事件两个2在“先后抛出枚地均的骰子两质匀”中,已知第一枚出试验现4点,第二枚出则现“大于4”的事件,包含些基本事件?
哪提示“第一枚4点,第二枚5点”“第一枚4点,第二枚6点”3先后抛出枚地均的骰子,已知第一枚出两质匀现4点,如何利用件率的性求第二枚出条概质现“大于4点”的率?
概提示第一枚出设现4点事件为A,第二枚出现5点事件为B,第二枚出现6点事件为C所求事件则为BC|AP(BC|A)P(B|A)P(C|A)161613【例3】有外形相同的球分装三个盒子,每盒10个其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中则有红球8个,白球2个试验按如下规则进行:
先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球,则称试验为成功求试验成功的概率思路点拨先出基本事件,求出基本事件的率,再求设概试验成功的率概解设A从第一个盒子中取得标有字母A的球,B从第一个盒子中取得标有字母B的球,C第二次取出的球是红球,D第二次取出的球是白球,则容易求得P(A)710,P(B)310,P(C|A)12,P(D|A)12,P(C|B)45,P(D|B)15事件“试验成功”表示为CACB,又事件CA与事件CB互斥,故由概率的加法公式,得P(CACB)P(CA)P(CB)P(C|A)P(A)P(C|B)P(B)12710453100.591用率加法公式的前提是事件互斥应概2了求事件的率,往往可以先把事件分解成或为复杂概该两个多互斥事件的和,求出事件率后,相加即可得到事件的个简单概复杂率概跟进训练3把一副扑克(不含大小王)的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家,A赵家得到6张草花(梅花),B孙家得到3张草花
(1)计算P(B|A);
(2)计算P(AB)解
(1)四家各有13张牌,已知A发生后,A的13张牌已固定,余下的39张牌中恰有7张草花在另三家中的分派是等可能的问题已经转变成:
39张牌中有7张草花,将这39张牌随机分给钱、孙、李三家,求孙家得到3张草花的概率于是P(B|A)C37C10397C13390.278
(2)在52张牌中任选13张牌有C1352种不同的等可能的结果于是中元素数C1352,A中元素数C613C739,利用条件概率公式得到P(AB)P(A)P(B|A)C613C739C13520.2780.012当堂达标夯基础1由条件概率的定义可知,P(B|A)与P(A|B)是不同的另外,在事件A发生的前提下,事件B发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等2在条件概率的定义中,要强调P(A)0当P(A)0时,P(B|A)03P(B|A)PABPA可变形为P(AB)P(B|A)P(A),即只要知道其中的两个值就可以求得第三值11335522441设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为310,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为12,则事件A发生的概率为()A25B35C45D310B由意知:
题P(AB)310,P(B|A)12,P(A)PABPB|A310123511335522442把一枚硬币投掷两次,事件A第一次出现正面,B第二次出现正面,则P(B|A)等于()A14B12C16D18BP(AB)14,P(A)12,P(B|A)PABPA141212113355224434张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A14B13C12D1B因第一名同有抽到中券,所以为学没奖问题变为3券,张奖1能中,最后张奖一名同抽到中券的率,然是学奖概显1311335522444设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物,则它活到25岁的概率是_0.5根据件率公式知条概P0.40.80.511335522445抛掷红、蓝两个骰子,事件A“红骰子出现4点”,事件B“蓝骰子出现的点数是偶数”求P(A|B)解P(B)12,P(AB)112P(A|B)PABPB112121611随机事件的条件概率随机事件的条件概率1.21.2乘法公式与事件的独立性乘法公式与事件的独立性1.31.3全概率公式全概率公式1若P(B|A)P(B),事件则A生否事件发与对B的生是否有发影?
响2事件当B生不影事件发响A的率,概时P(AB)等于什?
么1概率的乘法公式当P(A)0时,P(AB)_P(A)2相互独立事件的概率
(1)一般地,事件A,B相互独立P(AB)_
(2)如果事件A1,A2,An相互独立,那么P(A1A2An)_P(B|A)P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)3相互独立事件的性质若A与B是相互独立事件,则A与,B与,与B也相互独立BAA若A,B相互立,独则A与B也相互立,什?
独为么提示A、B相互立,独P(AB)P(A)P(B)P(A)(1P(B)P(A)P(A)P(B),P(A)P(B)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A)(1P(B)P(A)P(B),A与B相互立独3全概率公式
(1)全概率公式设B1,B2,Bn为样本空间的一个划分,若P(Bi)0(i1,2,n),则对任意一个事件A有P(A)ni1P(Bi)P(A|Bi)*
(2)贝叶斯公式设B1,B2,Bn为样本空间的一个划分,若P(A)0,P(Bi)0(i1,2,n),则P(Bi|A)PBiPA|Binj1PBjPA|Bj113322441思考辨析(正确的画“”,错误的画“”)
(1)对事件A和B,若P(B|A)P(B),则事件A与B相互独立()
(2)如果事件A与事件B相互独立,则P(B|A)P(B)()(3)若事件A与B相互独立,则A与B不一定相互独立()(4)P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)()答案
(1)
(2)(3)(4)113322442甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:
“甲击中目标”,事件B:
“乙击中目标”,则事件A与事件B()A相互独立但不互斥B互斥但不相互独立C相互独立且互斥D既不相互独立也不互斥11332244A同一目射,甲、乙射手是否中目是互不影的,对标击两击标响所以事件A与B相互立;同一目射,甲、乙射手可能同独对标击两中目,也就是事件时击标说A与B可能同生,所以事件时发A与B不是互斥事件故选A113322443甲、乙两人投球命中率分别为12,23,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为_1133224412事件“甲投球一次命中”记为A,“乙投球一次命中”记为B,“甲、乙人各投一次恰好命中一次两”事件记为C,则CABAB且AB与AB互斥,P(C)P(ABAB)P(A)P(B)P(A)P(B)121312233612113322444某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为45,乙当选的概率为35,丙当选的概率为710
(1)求恰有一名同学当选的概率;
(2)求至多有两人当选的概率11332244解甲、乙、丙的事件分设当选别为A,B,C,有则P(A)45,P(B)35,P(C)710
(1)因事件为A,B,C相互立,所以恰有一名同的率独学当选概为P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)4525310153531015257104725011332244
(2)至多有人的率两当选概为1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)1453571083125类型1互斥事件与相互独立事件的判断【例1】判断下列各对事件是互斥事件,还是相互独立事件
(1)运动员甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”;
(2)甲、乙两运动员各射击1次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;(3)甲、乙两运动员各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”;(4)甲、乙两运动员各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙没有射中目标”合作探究释疑难思路点拨利用立事件、互斥事件的意判独义断解
(1)甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”事件不两个可能同生,二者是互斥事件;时发
(2)甲、乙各射击1次,“甲射中10环”生否,发与对“乙射中9环”的率有影,二者是相互立事件;概没响独(3)甲、乙各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同生,二者是互斥事件;时发(4)甲、乙各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目,但乙有射中目标没标”可能同生,二者不成互斥事件,也不时发构可能是相互立事件独判事件相互立的方法断两独1若PABPAPB,事件则A和B相互立独.2由事件本身的性直接判定是否相互影,而得出事件是质响从否相互立独.跟进训练1一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A一个家庭中既有男孩又有女孩,B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩解
(1)有小孩的两个家庭,男孩、女孩的可能情形为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),有它4基本事件,由等可能个性知率各概为14这时A(男,女),(女,男),B(男,男),(男,女),(女,男),AB(男,女),(女,男),于是P(A)12,P(B)34,P(AB)12由此可知P(AB)P(A)P(B),所以事件A,B不相互立独
(2)有三小孩的家庭,小孩男孩、女孩的所有可能情形个为为(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女),由等可能性知这8基本事件生的率均个发概为18,这时A中含有6基本事件,个B中含有4基本事件,个AB中含有3基本事件个于是P(A)6834,P(B)4812,P(AB)38,然有显P(AB)P(A)P(B)成立,而事件从A与B是相互立的独类型2相互独立事件同时发生的概率【例2】某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45,35,25,15,且各轮问题能否正确回答互不影响
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率思路点拨
(1)先找出第四被淘汰的事件,再看是轮它独立事件是互斥事件;还
(2)至多入第三含有第一被淘汰、第二被淘进轮轮轮汰、第三被淘汰三互斥事件,利用互斥事件、相互立事件的轮个独概率公式求解解
(1)记“手能正确回答第该选i的轮问题”的事件为Ai(i1,2,3,4),则P(A1)45,P(A2)35,P(A3)25,P(A4)15“该选手入第四才被淘汰进轮”记为B,P(B)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)4535254596625
(2)法一:
“手至多入第三考核该选进轮”记为C,P(C)P(A1A1A2A1A2A3)P(A1)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A3)154525453535101125法二:
“手入第四有被淘汰该选进轮没”记为D,则P(D)4535251524625而C与BD立事件,为对B与D互斥事件,为P(C)1P(BD)1P(B)P(D)196625246251011251求P(AB),要注意事件时A,B是否相互立,求独P(AB),时注意事件应A,B是否互斥于对“至多”“至少”型的解法有问题思路:
两种分;类讨论化求立事件的率,利用转为对概P(A)1P(A)算来计2可考分解等价的几事件的率,同复杂问题虑为个概问题时结合立事件的率求法行求解对概进跟进训练2设对某目标进行三次相互独立的射击,各次的命中率分别是0.2,0.6,0.3,试求:
(1)在三次射击中恰有一次命中的概率;
(2)在三次射击中至少有一次命中的概率解设“第i次射命中目击标”事件为Ai(i1、2、3),则P(A1)0.2,P(A2)0.6,P(A3)0.3,由意题A1、A2、A3相互立独
(1)恰有一次命中的率概为PP(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.2(10.6)(10.3)(10.2)0.6(10.3)(10.2)(10.6)0.30.488
(2)至少有一次命中的率概为P1P(A1A2A3)1(10.2)(10.6)(10.3)0.776类型3全概率公式的应用【例3】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第一二车间生产的成品比例为23,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,求该产品合格的该概率解设B中机提一台是合格品从仓库随,Ai提出的一台是第i生的车间产,i1,2,有则BA1BA2B,由意题则P(A1)0.4,P(A2)0.6,P(B|A1)0.85,P(B|A2)0.88,由全率公式得,概P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)0.40.850.60.880.8681全率公式率中的重要公式,一事件概为概论它将对复杂A的率求解化在不同情下生的事件的率的求和概问题转为况发简单概问题2以上典型例的分析可以看出,用全从题应率公式解概决问题,准确、迅速找完事件是解此的,其用的一时寻备组决类问题关键应般方法和步如下:
骤归纳
(1)分析目中的件,找出完事件认真题条备组A1,A2,An;
(2)求出Ai生的件下发条B生的件率发条概P(B|Ai),就可以这样直接利用全率公式解此了概决类问题跟进训练3袋中装有编号为1,2,n的n个球,先从袋中任取一个球,如该球不是1号球,就放回袋中,是1号球,就不放回,求第二次取到2号球的概率解事件设A为“第一次取到的是1球号”,事件B为“第二次取到的是2球号”,然显P(A)1n,P(A)n1n,P(B|A)1n1,P(B|A)1n,由全率公式得,概P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)1n1n1n1n1nn2n1n2n1当堂达标夯基础1两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响;两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,而相互独立的两个事件可以同时发生2如果事件A1,A2,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积3利用全概率公式可以将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的求和问题,寻找完备事件组是求解的关键11335522441若A与B是相互独立事件,则下面不是相互独立的事件是()AA与ABA与BCA与BDA与BAA与A是立事件对11335522442抛掷3枚质地均匀的硬币,A既有正面向上又有反面向上,B至多有一个反面向上,则A与B的关系是()A互斥事件B对立事件C相互独立事件D不相互独立事件C由已知,有P(A)12834,P(B)14812,P(AB)38,足满P(AB)P(A)P(B),事件则A事件与B相互立,故独选C11335522443甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率为p2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是()Ap1p2Bp1(1p2)p2(1p1)C1p1p2D1(1p1)(1p2)1133552244B甲解乙有解的率决问题没决问题概为p1(1p2),乙解决问而甲有解的率是题没决问题概p2(1p1),故恰有1人解的率决问题概为p1(1p2)p2(1p1)11335522444一批种子的发芽率为0.9,如果播种时每次播种两粒种子,则每次有苗的概率是_0.99一粒子芽事件设种发为A,另一粒子芽事件种发为B,则有苗即事件为A生或事件发B生,发则PP(AB)P(AB)P(AB)0.90.10.10.90.90.90.9911335522445有甲、乙两个袋子,甲袋中有3个白球,2个黑球;乙袋中有4个白球,4个黑球,现从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后再从乙袋中任取1个球,求此球为白球的概率1133552244解事件设Ai表示“甲袋中取出的从2球中有个i白球个”,其中i0,1,2,事件B表示“乙袋中取到的是白球从”,根据题意,P(A0)110,P(A1)35,P(A2)310,P(B|A0)25,P(B|A1)12,P(B|A2)35,1133552244有则BA1BA2B,由全率公式得,概P(B)P(A0)P(B|A0)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)110253512310351325
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